Перейти к основному содержанию

ОГЭ математика 2019. Разбор варианта Алекса Ларина № 193.

Решаем ОГЭ 193 вариант Ларина. Подробное решение 1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,17,18,19,20 заданий тренировочного варианта ОГЭ Ларина №193 (alexlarin.com)

Решаем ОГЭ 193 вариант Ларина. Подробное решение 21,22,23,24,25,26 заданий тренировочного варианта ОГЭ Ларина №193 (alexlarin.com)

Аналоги к этому заданию:

Задание 1

Найдите значение выражения $$(\frac{1}{9})^{-2}+19^{-3}:19^{-4}-2019$$

Ответ: 1919
Скрыть

$$(\frac{1}{9})^{-2}+19^{-3}: 19^{-4}-2019=$$$$9^{2}+19^{-3-(-4)}-2019=61+19-2019=$$$$100-2019=1919$$

Аналоги к этому заданию:

Задание 2

Для квар­ти­ры пло­ща­дью 56 кв. м за­ка­зан на­тяж­ной по­то­лок бе­ло­го цвета. Сто­и­мость работ по уста­нов­ке на­тяж­ных по­тол­ков при­ве­де­на в таб­ли­це.

 Цвет по­тол­ка

Цена в руб­лях за 1 м2 (в за­висмо­сти от пло­ща­ли по­ме­ще­ния)

 

до 10 м2

от 11 до 30 м2

от 31 до 60 м2

свыше 60 м2

белый

1200

1000

800

600

цвет­ной

1350

1150

950

750

Ка­ко­ва сто­и­мость за­ка­за, если дей­ству­ет се­зон­ная скид­ка в 5%?

В от­ве­те ука­жи­те номер пра­виль­но­го ва­ри­ан­та.

1) 4256 руб­лей

2) 44800 руб­лей

3) 42 560 руб­лей

4) 44 995 руб­лей

Ответ: 3
Скрыть

56*800=44800-стоимость без скидки
44800*0,95=42560-со скидкой, что соответствует 3 варианту ответа

Аналоги к этому заданию:

Задание 3

На координатной прямой отмечены числа a, b и c.

Какое из следующих утверждений об этих числах верно?

  1. $$a+b<c$$
  2. $$ab>c$$
  3. $$bc>1$$
  4. $$\frac{1}{c}<1$$
Ответ: 1
Скрыть

По условию задания: a<0<b<c<1. Пусть a=-0,5; b=0,4; c=0,8

  1. $$a+b<c\Leftrightarrow -0,5+0,4<0,8$$-верно
  2. $$ab>c-0,5*0,4>0,8$$-неверно
  3. $$bc>10,4*0,8>1$$-неверно
  4. $$\frac{1}{c}<1\frac{1}{0,8}<1$$-неверно

Верным является только первый вариант ответа

Аналоги к этому заданию:

Задание 4

Значение какого из выражений является числом рациональным?

Варианты ответа

  1. $$\sqrt{8}*\sqrt{12}$$
  2. $$(\sqrt{8}-\sqrt{12})(\sqrt{8}+\sqrt{12})$$
  3. $$\frac{\sqrt{8}}{\sqrt{12}}$$
  4. $$(\sqrt{8}+\sqrt{12})^{2}$$
Ответ: 2
Скрыть
  1. $$\sqrt{8-12}=\sqrt{96}$$-иррационально
  2. $$(\sqrt{8}-\sqrt{12})(\sqrt{8}+\sqrt{12})=8-12=-4$$
  3. $$\frac{\sqrt{8}}{\sqrt{12}}=\sqrt{\frac{2}{3}}$$-иррационально
  4. $$(\sqrt{8}+\sqrt{12})^{2}=8+2\sqrt{96}+12$$-иррационально

Рациональным является только второй вариант ответа

Аналоги к этому заданию:

Задание 5

На графиках показано, как во время телевизионных дебатов между кандидатами А и Б телезрители голосовали за каждого из них. Сколько всего тысяч телезрителей проголосовало за первые 20 минут дебатов?

Ответ: 25
Скрыть

Кандидат A: 15
Кандидат Б: 10
В сумме : 15+10=25

Аналоги к этому заданию:

Задание 6

Решите уравнение $$\frac{9}{x-5}=\frac{5}{x-9}$$

Ответ: 14
Скрыть

$$9(x-9)=5(x-5)\Leftrightarrow$$ $$9x-81=5x-25\Leftrightarrow$$ $$4x=56\Leftrightarrow$$ $$x=14$$

Аналоги к этому заданию:

Задание 7

В в школе учится 1200 учащихся, среди которых 156 отличников. Сколько процентов составляют отличники этой школы?

