Перейти к основному содержанию

ОГЭ математика 2018. Разбор варианта Алекса Ларина № 182.

Решаем ОГЭ 182 вариант Ларина. Подробное решение 1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,17,18,19,20 заданий тренировочного варианта ОГЭ Ларина №182 (alexlarin.com)

Решаем ОГЭ 182 вариант Ларина. Подробное решение 21,22,23,24,25,26 заданий тренировочного варианта ОГЭ Ларина №182 (alexlarin.com)

Аналоги к этому заданию:

Задание 1

 Найдите значение выражения $$(1\frac{1}{12}+\frac{1}{15})\div1\frac{2}{3}$$

Ответ: 0,69
Скрыть

$$(\frac{13}{3*4}+\frac{1}{3*5})\div \frac{5}{3}=$$$$\frac{13*5+1*4}{3*4*5}*\frac{3}{5}=$$$$\frac{69}{4*5*5}=0,69$$

Аналоги к этому заданию:

Задание 2

В таблице приведены размеры штрафов за превышение максимальной разрешённой скорости, зафиксированное с помощью средств автоматической фиксации, установленных на территории России с 1 сентября 2013 года.

Превышение скорости, км\ч 21-40 41-60 61-80 81 и более
Размер штрафа, руб. 500 1000 2000 5000

Какой штраф должен заплатить владелец автомобиля, зафиксированная скорость которого составила 95 км/ч на участке дороги с максимальной разрешённой скоростью 60 км/ч? 

Варианты ответа:
1) 500;
2) 1000;
3) 2000;
4) 5000.
Ответ: 1
Скрыть

Превышение составляет 35 км/ч, что входит в интервал 21-40, и штраф в таком случае составляет 500 руб. Тогда ответ под номером 1

Аналоги к этому заданию:

Задание 3

Между какими числами заключено число $$\sqrt{30}$$
Варианты ответа:
1) 2 и 3;
2) 4 и 5;
3) 5 и 6;
4) 25 и 36.
Ответ: 3
Скрыть

$$\sqrt{25} < \sqrt{30} < \sqrt{36} \Leftrightarrow$$$$ 5 < \sqrt{30} < 6$$. То есть правильный ответ будет под номером 3

Аналоги к этому заданию:

Задание 4

Найдите значение выражения $$(3-\sqrt{7})^{2}$$
Варианты ответа:
1) $$2$$;
2) $$16$$;
3) $$16-3\sqrt{7}$$;
4) $$16-6\sqrt{7}$$
Ответ: 4
Скрыть

$$(3-\sqrt{7})^{2}=$$$$3^{2}-2*3*\sqrt{7}+(\sqrt{7})^{2}=$$$$9+7-6\sqrt{7}=$$$$16-6\sqrt{7}$$

Аналоги к этому заданию:

Задание 5

При работе фонарика батарейка постепенно разряжается и напряжение в электрической цепи фонарика падает. На рисунке показана зависимость напряжения в цепи от времени работы фонарика. На горизонтальной оси отмечается время работы фонарика в часах, на вертикальной оси – напряжение в вольтах. Определите по рисунку на сколько вольт упадет напряжение с конца 6-го по конец 56-го часа фонарика.

Ответ: 0,4
Скрыть

Конец 6го - 1,4В, конец 56го - 1В. Тогда разница составляет: $$1,4-1=0,4$$

Аналоги к этому заданию:

Задание 6

Решите уравнение $$(2x+3)^{2}+(x-5)^{2}=5x^{2}$$

Ответ: -17
Скрыть

$$(2x+3)^{2}+(x-5)^{2}=5x^{2}$$
$$4x^{2}+12x+9+x^{2}-10x+25-5x^{2}=0$$
$$2x+34=0$$
$$x=-17$$

Аналоги к этому заданию:

Задание 7

После уценки электрического чайника его новая цена составила 0,65 старой. На сколько процентов уменьшилась цена чайника в результате уценки? 

Ответ: 35
Скрыть

Если проценты переводить в доли единицы, то получаем, что 1 процент соответствует 0,01, тогда 0,65 это 65 процентов, и , следовательно, уменьшение произошло на $$100-65=35%$$

Аналоги к этому заданию:

Задание 8

На диаграмме представлены семь крупнейших по площади территории (в млн км2) стран мира.

