Перейти к основному содержанию

ОГЭ математика 2018. Разбор варианта Алекса Ларина № 185.

Решаем ОГЭ 185 вариант Ларина. Подробное решение 1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,17,18,19,20 заданий тренировочного варианта ОГЭ Ларина №185 (alexlarin.com)

Решаем ОГЭ 185 вариант Ларина. Подробное решение 21,22,23,24,25,26 заданий тренировочного варианта ОГЭ Ларина №185 (alexlarin.com)

Аналоги к этому заданию:

Задание 1

Найдите значение выражения $$\frac{1,8}{1+\frac{1}{11}}$$

Ответ: 1,65
Скрыть

$$\frac{1,8}{1+\frac{1}{11}}=$$$$\frac{18}{10}*\frac{11}{12}=$$$$\frac{33}{20}=1,65$$

Аналоги к этому заданию:

Задание 2

В нескольких эстафетах, которые проводились в школе, команды показали следующие результаты:
Команда 1 эстафета, мин. 2 эстафета, мин. 3 эстафета, мин 4 эстафета, мин
Ласточка 3,4 4,9 2,9 5,8
Чайка 4,5 4,3 3,2 5,4
Буревестник 4,9 4,8 2,7 6,3
Альбатрос 3,7 4,5 2,4 5,1
За каждую эстафету команда получает количество баллов, равное занятому в этой эстафете месту, затем баллы по всем эстафетам суммируются. Какое итоговое место заняла команда «Буревестник», если победителем считается команда, набравшая наименьшее количество очков?
Варианты ответа
1. 1
2. 2
3. 3
4. 4
Ответ: 4
Скрыть
Команда 1 эстафета, место 2 эстафета, место 3 эстафета, место 4 эстафета, место итоговый бал
Ласточка 1 4 3 3 11
Чайка 3 1 4 2 10
Буревестник 4 3 2 4 13
Альбатрос 2 2 1 1 6

В итоге команда Буревестник займет 4 место, что соответствует 4 варианту ответа

Аналоги к этому заданию:

Задание 3

Между какими числами заключено число $$2\sqrt{3}$$
Варианты ответа
1)12 и 13
2)3 и 4
3)5 и 6
4)6 и 7

Ответ: 2
Скрыть

$$2\sqrt{3}=\sqrt{2^{2}*3}=\sqrt{12}\Leftrightarrow$$$$\sqrt{9}<\sqrt{12}<\sqrt{16}$$, что соответствует $$3<2\sqrt{3}<4$$ и является 2 вариантом ответа

Аналоги к этому заданию:

Задание 4

Представьте выражение $$\frac{(c^{-9})^{2}}{c^{-4}}$$ в виде степени с основанием с
Варианты ответа:
1) $$c^{-22}$$
2) $$c^{-72}$$
3) $$c^{68}$$
4) $$c^{-14}$$

Ответ: 4
Скрыть

Воспользуемся свойствами степени: $$\frac{(c^{-9})^{2}}{c^{-4}}=$$$$\frac{c^{-18}}{c^{-4}}=c^{-18-(-4)}=$$$$c^{-14}$$, что соответствует 4 варианту ответа

Аналоги к этому заданию:

Задание 5

На рисунке показано, как изменялась температура воздуха на протяжении одних суток. По горизонтали указано время суток, по вертикали – значение температуры в градусах Цельсия. Найдите разность между наибольшим и наименьшим значениями температуры с 6:00 до 18:00. Ответ дайте в градусах Цельсия.

Ответ: 12
Скрыть

min=12 (6:00) , max=24 (12:00-15:00), тогда max-min=24-12=12

Аналоги к этому заданию:

Задание 6

Решите уравнение $$3(2-3x)-(2x+1)=27$$

Ответ: -2
Скрыть

$$3(2-3x)-(2x+1)=27\Leftrightarrow$$$$6-9x-2x-12-27=0\Leftrightarrow$$$$-11x=22|:-11\Leftrightarrow$$$$x=-2$$

Аналоги к этому заданию:

Задание 7

Рабочий выточил за смену 920 деталей, превысив план на 15%. Сколько деталей предполагало выточить?