Ответ: 13
Скрыть

1200-100%
156-x%
$$x=\frac{156*100}{1200}=13$$

Аналоги к этому заданию:

Задание 8

На диаграмме представлено распределение количества пользователей некоторой социальной сети по странам мира. Всего в этой социальной сети 12 млн пользователей.

Какие из следующих утверждений неверны?

  1. пользователей из Аргентины больше, чем пользователей из Польши.
  2. пользователей из Аргентины примерно втрое больше, чем пользователей из Парагвая.
  3. пользователей из Аргентины и Беларуси вместе — меньше четверти общего числа пользователей.
  4. пользователей из Бразилии примерно 8 миллионов человек
Ответ: 14
Скрыть
  1. верно
  2. не верно
  3. не верно
  4. верно
Аналоги к этому заданию:

Задание 9

Аня выбирает трехзначное число. Найдите вероятность того, что оно делится на 11

Ответ: 0,09
Скрыть

Количество чисел до 999 делящихся на 11: $$999*11=90,(81)\Rightarrow 90$$
До 99 - 99:11=9
Всего трехзначных чисел: 999-99=900
$$P=\frac{90-9}{900}=\frac{81}{900}=0,09$$

Аналоги к этому заданию:

Задание 10

Установите соответствие между графиками функций и формулами, которые их задают.

функции

  1. $$y=-\frac{6}{x}$$
  2. $$y=-\frac{1}{2}x^{2}$$
  3. $$y=\frac{1}{2}x-2$$
  4. $$y=-\frac{1}{2}x^{2}-2$$
Ответ: 312
Скрыть

A - линейная функция $$\Rightarrow 3$$

Б - обратная пропорциональность $$\Rightarrow 1$$

B - квадратичная вида $$y=-ax^{2}\Rightarrow 2$$

Аналоги к этому заданию:

Задание 11

Выписаны первые три члена арифметической прогрессии: 20; 13; 6; … Найдите шестой член этой прогрессии.

Ответ: -15
Скрыть

Найдем разность арифм. Прогрессии : $$d=a_{n+1}-a_{n}=13-20=-7$$
Найдем шестой член используя формулу n-го члена: $$a_{n}=a_{1}+d(n-1)$$
$$a_{6}=2a-7(6-1)=-15$$

Аналоги к этому заданию:

Задание 12

Найдите значение выражения$$(x-5)^{2}-x(10+x)$$ при $$x=-\frac{1}{20}$$

Ответ: 26
Скрыть

$$(x-5)^{2}-x(10+x)=$$$$x^{2}-10x+25-10x-x^{2}=$$$$-20+25=-20(-\frac{1}{20})+25=26$$

Аналоги к этому заданию:

Задание 13

Закон Мен­де­ле­е­ва-Кла­пей­ро­на можно за­пи­сать в виде PV = νRT, где P — дав­ле­ние (в пас­ка­лях), V — объём (в м3), ν — ко­ли­че­ство ве­ще­ства (в молях), T — тем­пе­ра­ту­ра (в гра­ду­сах Кель­ви­на), а R — уни­вер­саль­ная га­зо­вая по­сто­ян­ная, рав­ная 8,31 Дж/(К⋅моль). Пользуясь этой формулой, найдите количество вещества ν (в молях), если T=700 K, P = 20 941,2 Па, V = 9,5 м3.

Ответ: 34,2
Скрыть

Выразим количество вещества из формулы: $$v=\frac{PV}{RT}$$
Найдем значение количества вещества:
$$v=\frac{20941,2*9,5}{8,31*700}=\frac{209412*95*10^{-2}}{831*700*10^{-2}}=\frac{252*95}{700}=34,2$$

Аналоги к этому заданию:

Задание 14

Решите неравенство $$9x^{2}-(3x-5)^{2}\leq 5(3x+4)$$

Варианты ответа:

  1. $$[3;+\infty)$$
  2. $$[-3;+\infty)$$
  3. $$(-\infty;3]$$
  4. $$(-\infty;-3]$$
Ответ: 3
Скрыть

$$9x^{2}-(3x-5)^{2}\leq 5(3x+4)\Leftrightarrow$$$$9x^{2}-9x^{2}+30x-25-25x-20\leq 0$$$$15\leq 45\Leftrightarrow x\leq 3$$, что соответствует 3 варианту ответа

Аналоги к этому заданию:

Задание 15

Из квадрата вырезали прямоугольник (см. рисунок). Найдите площадь получившейся фигуры.