Какие из следующих утверждений верны?
1. Алжир входит в семёрку крупнейших по площади территории стран мира
2. Площадь территории Канады составляет 9,6 млн км2.
3. Площадь Австралии меньше площади Бразилии.
4. Площадь Канады больше площади Индии более чем в три раза. 
 
Ответ: 34
Скрыть
1. Алжир входит в семёрку крупнейших по площади территории стран мира - неверно, такой страны на диаграмме нет
2. Площадь территории Канады составляет 9,6 млн км- неверно, составляет 10 млн км2
3. Площадь Австралии меньше площади Бразилии. - верно
4. Площадь Канады больше площади Индии более чем в три раза.  - верно
Аналоги к этому заданию:

Задание 9

Конкурс исполнителей проводится в 4 дня. Всего заявлено 65 выступлений — по одному от каждой страны. В первый день 26 выступлений, остальные распределены поровну между оставшимися днями. Порядок выступлений определяется жеребьёвкой. Какова вероятность, что выступление представителя России состоится в третий день конкурса? 

Ответ: 0,2
Скрыть

В оставшиеся дни ежедневно будет по : $$\frac{65-26}{3}=13$$ выступлений. Тогда вероятность выступить в третий день ( как и в любой другой, кроме первого ) : $$P=\frac{13}{65}=0,2$$

Аналоги к этому заданию:

Задание 10

Найдите значение с по графику функции $$y=ax^{2}+bx+c$$, изображенному на рисунке. 

Варинты ответа:
1) 1;
2) -1;
3) 2;
4) -2.
Ответ: 3
Скрыть

Значение коэффициента $$c$$ соответствует ординате точки пересечения оси $$oY$$ графиком квадратичной функции, то есть в приведенном примере $$c=2$$ (3 вариант ответа)

Аналоги к этому заданию:

Задание 11

 Выписаны первые несколько членов арифметической прогрессии: - 3; 1; 5; ... Найдите сумму первых тридцати её членов.

Ответ: 1650
Скрыть

Первый член прогрессии : $$a_{1}=-3$$ ; разность арифметической прогрессии: $$d=1-(-3)=4$$. Найдем сумму первых тридцати ее членов: $$S_{30}=\frac{2*(-3)+4(30-1)}{2}*30=$$$$110*15=1650$$

Аналоги к этому заданию:

Задание 12

Упростите выражение $$\frac{6b}{7a}-\frac{49a^{2}+36b^{2}}{42ab}+\frac{7a-36b}{6b}$$ и найдите его значение  при $$a=-39$$, $$b=99$$ 

Ответ: -6
Скрыть

$$\frac{6b}{7a}-\frac{49a^{2}+36b^{2}}{42ab}+\frac{7a-36b}{6b}=$$$$\frac{36b^{2}-49a^{2}-36b^{2}+49a^{2}-36*7ab}{42ab}=$$$$\frac{-6*6*7ab}{6*7ab}=-6$$

Аналоги к этому заданию:

Задание 13

Площадь четырёхугольника можно вычислить по формуле $$S=\frac{d_{1}d_{2}\sin\alpha}{2}$$, $$d_{1},d_{2}$$ - длины диагоналей четырёхугольника, $$\alpha$$ - угол между диагоналями. Пользуясь этой формулой найдите длину диагонали $$d_{2}$$, если $$d_{1}=9$$, $$\sin\alpha=\frac{1}{6}$$, $$S=15$$

Ответ: 20
Скрыть

$$d_{2}=\frac{2S}{d_{1}\sin\alpha}=$$$$\frac{2*15}{9*\frac{1}{6}}=$$$$\frac{2*15*6}{9}=20$$

Аналоги к этому заданию:

Задание 14

 На каком рисунке изображено множество решений неравенства $$18-5(x+3)>1-7x$$ ?

Ответ: 3
Скрыть

$$18-5(x+3)>1-7x \Leftrightarrow$$$$18-5x-15-1+7x> 0 \Leftrightarrow$$$$2x> -2|:2 \Leftrightarrow$$$$x> -1$$. Данный ответ соответствует 3 варианту.

Аналоги к этому заданию:

Задание 15

 От столба к дому натянут провод длиной 10 м, который закреплён на стене дома на высоте 3 м от земли (см. рисунок). Вычислите высоту столба, если расстояние от дома до столба равно 8 м. Ответ дайте в метрах.