Ответ: 800
Скрыть

Пусть первоначально планировалось выточить х деталей, тогда мы можем принять эту величину за 100%:
x-100%
920-115%
Тогда: $$x=\frac{920*100}{115}=800$$ деталей

Аналоги к этому заданию:

Задание 8

На диаграмме представлено распределение количества пользователей некоторой социальной сети по странам мира. Всего в этой социальной сети 8 млн пользователей.

Какие из следующих утверждений неверны?
1. пользователей из России больше, чем пользователей из Украины;
2. больше трети пользователей сети — из Украины;
3. пользователей из Беларуси больше, чем пользователей из Украины;
4. пользователей из России больше 4 миллионов человек.
Ответ: 23
Скрыть

1. пользователей из России больше, чем пользователей из Украины - верно
2. больше трети пользователей сети — из Украины - неверно (так как сегмент Украины менее трети всей окружности)
3. пользователей из Беларуси больше, чем пользователей из Украины - неверно (так как сегмент Беларуси меньше сегмента Украины)
4. пользователей из России больше 4 миллионов человек - верно.
Ответом будут 2 и 3 варианты

Аналоги к этому заданию:

Задание 9

В корзинке у Красной Шапочки 20 пирожков, 4 из которых с мясом, 7 с картошкой, а остальные с капустой. Бабушка наугад взяла один пирожок. Какова вероятность того, что бабушка взяла пирожок с капустой?

Ответ: 0,45
Скрыть

Количество пирожков с капустой: 20-4-7=9. Тогда вероятность взять пирожок с капустой составляет: $$P=\frac{9}{20}=0,45$$

Аналоги к этому заданию:

Задание 10

Установите соответствие между графиками функций и формулами, которые их задают

ФОРМУЛЫ
1) $$y=2x$$
2) $$y=x^{2}-2$$
3) $$y=-\frac{2}{x}$$
Ответ: 213
Скрыть

1) $$y=2x$$ - линейная функция, графиком является прямая, что соответствует пункту Б
2) $$y=x^{2}-2$$ - квадратичная функция, графиком является парабола, что соответствует пункту А
3) $$y=-\frac{2}{x}$$ - обратная пропорциональность, графиком является гипербола, что соответствует пункту В
В итоге ответ будет 213

Аналоги к этому заданию:

Задание 11

Укажите номер первого отрицательного члена арифметической прогрессии: 9,5; 9; 8,5; …

Ответ: 21
Скрыть

Найдем разность арифметической прогрессии: $$d=a_{n+1}-a_{n}=9-9,5=-0,5$$, $$a_{1}=9,5$$. По формуле N-ый член арифметической прогрессии вычисляется как: $$a_{n}=a_{1}+d(n-1)$$. Тогда $$9,5-0,5(n-1)<0 \Leftrightarrow$$$$9,5-0,5n+0,5<0\Leftrightarrow$$$$10<0,5n|:0,5\Leftrightarrow$$$$n>20$$. Так как неравенство строгое, и n - порядковый номер, то первый отрицательный член будет под номером 21

Аналоги к этому заданию:

Задание 12

Найдите значение выражения $$(\frac{2}{a}+\frac{1}{b})\cdot \frac{1}{a^{2}+4b^{2}+4ab} \cdot (a^{2}-4b^{2})$$

Ответ: 0,5
Скрыть

$$(\frac{2}{a}+\frac{1}{b})\cdot \frac{1}{a^{2}+4b^{2}+4ab} \cdot (a^{2}-4b^{2})=$$$$\frac{2b+a}{ab}\cdot \frac{1}{(a+2b)^{2}} \cdot ((a-2b)(a+2b)=$$$$\frac{a-2b}{ab}=$$$$\frac{2\sqrt{5}+2-2(\sqrt{2}-1)}{(2\sqrt{5}+2)(\sqrt{5}-1)}=$$$$\frac{2\sqrt{5}+2-2\sqrt{5}+2}{2(\sqrt{5}+1)(\sqrt{5}-1)}=$$$$\frac{4}{2(5-1)}=\frac{1}{2}=0,5$$

Аналоги к этому заданию:

Задание 13

Перевести значение температуры по шкале Цельсия в шкалу Фаренгейта позволяет формула $$F=1,8C+32$$ , где С — градусы Цельсия, F — градусы Фаренгейта. Какая температура по шкале Цельсия соответствует $$186^{\circ}$$ по шкале Фаренгейта? Ответ округлите до десятых.

