Перейти к основному содержанию

ОГЭ математика 2019. Разбор варианта Алекса Ларина № 200.

Решаем ОГЭ 200 вариант Ларина. Подробное решение 1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,17,18,19,20 заданий тренировочного варианта ОГЭ Ларина № 200 (alexlarin.com)

Решаем ОГЭ 200 вариант Ларина. Подробное решение 21,22,23,24,25,26 заданий тренировочного варианта ОГЭ Ларина № 200 (alexlarin.com)

Аналоги к этому заданию:

Задание 1

Найдите значение выражения $$\frac{\frac{1}{3}-\frac{5}{12}}{1\frac{1}{5}-\frac{2}{3}}$$

Ответ: -0,15625
Скрыть

$$\frac{\frac{1}{3}-\frac{5}{12}}{1\frac{1}{5}-\frac{2}{3}}=$$$$\frac{\frac{4-5}{12}}{\frac{18-10}{15}}=$$$$-\frac{1}{12}*\frac{15}{8}=-\frac{5}{32}=-0,15625$$

Аналоги к этому заданию:

Задание 2

В таблице приведены нормативы по прыжкам с места для учеников 11 класса.

  Мальчики Девочки
Отметка «5» «4» «3» «5» «4» «3»
Расстояние, см 230 220 200 185 170 155

Какую оценку получит девочка, прыгнувшая на 177 см?

Ответ: 4
Скрыть

177 см больше 170 см, но меньше 185 см, следовательно, оценка будет 4

Аналоги к этому заданию:

Задание 3

Известно, что число m отрицательное. На каком из рисунков точки с координатами 0, m, 2m, m2 расположены на координатной прямой в правильном порядке?

Ответ: 3
Скрыть

Пусть $$m=-2$$, тогда $$2m=-4$$ ; $$m^{2}=4$$. Следовательно, в порядке возрастания $$2m;m;0;m^{2}$$, что соответствует 3 варианту ответа.

Аналоги к этому заданию:

Задание 4

Какое из данных чисел $$\sqrt{6,4}; \sqrt{640}; \sqrt{6400}$$ является рациональным?

Варианты ответа:

  1. $$\sqrt{6,4}$$
  2. $$\sqrt{640}$$ 
  3. $$\sqrt{6400}$$
  4. ниодного из них
Ответ: 3
Скрыть
  1. $$\sqrt{6,4}=\sqrt{\frac{64}{10}}=\frac{8}{\sqrt{10}}$$ - иррациональное
  2. $$\sqrt{640}=\sqrt{64*10}=8\sqrt{10}$$ - иррациональное
  3. $$\sqrt{6400}=\sqrt{64*100}=8*10=80$$ - рациональное

Следовательно, 3 вариант ответа

Аналоги к этому заданию:

Задание 5

На рисунке жирными точками показано суточное количество осадков, выпадавших в Томске с 8 по 24 января 2015 года. По горизонтали указываются числа месяца, по вертикали — количество осадков, выпавших в соответствующий день, в миллиметрах. Для наглядности жирные точки на рисунке соединены линией. Определите по рисунку, какого числа в Томске выпало ровно 1 миллиметр осадков.

Ответ: 18
Скрыть

1 мл выпал 18 числа

Аналоги к этому заданию:

Задание 6

Решите уравнение $$\frac{x^{2}-2x-8}{x-4}=0$$

Ответ: -2
Скрыть

     ОДЗ: $$x-4 \neq 0 \Leftrightarrow$$$$x \neq 4$$

     $$\frac{x^{2}-2x-8}{x-4}=0\Leftrightarrow$$$$x^{2}-2x-8=0$$

$$D=4+32=36$$

$$x_{1}=\frac{2+6}{2}=4$$

$$x_{2}=\frac{2-6}{2}=-2$$

     С учетом ОДЗ: $$x=-2$$

Аналоги к этому заданию:

Задание 7

Катя прочитала 85 страниц книги, после чего ей осталось прочитать еще 60 страниц. Сколько страниц в книге?

Ответ: 145
Скрыть

Всего страниц : 85+60=145

Аналоги к этому заданию:

Задание 8

На диаграмме показан возрастной состав населения России. Определите по диаграмме, какая из возрастных категорий самая малочисленная.