Ответ: 9
Скрыть
Сделаем дополнительное построение:
$$CB=NH=8$$. Тогда по теореме Пифагора из треугольника ABC: $$AC=\sqrt{10^{2}-8^{2}}=6$$
$$CN=BH=3$$, тогда $$AN=6+3=9$$
Аналоги к этому заданию:

Задание 16

 Точка O — центр окружности, на которой лежат точки A, B и C. Известно, что ∠ABC=75° и ∠OAB=18°. Найдите угол BCO. Ответ дайте в градусах. 

Ответ: 57
Скрыть

Угол ABC вписанный, угол AOC - центральный, они опираются на одну дугу, значит угол AOC в два раза больше, то есть 150 градусов. Тогда внутренний угол $$AOC=360-150=210$$. Тогда по свойству углов четырехугольника $$\angle BCO = 360-210-75-18 =57^{\circ}$$

Аналоги к этому заданию:

Задание 17

 Высота равностороннего треугольника равна $$3\sqrt{3}$$. Найдите его периметр. 

Ответ: 18
Скрыть

Пусть а - сторона треугольника, h - высота, тогда: $$h=a\sin 60^{\circ} \Leftrightarrow$$$$a=\frac{h}{\sin 60^{\circ}}=\frac{3\sqrt{3}}{\frac{\sqrt{3}}{2}}=6$$.
Периметр - сумма длин всех сторон, тогда : $$P=3*6=18$$

Аналоги к этому заданию:

Задание 18

 Площадь ромба равна 60, а периметр равен 30. Найдите высоту ромба.

Ответ: 8
Скрыть

Раз периметр равен 30, то одна сторона ромба: $$a=\frac{30}{4}=7,5$$. Высоту ромба можно найти через его площадь: $$h=\frac{S}{a}=\frac{60}{7,5}=8$$

Аналоги к этому заданию:

Задание 19

В треугольнике $$ABC$$ $$AB=BC=3\sqrt{5}$$, высота СН равна 3. Найдите $$tg A$$. 

Ответ: 0,5
Скрыть

По теореме Пифагора из треугольника BCH: $$BH=\sqrt{(3\sqrt{5})^{2}-3^{2}}=6$$.
Вероятнее всего необходимо найти тангенс угла B, его можно найти как отношение CH к BH из треугольника BCH: $$tg A=\frac{3}{6}=0,5$$
Если же надо именно угла А, то найдем AH : $$AH=AB-BH=3\sqrt{5}-6$$. Тогда из треугольника AHC: $$tgA=\frac{CH}{AH}=\frac{3}{3\sqrt{5}-6}$$

Аналоги к этому заданию:

Задание 20

Какие из следующих утверждений верны? 
1. Все углы ромба равны.
2. Диагонали ромба взаимно перпендикулярны
3. Высота ромба в два раза больше радиуса вписанной в него окружности. 
В ответ запишите номера выбранных утверждений без пробелов, запятых и других дополнительных символов 
 
Ответ: 23
Скрыть

1. Все углы ромба равны - неверно, только противоположные
2. Диагонали ромба взаимно перпендикулярны - верно
3. Высота ромба в два раза больше радиуса вписанной в него окружности - верно

Аналоги к этому заданию:

Задание 21

Решите уравнение $$(x-2)^{3}-(x-3)^{3}=37$$

Ответ: $$\left \{ -1;6 \right \}$$
Скрыть

Разложим левую часть уравнения по формуле сокращенного умножения разность кубов:
$$((x-2)-(x-3))((x-2)^{2}+(x-2)(x-3)+(x-3)^{2})=37 \Leftrightarrow$$$$(x-2-x+3)(x^{2}-4x+4+x^{2}-5x+6+x^{2}-6x+9)=37 \Leftrightarrow$$$$1*(3x^{2}-15x+19)=37\Leftrightarrow$$$$3x^{2}-15x-18=0 |:3 \Leftrightarrow$$$$x^{2}-5x-6=0$$
Воспользуемся теоремой Виета:
$$\left[\begin{matrix}x_{1}+x_{2}=5\\ x_{1}*x_{2}=-6\end{matrix}\right.\Leftrightarrow $$$$\left[\begin{matrix}x_{1}=6\\ x_{2}=-1\end{matrix}\right.$$

Аналоги к этому заданию:

Задание 22

Первый велосипедист выехал из поселка по шоссе со скоростью 15 км/ч. Через час после него со скоростью 10 км/ч из того же поселка в том же направлении выехал второй велосипедист, а еще через час после этого — третий. Найдите скорость третьего велосипедиста, если сначала он догнал второго, а через 2 часа 20 минут после этого догнал первого. 