Ответ: 85,6
Скрыть

Подставим в формулу известные значения: $$186=1,8C+32\Leftrightarrow$$$$1,8C=154|:1,8\Leftrightarrow$$$$C=85,(5)$$. Так как дробь бесконечная десятичная, то если округлить до десятых получим: $$85,555...=85,6$$

Аналоги к этому заданию:

Задание 14

На каком рисунке изображено множество решений неравенства $$2x-x^{2}+3 \leq 0$$

Ответ: 2
Скрыть
$$2x-x^{2}+3 \leq 0|*(-1) \Leftrightarrow$$$$x^{2}-2x-3 \geq 0$$
Найдем корни уравнения $$x^{2}-2x-3 =0$$. По теореме Виета: $$\left[\begin{matrix}x_{1}+x_{2}=2\\ x_{1}*x_{2}=-3\end{matrix}\right.\Leftrightarrow $$$$\left[\begin{matrix}x_{1}=-1\\ x_{2}=3\end{matrix}\right.$$
Отметим полученные корни и расставим знаки, которые принимает выражение $$x^{2}-2x-3$$ на полученных промежутках:
Нам необходимы значения, которые больше нуля (те, где отмечен +), следовательно, ответом будет пункт под номером 2
Аналоги к этому заданию:

Задание 15

От столба к дому натянут провод длиной 10 м, который закреплён на стене дома на высоте 3 м от земли (см. рисунок). Вычислите высоту столба, если расстояние от дома до столба равно 8 м. Ответ дайте в метрах.

Ответ: 9
Скрыть

Опустим перпендикуляр из точки C как показано на рисунке. BC=DE=8, BD-CE=3, тогда из треугольника ABC: $$AB=\sqrt{AC^{2}-BC^{2}}=\sqrt{10^{2}-8^{2}}=6$$. Тогда AD=6+3=9 метров

Аналоги к этому заданию:

Задание 16

Диагональ BD параллелограмма ABCD образует с его сторонами углы, равные 48° и 74°. Найдите меньший угол параллелограмма. Ответ дайте в градусах

Ответ: 58
Скрыть

Весь угол в таком случае составляет: 48+74=122. Тогда меньший острый по свойству углов параллелограмма составляет: 180-122=58.

Аналоги к этому заданию:

Задание 17

В треугольнике ABC известно, что AC=24, BC= $$\sqrt{265}$$ , угол C равен 90°. Найдите радиус описанной окружности этого треугольника.

Ответ: 14,5
Скрыть

По теореме Пифагора: $$AB=\sqrt{AC^{2}+BC^{2}}=\sqrt{576+265}=29$$. По свойству радиуса описанной окружности около прямоугольного треугольника : $$R=\frac{AB}{2}=14,5$$

Аналоги к этому заданию:

Задание 18

Параллелограмм и прямоугольник имеют одинаковые стороны. Найдите острый угол параллелограмма, если его площадь равна половине площади прямоугольника. Ответ дайте в градусах.

Ответ: 30
Скрыть

Пусть a,b - стороны прямоугольника и параллелограмма. Площадь прямоугольника: $$S_{1}=ab$$, площадь параллелограмма: $$S_{2}=ab\sin\alpha$$, где $$\alpha$$ - острый угол между сторонами параллелограмма, тогда: $$\frac{1}{2}ab=ab\sin\alpha\Leftrightarrow$$$$\sin\alpha=\frac{1}{2}\Leftrightarrow$$$$\alpha=30^{\circ}$$

Аналоги к этому заданию:

Задание 19

В треугольнике ABC угол C равен 90°, СН – высота, AВ = 16, sin A = 3/4 . Найдите BН.

Ответ: 9
Скрыть

Из треугольника ABC: $$CB=AB\sin A=16*\frac{3}{4}=12$$.