Варианты ответа

  1. 0 – 14 лет
  2. 15 – 50 лет
  3. 51 – 64 лет
  4. 65 лет и более
Ответ: 4
Скрыть

Самый маленький сегмент составляет 65 лет и более, что соответствует 4 варианту ответа

Аналоги к этому заданию:

Задание 9

В каждом двадцать пятом пакете сока согласно условиям акции под крышкой есть приз. Призы распределены случайно. Маша покупает пакет сока. Найдите вероятность того, что Маша не найдёт приз в своём пакете

Ответ: 0,96
Скрыть

В 24 из 25 пакетах приза нет, следовательно, вероятность без приза : $$P=\frac{24}{25}=0,96$$

Аналоги к этому заданию:

Задание 10

На рисунке изображён график функции $$y=ax^{2}+bx+c$$ . Установите соответствие между утверждениями и промежутками, на которых эти утверждения удовлетворяются.

УТВЕРЖДЕНИЯ

     А) Функция возрастает на промежутке

     Б) Функция убывает на промежутке

ПРОМЕЖУТКИ 

  1. [-3; 3]
  2. [0; 3]
  3. [-3; 1]
  4. [-3; 0]
Ответ: 23
Скрыть

Функция возрастает $$(-0,5 ;+\infty )$$, что соответствует 2 варианту , убывает на $$(-\infty ;-0,5)$$, что соответствует 3 варианту.

Аналоги к этому заданию:

Задание 11

Дана геометрическая прогрессия 12, 48, 192, ... Какое число стоит в этой последовательности на 6-м месте?

Ответ: $$12288$$
Скрыть

Найдем знаменатель геометрической прогрессии : $$q=\frac{b_{n+1}}{b_{n}}=\frac{48}{12}=4$$. Найдем 6 член геометрической прогрессии : $$b_{n}=b_{1}*q^{n-1}\Rightarrow$$$$b_{6}=12*4^{5}=12288$$

Аналоги к этому заданию:

Задание 12

Найдите значение выражения $$-24ab-(4a-3b)^{2}$$ при $$a=\sqrt{2}$$, $$b=\sqrt{7}$$

Ответ: -95
Скрыть

$$-24ab-(4a-3b)^{2}=$$$$-24ab-(16a^{2}-24ab+9b^{2})=$$$$-16a^{2}-9b^{2}=$$$$-16(\sqrt{2})^{2}-9(\sqrt{7})^{2}=$$$$-16*2-9*7=-32-63=-95$$

Аналоги к этому заданию:

Задание 13

Из формулы радиуса окружности, вписанной в прямоугольный треугольник, $$r=\frac{ab}{a+b+c}$$ выразите и вычислите катет a, если катет b=7,2, гипотенуза c=7,8 и радиус вписанной окружности r=1,2.

Ответ: 3
Скрыть

Выразим a: $$r(a+b+c)=ab\Leftrightarrow$$ $$ra-ab=r(-b-c)\Leftrightarrow$$ $$a(b-r)=r(b+c)\Leftrightarrow$$ $$a=\frac{r(b+c)}{b-r}$$
Найдем a : $$a=\frac{1,2(7,2+7,8)}{7,2-1,2}=\frac{15}{6}=3$$

Аналоги к этому заданию:

Задание 14

На каком рисунке изображено множество решений неравенства $$13-3x \geq 6-x$$?

Ответ: 2
Скрыть

$$13-3x\geq 6-x \Leftrightarrow$$ $$-3x+x\geq 6-13\Leftrightarrow$$ $$-2x\geq -7\Leftrightarrow$$ $$x\leq 3,5$$, что соответствует 2 варианту

Аналоги к этому заданию:

Задание 15

Пол комнаты, имеющей форму прямоугольника со сторонами 6 м и 7 м, требуется покрыть паркетом из прямоугольных дощечек со сторонами 10 см и 25 см. Сколько потребуется таких дощечек?

Ответ: 1680
Скрыть

Площадь пола : $$S=6*7=42$$ м$$^{2}$$. Площадь дощечки : $$10*25=250$$ см $$^{2}$$ $$=0,025$$ м$$^{2}$$ . Количество дощечек: $$\frac{42}{0,025}=1680$$

Аналоги к этому заданию:

Задание 16

Треугольник ABC вписан в окружность с центром в точке O. Найдите градусную меру угла В треугольника ABC, если угол AOС равен 140. Ответ дайте в градусах .