Ответ: 49
Скрыть

Площадь квадрата: $$8^{2}=64$$
Площадь прямоугольника: $$5*3=15$$
$$S=64-15=49$$

Аналоги к этому заданию:

Задание 16

Длина хорды окружности равна 12, а расстояние от центра окружности до этой хорды равно 8. Найдите диаметр окружности.

Ответ: 20
Скрыть

$$AH=\frac{1}{2}AB=6$$

$$OA=\sqrt{OH^{2}+AH^{2}}=$$$$\sqrt{6^{2}+8^{2}}=10$$

$$d=2*OA=20$$

Аналоги к этому заданию:

Задание 17

Высота равнобедренной трапеции, проведённая из вершины C, делит основание AD на отрезки длиной 5 и 8. Найдите длину основания BC.

Ответ: 3
Скрыть

Пусть $$BH_{1}\left | \right |CH$$ и $$BH_{1}=CH$$

Тогда $$AH_{1}=DH=5$$

$$HH_{1}=AH-AH_{1}=8-5=3=BC$$

Аналоги к этому заданию:

Задание 18

Найдите площадь прямоугольного треугольника, если его катет и гипотенуза равны соответственно 24 и 26.

Ответ: 120
Скрыть

$$OB=\sqrt{26^{2}-24^{2}}=10$$

$$S=\frac{1}{2}*10*24=120$$

Аналоги к этому заданию:

Задание 19

Катеты прямоугольного треугольника равны $$5\sqrt{3}$$ и 5. Найдите синус наименьшего угла этого треугольника.

Ответ: 0,5
Скрыть

$$CB>AC\Rightarrow \angle B<\angle A$$

$$AB=\sqrt{5^{2}+(5\sqrt{3})^{2}}=10$$

$$\sin A=\frac{AC}{AB}=\frac{5}{10}=0,5$$

Аналоги к этому заданию:

Задание 20

Какие из следующих утверждений верны?

  1. Все равнобедренные треугольники подобны.
  2. Каждая из биссектрис равнобедренного треугольника является его высотой.
  3. Равнобедренный треугольник с углом 60 - равносторонний.

В ответ запишите номера выбранных утверждений без пробелов, запятых и других дополнительных символов

Ответ: 3
Скрыть

1.нет - только с равными соответствующими друг другу углами
2.нет - только та, что выходит из вершины, противоположной основанию.
3.да

Аналоги к этому заданию:

Задание 21

Решите неравенство $$\frac{(x+2)(x+1)}{x^{2}-|x|-2}\leq -3x$$

Ответ: $$x \in (-\infty ;-2)\cup(-2;\frac{2}{3})\cup [1; 2)$$
Скрыть

     Область определения: $$x^{2}-|x|-2\neq 0\Leftrightarrow$$$$|x|\neq 2, |x|\neq -1\Leftrightarrow$$$$x\neq \pm 2$$

     Раскроем модуль:

1)   При $$x\geq 0 \Rightarrow$$ $$\frac{(x+2)(x+1)}{x^{2}-x-2} \leq -3x\Leftrightarrow$$ $$\frac{(x+2)(x-1)}{(x-2)(x+1)}\leq -3x\Leftrightarrow$$ $$\frac{x+2}{x-2}+3x\leq 0$$

     Рассматриваем числитель дроби, чтобы разбить его на множители: $$3x^{2}-5x+2=0$$

$$D=25-24=1$$

$$x_{1}=\frac{5+1}{6}=1$$

$$x_{2}=\frac{5-1}{6}=\frac{2}{3}$$

     Следовательно,$$\frac{(x-\frac{2}{3})(x+1)}{x-2}\leq 0$$

2)   При $$x<0 \Rightarrow$$$$\frac{(x+2)(x+1)}{x^{2}+x-2}\leq -3x\Leftrightarrow$$ $$\frac{(x+2)(x+1)}{(x+2)(x-1)}+3x\leq 0\Leftrightarrow$$$$\frac{x+1}{x-1}+3x\leq 0\Leftrightarrow$$ $$\frac{x+1+3x^{2}-3x}{x-1}\leq 0\Leftrightarrow$$ $$\frac{3x^{2}-2x+1}{x-1}\leq 0$$

     Рассмотрим числитель полученной дроби:

$$3x^{2}-2x+1=0$$

$$D=4-12<0$$

     Следовательно, числитель данной дроби всегда положителен и не влияет на знак неравенства: $$\frac{1}{x-1}\leq 0$$

     С учетом обрасти опредеделения:

$$x \in (-\infty ;-2)\cup(-2;\frac{2}{3})\cup [1; 2)$$

Аналоги к этому заданию:

Задание 22

Моторная лодка спустилась вниз по течению реки на 20 км и поднялась вверх по притоку еще на 10 км, затратив на весь путь 1 ч 10 мин. На обратный путь лодке потребовалось 1 ч 20 мин. Зная, что скорость реки равна скорости течения притока, найти собственную скорость лодки.