Из треугольника CHB: $$HB=CB\sin BCH$$. Но из подобия прямоугольных треугольников при проведении высоты из прямого угла получаем, что $$\sin BCH=\sin A$$, тогда $$HB=CB\sin A=12*\frac{3}{4}=9$$

Аналоги к этому заданию:

Задание 20

Какие из следующих утверждений верны?
1. Диагонали любого прямоугольника равны.
2. Существует прямоугольник, который не является параллелограммом.
3. Площадь треугольника меньше произведения двух его сторон.
В ответ запишите номера выбранных утверждений без пробелов, запятых и других дополнительных символов
Ответ: 13
Скрыть

1. Диагонали любого прямоугольника равны - верно
2. Существует прямоугольник, который не является параллелограммом - неверно, так как прямоугольник сам по себе и есть параллелограмм, у которого все углы прямые
3. Площадь треугольника меньше произведения двух его сторон - верно, так как равна половине произведения его сторон на синус угла между ними
Правильными являются ответы под номерами 1 и 3

Аналоги к этому заданию:

Задание 21

Найдите сумму целых отрицательных решений неравенства $$\frac{x^{2}+2x+10}{x-2} \geq -3$$

Ответ: -10
Скрыть

$$\frac{x^{2}+2x+10}{x-2} \geq -3\Leftrightarrow$$$$\frac{x^{2}+2x+10}{x-2}+3 \geq 0\Leftrightarrow$$$$\frac{x^{2}+2x+10}{x-2}+\frac{3(x-2)}{x-2} \geq 0\Leftrightarrow$$$$\frac{x^{2}+2x+10+3x-6}{x-2} \geq 0\Leftrightarrow$$$$\frac{x^{2}+5x+4}{x-2} \geq 0$$

Найдем при каких значениях x числитель дроби равен нулю и отметим эти значения (закрашенные, так как неравенство нестрогое), а так же значение, когда знаменатель равен нулю (пустое, так как мы должны исключить данное значение из ОДЗ) на координатной прямой и расставим знаки значений, которые принимает дробь на полученных промежутках:

Нам необходимо выбрать те промежутки, где дробь принимает положительные значения, а так же из данных промежутков найти сумму всех целых отрицательных значений: $$-4+(-3)+(-2)+(-1)=-10$$

Аналоги к этому заданию:

Задание 22

В сплаве олова с медью содержалось 11 кг меди. После того, как в сплав добавили 7,5 кг олова, содержание олова повысилось на 33%. Какова была первоначальная масса сплава?

Ответ: 12,5
Скрыть

Пусть x кг - масса сплава, тогда x - 11 кг - масса олова в нем, а доля олова : $$\frac{x-11}{x}*100$$%. Добавили 7,5 кг олова, тогда масса олова стала : x - 11 + 7,5 = x - 3,5 кг , масса сплава при этом стала: x + 7,5 кг, следовательно, доля олова : $$\frac{x-3,5}{x+7,5}*100$$%. Тогда:

$$\frac{x-3,5}{x+7,5}*100-\frac{x-11}{x}*100=33|*x(x+7,5)\Leftrightarrow$$$$100x(x-3,5)-100(x-11)(x+7,5)=33x(x+7,5)\Leftrightarrow$$$$100x^{2}-350x-100x^{2}+350x+8250=33x^{2}+247,5x\Leftrightarrow$$$$33x^{2}+247,5x-82550=0|:16,5\Leftrightarrow$$$$2x^{2}+15x-500=0$$

$$D=225+4000=65^{2}\Leftrightarrow$$$$x_{1}=\frac{-15+65}{4}=12,5 ; x_{2}<0$$. Следовательно, первоначальная масса сплава составляла 12,5 кг.

Аналоги к этому заданию:

Задание 23

Постройте график функции $$y=|x^{2}+6x+5|$$ и определите, при каких значениях а прямая $$y=a$$ имеет с графиком три общие точки.

Ответ: 4
Скрыть

Рассмотрим график функции $$y_{1}=x^{2}+6x+5$$. Искомый будет отличаться от данного тем, что та часть параболы, которая находится под осью Ох симметрично отобразиться относительно оси Ох (в силу того, что модуль все отрицательные значения сделает положительными). Найдем вершину параболы: $$x_{0}=-\frac{b}{2a}=-\frac{6}{2}=-3$$ , $$y_{1}(3)=(-3)^{2}+6*(-3)+5=-4$$. Найдем еще несколько значений для функции $$y_{1}$$: $$y_{1}(-2)=-3 ; y_{1}(-1)=0 ; y_{1}(0)=5$$.