Ответ: 70
Скрыть

$$\angle ABC=\frac{1}{2}\angle AOC$$ (свойство вписанного угла)

$$\angle ABC=\frac{1}{2}*140=70$$

Аналоги к этому заданию:

Задание 17

Сторона ромба равна 17, а диагональ равна 16. Найдите площадь ромба

Ответ: 240
Скрыть

Из $$\Delta ABH$$: $$BH=\sqrt{17^{2}-8^{2}}=15\Rightarrow$$ $$BD=30$$

$$S_{ABCD}=\frac{1}{2}AC*BD=$$$$\frac{1}{2}*30*16=240$$

Аналоги к этому заданию:

Задание 18

В треугольнике ABC $$AC=\sqrt{5}$$ , $$BC=\sqrt{11}$$ , угол C равен 90. Найдите радиус окружности, описанной около этого треугольника.

Ответ: 2
Скрыть

Радиус описанной окружности около прямоугольного треугольника равен половине его гипотенузы:

$$R=\frac{1}{2}AB=\frac{1}{2}\sqrt{11+5}=2$$

Аналоги к этому заданию:

Задание 19

Найдите угол ABC. Ответ дайте в градусах

Ответ: 67,5
Скрыть

Пусть О - центр окружности:

$$\angle ABC=\frac{1}{2}\angle AOC=$$$$\frac{1}{2}*135=67,5$$

Аналоги к этому заданию:

Задание 20

Какие из следующих утверждений верны?

   1. Если диагонали четырёхугольника делят его углы пополам, то этот четырёхугольник - ромб.
   2. Центром окружности, описанной около треугольника, является точка пересечения его высот.
   3. Треугольник, стороны которого равны 7, 24, 25 является прямоугольным.

В ответ запишите номера выбранных утверждений без пробелов, запятых и других дополнительных символов

Ответ: 3
Скрыть

1) да

2) нет - серединных перпендикуляров

3) да (выполняется теорема Пифагора)

Аналоги к этому заданию:

Задание 21

Решите систему уравнений $$\left\{\begin{matrix}x+xy+y=5\\ x^{2}+xy+y^{2}=7\end{matrix}\right.$$

Ответ: (1;2); (2;1)
Скрыть

     $$\left\{\begin{matrix}x+xy+y=5\\x^{2}+xy+y^{2}=7\end{matrix}\right.\Leftrightarrow$$ $$\left\{\begin{matrix}(x+y)+xy=5\\x^{2}+2xy+y^{2}-xy=7\end{matrix}\right.\Leftrightarrow$$ $$\left\{\begin{matrix}(x+y)+xy=5\\(x+y)^{2}-xy=7\end{matrix}\right.$$

     Пусть x+y=a; xy=b

     $$\left\{\begin{matrix}a+b=5(1)\\a^{2}-b=7(2)\end{matrix}\right.\Leftrightarrow$$ $$b=5-a$$

     Сложим (1) и (2): $$a^{2}+a=12\Leftrightarrow$$ $$a^{2}+a-12=0$$

     $$\left\{\begin{matrix}a_{1}+a_{2}=-1\\a_{1}*a_{2}=-12\end{matrix}\right.\Leftrightarrow$$ $$\left\{\begin{matrix}a_{1}=-4\\a_{2}=3\end{matrix}\right.\Leftrightarrow$$ $$\left\{\begin{matrix}b=5-(-4)=9\\b=5-3=2\end{matrix}\right.$$

     $$\left[\begin{matrix}\left\{\begin{matrix}x+y=-4\\xy=9\end{matrix}\right.\\\left\{\begin{matrix}x+y=3\\xy=2\end{matrix}\right.\end{matrix}\right.\Leftrightarrow$$ $$\left[\begin{matrix}\left\{\begin{matrix}x=4-y\\(-4-y)y=9\end{matrix}\right. (1)\\\left\{\begin{matrix}x=3+y\\(3-y)y=2\end{matrix}\right.(2)\end{matrix}\right.$$

     (1): $$-y^{2}-4y-9=0\Leftrightarrow$$ $$y^{2}+4y+9=0\Leftrightarrow$$ $$D=16-36<0\Rightarrow$$ решений нет

     (2): $$3y-y^{2}=2\Leftrightarrow$$ $$y^{2}-3y+2=0\Leftrightarrow$$ $$\left[\begin{matrix}y_{1}=1\\y_{2}=2\end{matrix}\right.\Leftrightarrow$$ $$\left[\begin{matrix}x_{1}=2\\x_{2}=1\end{matrix}\right.$$

Аналоги к этому заданию:

Задание 22

Мастеру на выполнение заказа потребуется на 5 дней меньше, чем его ученику, но при совместной работе они выполнят заказ на 4 дня быстрее, чем мастер, работающий в одиночку. За сколько дней выполнит заказ мастер, работая в одиночку?