Ответ: 25
Скрыть

     Пусть x-скорость лодки в стоячей воде (км\ч ),y км\ч - скорость течения

$$\left\{\begin{matrix}\frac{20}{x+y}+\frac{10}{x-y} =1\frac{1}{6} \\\frac{10}{x+y}+\frac{20}{x-y}=1\frac{1}{3} \end{matrix}\right.$$

     Умножим второе на 2 и вычтем из первого:

$$\frac{10}{x-y}-\frac{40}{x-y}=\frac{7}{6}-\frac{8}{3}$$

$$-\frac{30}{x-y}=\frac{7-16}{6}=-\frac{9}{6}=-\frac{3}{2}$$

$$x-y=\frac{39*2}{3}=20$$

$$y=x-20$$

     Подставим в первое:

$$\frac{20}{x+x-20}+\frac{10}{x-x+20}=\frac{7}{6}$$

$$\frac{20}{2x-20}+\frac{1}{2}=\frac{7}{6}$$

$$\frac{10}{x-10}=\frac{7-3}{6}=\frac{2}{3}$$

$$2(x-10)=30\Leftrightarrow$$ $$2x-20=30\Leftrightarrow$$ $$2x=50\Leftrightarrow$$ $$x=25$$

Аналоги к этому заданию:

Задание 23

При каких значениях р вершины парабол $$y=x^{2}-6px+p$$ и $$y=-x^{2}+2px+3$$ расположены по одну сторону от оси х?

Ответ: $$(0 ;\frac{1}{9})$$
Скрыть

     Вершина $$y=x^{2}-6px+p$$: $$x_{01}=-\frac{6p}{2}=3p$$, $$y_{01}=9p^{2}-18p^{2}+p=p-9p^{2}$$

     Вершина $$y=-x^{2}+2px+3$$: $$x_{02}=-\frac{2p}{-2}=p$$, $$y_{02}=-p^{2}+2p^{2}+3=p^{2}+3$$

     По одну сторону от OX:

$$\left[\begin{matrix}\left\{\begin{matrix}y_{01}>0\\y_{02}>0\end{matrix}\right.\\\left\{\begin{matrix}y_{01}<0\\y_{02}<0\end{matrix}\right.\end{matrix}\right.\Leftrightarrow$$$$\left[\begin{matrix}\left\{\begin{matrix}p-9p^{2}>0 \\p^{2}+3>0 \end{matrix}\right. \\\left\{\begin{matrix}p-9p^{2}<0 \\p^{2}+3<0 \end{matrix}\right. \end{matrix}\right.\Leftrightarrow$$$$\left[\begin{matrix}\left\{\begin{matrix}p-9p^{2}>0 \\p \in R \end{matrix}\right. \\\left\{\begin{matrix}p-9p^{2}<0 \\p \in \varnothing \end{matrix}\right. \end{matrix}\right.\Leftrightarrow$$$$p(1-9p)>0\Leftrightarrow$$ $$p\in (0 ;\frac{1}{9})$$

Аналоги к этому заданию:

Задание 24

В прямоугольном треугольнике, периметр которого равен 36 см, вписана окружность. Гипотенуза делится точкой касания в отношении 2 : 3. Найдите длину гипотенузы.

Ответ: 15
Скрыть

     1) Пусть $$\frac{AH}{HB}=\frac{2}{3}$$, тогда AH=2x; HB=3x

     2) По свойству касательных MB=HB=3x, NA=AH=2x

     3) Пусть ON=OH=OM=y, но NC=CM=y. Тогда по т. Пифагора :$$(y+2x)^{2}+(y+3x)^{2}=(5x)^{2}(1)$$

     4) т.к. P=36, то $$y+2x+y+3x+5x=36$$, $$2y=36-10x\Leftrightarrow y=18-5x$$

Подставим в (1)

$$(18-5x+2x)^{2}+(18-5x+3x)^{2}=25x^{2}$$

$$324-108x+9x^{2}+324-72x+4x^{2}=25x^{2}$$

$$12x^{2}+180x-648=0$$

$$x^{2}+15x-54=0$$

$$\left\{\begin{matrix}x_{1}+x_{2}=-15\\x_{1}*x_{2}=-54\end{matrix}\right.\Leftrightarrow$$ $$\left\{\begin{matrix}x_{1}=3\\x_{2}=-18\end{matrix}\right.$$

-18 не может быть, так как длина - число положительное, следовательно, $$5x=5*3=15$$ - длина гипотенузы

Аналоги к этому заданию:

Задание 25

Докажите, что в прямоугольном треугольнике произведение длин отрезков, на которые делит гипотенузу точка касания с вписанной окружностью, равна площади треугольника.