График квадратичной функции симметричен относительно оси $$x=x_{0}$$, в нашем случае относительно $$x=-3$$. Начертим график функции $$y_{1}$$: ​

Отобразим симметрично относительно оси Ох ту часть параболы, которая располагается под осью Ох и получим график функции $$y=|x^{2}+6x+5|$$:

Очевидно, что прямая параллельная оси Оу будет иметь три точки пересечения с графиком данной функции при $$a=4$$:

Аналоги к этому заданию:

Задание 24

В окружности радиуса 16 см проведена хорда длиной, равной 8 см. через один конец хорды проведена касательная, а через другой – секущая, параллельная касательной. Найдите расстояние между касательной и секущей.

Ответ: 2
Скрыть
1)Из треугольника AOB: по теореме косинусов $$\cos OAB = \frac{OA^{2}+AB^{2}-OB^{2}}{2OA*OB}=\frac{16^{2}+8^{2}-16^{2}}{2*16*8}=\frac{1}{4}$$
2)По свойству касательной и радиуса, проведенного в точку касания получаем, что $$AO\perp AK$$, но из параллельности AK и BH получаем, что $$AO\perp BH$$
3)Из треугольника ABH: $$AH=AB\cos OAB=8*\frac{1}{4}=2$$
Аналоги к этому заданию:

Задание 25

Докажите, что если в равнобедренной трапеции диагонали взаимно перпендикулярны, то высота трапеции равна средней линии.

Ответ:
Скрыть
1) Треугольники ABE и CDE прямоугольные (по условию), $$AB \parallel DC$$ (свойство трапеции), тогда треугольник $$ABE\sim CDE$$. Следовательно, $$\frac{EC}{AE}=\frac{ED}{BE}=k$$. Пусть AE=x, тогда EC=kx, пусть BE=y, тогда ED=ky
2) Треугольники ABD и ABC равны (AD=BC и $$\angle DAB=\angle ABC$$ т.к. трапеция равнобедренная, AB - общая), тогда AC=BD и x+kx=y=ky, следовательно x=y, тогда треугольники ABE и CDE - равнобедерненные
3)HE - высота и медиана, тогда, по свойству медианы в прямоугольном треугольнике: $$HE=\frac{1}{2}AB$$, аналогично $$EM=\frac{1}{2}CD$$, тогда $$HE+EM=\frac{1}{2}(AB+CD)=KL$$
ч.т.д.
Аналоги к этому заданию:

Задание 26

На боковой стороне АВ трапеции АВСD взята точка М таким образом, что АМ : МВ = 2 : 3. На противоположной стороне СD взята такая точка N, что отрезок MN делит трапецию на части, одна из которых по площади втрое больше другой. Найдите отношение CN : ND, если известно, что BC : AD = 1 : 2

Ответ: $$\frac{3}{29}$$
Скрыть
 
1)Продолжим боковые стороны до пересечения в точке P: $$\frac{BC}{AD}=\frac{1}{2}$$, тогда BC - средняя линия в треугольнике APD
2)Пусть $$S_{MBCN}=S$$, тогда $$S_{AMND}=3S$$, тогда $$S_{ABCD}=4S$$
3)Из подобия треугольников PBC и APD и свойства средней линии треугольника : $$\frac{S_{BPC}}{S_{ABCD}}=\frac{1}{3}$$, следовательно, $$S_{BPC}=\frac{4S}{3}$$
4)Пусть AM=2x, тогда MB=3x ; AB=5x=BP. Пусть CN=q, CD=PC=z. Тогда $$\frac{S_{BMN}}{S_{PAD}}=$$$$\frac{\frac{4s}{3}+S}{\frac{4s}{3}+4S}=$$$$\frac{PM*PN}{PA*PD}=$$$$\frac{8x*(z+q)}{10x*2x}$$. Получаем, что $$\frac{35z}{32}=z+q \Leftrightarrow$$$$q=\frac{3}{32}z=CN\Leftrightarrow$$$$z-q=\frac{29}{32}z=ND\Leftrightarrow$$$$\frac{CN}{ND}=\frac{3}{29}$$
Примечание: возможен вариант построения точки N ближе к D, чтобы распределение площадей получилось противоположным $$S_{MBCN}=3S$$, тогда $$S_{AMND}=S$$, но при подобном приведенному решению мы получим невозможность существования подобного разбиения площадей (точка N будет лежать вне стороны CD) - попробуйте решить самостоятельно.