Ответ: 10
Скрыть

     Пусть x-производительность мастера в день, y-ученика , 1-объем работы . Тогда: $$\left\{\begin{matrix}\frac{1}{y}-\frac{1}{x}=5\\\frac{1}{x}-\frac{1}{x+y}=4\end{matrix}\right.\Leftrightarrow$$ $$\left\{\begin{matrix}\frac{1}{y}-\frac{1}{x}=5\\\frac{x+y-x}{x(x+y)}=4\end{matrix}\right.\Leftrightarrow$$ $$\left\{\begin{matrix}\frac{1}{y}-\frac{1}{x}=5(1)\\\frac{y}{x(x+y)}=4(2)\end{matrix}\right.$$

   (1): $$\frac{x-y}{xy}=5\Leftrightarrow$$ $$x-y=5xy\Leftrightarrow$$ $$x=5xy+y\Leftrightarrow$$ $$x=y(5x+1)\Leftrightarrow$$ $$y=\frac{x}{5x+1}$$

   (2): $$4x(x+y)=y\Leftrightarrow$$ $$4x(x+\frac{x}{5x+1})=\frac{x}{5x+1}|:x\Leftrightarrow$$ $$4(\frac{5x^{2}+2x}{5x+1})=\frac{1}{5x+1}|:(5x+1)\Leftrightarrow$$ $$20x^{2}+8x-1=0\Leftrightarrow$$ $$D=64+80=144$$

     $$x_{1}=\frac{-8+12}{40}=\frac{1}{10}\Rightarrow$$ $$t_{x}=1:\frac{1}{10}=10$$

    $$x_{2}=\frac{-8-12}{40}<0$$

Аналоги к этому заданию:

Задание 23

Постройте график функции $$y=|x-4|+|x+4|$$ и найдите все значения k , при которых прямая $$y=kx$$ имеет с графиком данной функции ровно одну общую точку.

Ответ: $$(-\infty ;-2)\cup [0;+\infty )$$
Скрыть

Рассмотрим раскрытие модулей:

$$\left\{\begin{matrix}x\leq -4, y=-x+4-(-x-4)=8\\x \in (-4,4)(1), y =-x+4-(x+4)=-2x-8\\x\geq 4(2), y=x-4-(x+4)=-8(3)\end{matrix}\right.$$

Построим график данной кусочной функции:

Как видим, одна точка пересечения у графика будет в случае: $$k \in (-\infty ;-2)\cup [0;+\infty )$$

Аналоги к этому заданию:

Задание 24

В прямоугольной трапеции с острым углом 45, большая боковая сторона равна $$16\sqrt{2}$$ см, а меньшая диагональ равна 20 см. Найдите площадь трапеции.

Ответ: 320
Скрыть

     1) Пусть $$CH\perp AD$$, тогда $$\Delta CHD$$ – прямоугольный и равнобедренный и $$CH=CD\sin D=$$$$16\sqrt{2}*\frac{\sqrt{2}}{2}=16$$

     2) из $$\Delta AHC$$: $$AH=\sqrt{AC^{2}-CH^{2}}=12$$; т.е. CH и $$AB\perp AD$$, то BH=AH=12; AD=AH+HD=28

     3) $$S_{ABCD}=\frac{BC+AD}{2}*CH=$$$$\frac{12+28}{2}*16=320$$

Аналоги к этому заданию:

Задание 25

Докажите, что сумма квадратов медиан прямоугольного треугольника в 1,5 раза больше квадрата гипотенузы.

Ответ:
Скрыть

     1) $$CC_{1}=\frac{1}{2}AB$$( свойство медиан из прямого угла) пусть $$AC^{2}=x^{2}$$, $$CB^{2}=y^{2}\Rightarrow$$ $$AB^{2}=x^{2}+y^{2}$$

     2) $$CC_{1}^{2}=(\frac{AB}{2})^{2}=\frac{x^{2}+y^{2}}{4}$$

$$\Delta AA_{1}C$$: $$AA_{1}^{2}=AC^{2}+(\frac{CB}{2})^{2}=$$$$x^{2}+\frac{y^{2}}{4}$$

$$\Delta CBB_{1}$$: $$BB_{1}^{2}=CB^{2}+(\frac{AC}{2})^{2}=$$$$y^{2}+\frac{x^{2}}{4}$$