Ответ:
Скрыть

     1) Пусть AH=x; HB=y; NO=OM=OH=r. По свойству касательных: AN=AH=x, MB=HB=y

     2) $$S_{ABC}=\frac{1}{2}AC*CB=$$$$\frac{1}{2}(x+r)(y+r)=$$$$\frac{1}{2}xy+\frac{1}{2}xr+\frac{1}{2}yr+\frac{1}{2}r^{2}(1)$$

С другой стороны : $$S_{ABC}=2S_{AOH}+2S_{HOB}+S_{CNOM}=$$$$2S_{AOB}+S_{CNOM}=2*\frac{1}{2}(x+y)r+r^{2}=xr+yr+r^{2}(2)$$

Приравняем (1) и (2):

$$\frac{1}{2}xy+\frac{1}{2}xr+\frac{1}{2}yr+\frac{1}{2}r^{2}=xr+yx+r^{2}$$

$$\frac{1}{2}xy=\frac{1}{2}xr+\frac{1}{2}yr+\frac{1}{2}r^{2}|*2$$

$$xy=xr+y^{2}+r^{2}=S_{ABC}$$

Аналоги к этому заданию:

Задание 26

В выпуклом четырехугольнике KLMN отрезок MS, соединяющий вершину М с точкой S, расположенной на стороне КN, пересекает диагональ LN в точке О. Известно, что KL : MN = 6 : 7, KM : ON = 2 : 1 и $$\angle KLN + \angle KMN=180$$. Найдите отношение отрезков MO и OS.

Ответ: $$\frac{4}{3}$$
Скрыть

     1) Пусть $$KM\cap LN=P$$, $$\angle KLN=\alpha$$ , тогда $$\angle KMN=180-\alpha$$ ,$$\angle LPK=\angle MPN=\beta$$ (вертикальные)

     2) из $$\Delta LPK$$ по теореме синусов: $$\frac{KP}{\sin \alpha }=\frac{LK}{\sin \beta }(1)$$

Из $$\Delta PMN : \frac{PN}{\sin (180-\alpha )}=\frac{MN}{\sin \beta }$$

С учетом , что $$\sin \alpha =\sin (180-\alpha )$$, получаем: $$\frac{PN}{\sin \alpha }=\frac{MN}{\sin \beta }(2)$$

Поделим (1) и (2): $$\frac{KP}{PN}=\frac{LK}{MN}=\frac{6}{7}$$

     3) Пусть KM=2y; ON=y, тогда KP=6x, PN=7x, PM=2y-6x, PO=7x-y; 

     4)По т. Менелая из $$\Delta KPN$$ и секущей MS : $$\frac{MO}{OS}*\frac{SN}{NK}*\frac{KP}{PM}=1$$

Пусть $$\frac{SO}{OS}=m$$, тогда $$m*\frac{SN}{SN+SK}*\frac{6x}{2y-6x}=1(3)$$

По т. Менелая из $$\Delta KMS$$ и секущей NP: $$\frac{NO}{OP}*\frac{PM}{MK}*\frac{MS}{SN}=1$$

Пусть $$\frac{SK}{SN}=n$$, тогда $$\frac{SN}{SN+SK}=\frac{\frac{SN}{SN}}{\frac{SN}{SN}+\frac{SK}{SN}}=\frac{1}{1+n}$$

Получаем: $$\frac{y}{7x-y}*\frac{2y-6x}{2y}*n=1(4)$$

Выразим в (3) m: $$m=\frac{2y-6x}{6x}*(1+n)=\frac{(y-3x)(1+n)}{3x}(5)$$

Выразим в (4) n: $$n=\frac{y}{y-3x}*\frac{7x-y}{y}=\frac{7x-y}{y-3x}$$

Выразим в (5): $$m=\frac{(y-3x)(1+\frac{7x-y}{y-3x})}{3x}=$$$$\frac{y-3x+7x-y}{3x}=\frac{4x}{3x}=\frac{4}{3}$$