     3) $$AA_{1}^{2}+BB_{1}^{2}+CC_{1}^{2}=$$$$x^{2}+\frac{y^{2}}{4}+y^{2}+\frac{x^{2}}{4}+\frac{x^{2}}{4}+\frac{y^{2}}{4}=$$$$\frac{3x^{2}+3y^{2}}{2}=1,5(x^{2}+y^{2})=1,5AB^{2}$$

Аналоги к этому заданию:

Задание 26

Диагонали с длинами $$\sqrt{7}$$ и 4 делят четырёхугольник на части, площади которых образуют арифметическую прогрессию. Найдите площадь четырёхугольника, зная, что угол между большей диагональю и меньшей из сторон равен 30 .

Ответ: $$\sqrt{3}$$
Скрыть

     1) Пусть $$S_{AOD}=a_{1}$$; $$S_{AOB}=a_{2}$$; $$S_{BOC}=a_{3}$$; $$S_{COD}=a_{4}$$; $$\angle AOB=\alpha \Rightarrow$$ $$\angle AOD=180-\alpha$$

     2) $$a_{1}=\frac{1}{2}AO*OD \sin (180-\alpha )=$$$$\frac{1}{2}AO*OD \sin \alpha$$ ; $$a_{2}=\frac{1}{2}AO*OB \sin \alpha$$ , $$a_{3}=\frac{1}{2}BO*OC \sin \alpha$$ ; $$a_{4}=\frac{1}{2}CO*OD \sin \alpha$$ . Тогда : $$a_{1}*a_{3}=\frac{1}{4}AO*OD*BO*OC* \sin^{2}\alpha=a_{2}*a_{4}(1)$$

     3) т.к. арифметическая прогрессия ( пусть ее разность d ) , то: $$a_{2}=a_{1}+d$$; $$a_{3}=a_{1}+2d$$; $$a_{4}=a_{1}+3d$$. С учетом (1): $$a_{1}(a_{1}+2d)=(a_{1}+d))(a_{1}+3d)\Leftrightarrow$$ $$a_{1}^{2}+2a_{1}d=a_{1}^{2}+4a_{1}d+3d^{2}\Leftrightarrow$$ $$2a_{1}d+3d^{2}=0\Leftrightarrow$$ $$d(2a_{1}+3)=0$$. $$2a_{1}+3>0$$ ,т.к. $$a_{1}$$ - площадь , тогда d=0, но тогда $$a_{1}=a_{2}=a_{3}=a_{4}(2)$$

     4)С учетом (2) : $$AO *OD=AO*BO$$, $$(a_{1}=a_{2})\Rightarrow$$ $$BO=OD$$; $$AO*OB=BO*OC$$$$(a_{2}=a_{3})\Rightarrow$$$$AO=OD$$. Тогда ABCD-параллелограмм

     5) $$BO=OD=\frac{\sqrt{7}}{2}$$; $$AO=OC=2$$ Из $$\Delta AOB$$ : Пусть AB=x, тогда по теореме косинусов :

$$\frac{7}{4}=x^{2}+4-2x*2\frac{\sqrt{3}}{2}\Leftrightarrow$$ $$x^{2}-2x\sqrt{3}+\frac{9}{4}=0\Leftrightarrow$$ $$D=12-9=3$$

$$x_{1}=\frac{2\sqrt{3}+\sqrt{3}}{2}=\frac{3\sqrt{3}}{2}$$

$$x_{2}=\frac{2\sqrt{3}-\sqrt{3}}{2}=\frac{\sqrt{3}}{2}$$

     6) при $$AB=\frac{3\sqrt{3}}{2}=\frac{\sqrt{27}}{2}$$ из $$\Delta ABC:$$ $$BC=\sqrt{\frac{9*3}{4}+16-2*4*\frac{3\sqrt{3}}{2}*\frac{\sqrt{3}}{2}}=$$$$\sqrt{\frac{27}{4}+16-18}=$$$$\sqrt{\frac{27}{4}-2}=\frac{\sqrt{19}}{2}<AB\Rightarrow$$ не подходит по условию , что AB –меньшая.

Тогда:  $$S_{ABO}=\frac{1}{2}*AB*BO\sin BAO=$$$$\frac{1}{2}*\frac{\sqrt{3}}{2}*2*\frac{1}{2}=$$$$\frac{\sqrt{3}}{4}$$ и $$S_{ABCD}=\sqrt{3}$$