Ответ: 25
Скрыть

Чтобы найти время, за которое догоняет первый объект второго, при учете различного времени выезда, необходимо воспользоваться формулой: $$t=\frac{v_{2}t_{1}}{v_{1}-v_{2}}$$, где $$v_{1}$$-скорость того, кто догоняет, $$v_{2}$$ - скорость того, которого догоняют, $$t_{1}$$-разница во времени выезда. Пусть x км/ч - скорость третьего. Тогда, время, за которое третий догонит второго: $$t_{1}=\frac{10*1}{x-10}$$,- время, за которое третий догонит первого: $$t_{2}=\frac{15*2}{x-15}$$. При этом $$t_{2}-t_{1}=2\frac{20}{60}$$ часов.
$$\frac{15*2}{x-15}-\frac{10*1}{x-10}=2\frac{20}{60} \Leftrightarrow$$$$\frac{30}{x-15}-\frac{10}{x-10}=\frac{7}{3} |*3(x-15)(x-10) \Leftrightarrow$$$$3(30x-300-10x+150)=7(x^{2}-25x+150)\Leftrightarrow$$$$60x-450-7x^{2}+175x-1050=0|*(-1)\Leftrightarrow$$$$7x^{2}-235x+1500=0$$
Найдем корни уравнения через дискриминант:
$$D=55225-42000=13225=115^{2}$$
$$x_{1}=\frac{235+115}{14}=25$$
$$x_{2}=\frac{235-115}{14}=\frac{60}{7}$$ - не подходит, так как скорость третьего должна быть больше, чем скорости первого и второго (иначе он их не сможет догонять)

Аналоги к этому заданию:

Задание 23

Постройте график функции $$y=|x^{2}-5x+2|$$ . Какое наибольшее число общих точек график данной функции может иметь с прямой, параллельной оси абсцисс?

Ответ: 4
Скрыть
Рассмотрим график функции $$y_{1}=x^{2}-5x+2$$. Искомый будет отличаться от данного тем, что та часть параболы, которая находится под осью Ох симметрично отобразиться относительно оси Ох (в силу того, что модуль все отрицательные значения сделает положительными).
Найдем вершину параболы: $$x_{0}=-\frac{b}{2a}=-\frac{-5}{2}=2,5$$ , $$y_{1}(2,5)=2,5^{2}-5*2,5+2=-4,25$$.
Найдем еще несколько значений для функции $$y_{1}$$: $$y_{1}(2)=-4 ; y_{1}(1)=-2 ; y_{1}(0)=2$$. График квадратичной функции симметричен относительно оси $$x=x_{0}$$, в нашем случае относительно $$x=2,5$$. Начертим график функции $$y_{1}$$:
Отобразим симметрично относительно оси Ох ту часть параболы, которая располагается под осью Ох и получим график функции $$y=|x^{2}-5x+2|$$:
Очевидно, что прямая параллельная оси Оу будет иметь максимально четыре точки пересечения с графиком данной функции, например:
Аналоги к этому заданию:

Задание 24

 На сторонах ВС и ВА треугольника АВС взяты точки E и F такие, что ВE:EС=1:3, ВF:FА=1:2. Площадь треугольника BEF равна 10. Найти площадь треугольника АВС 

Ответ: 120
Скрыть

$$\frac{S_{ABC}}{S_{BEF}}=\frac{AB*BC}{BF*BE}(1)$$. Так как ВE:EС=1:3, то BC=4BE, так как ВF:FА=1:2, то AB=3BF. Подставим данные выражения в формулу (1): $$\frac{S_{ABC}}{S_{BEF}}=\frac{3BF*4BE}{BF*BE}=12$$, тогда $$S_{ABC}=12S_{BFE}=12*10=120$$

Аналоги к этому заданию:

Задание 25

Докажите, что в трапеции, диагонали которой являются биссектрисами углов при одном из оснований, длины трёх сторон равны. 

Ответ:
Скрыть

1)$$\angle BDA=\angle DBC$$(накрестлежащие при параллельных BC и AD) ; $$\angle BDA=\angle BDC$$ (BD - биссеткриса) , тогда $$\angle BDC=\angle DBC$$, тогда треугольник BDC - равнобедренный и BC=BD(1)

2)аналогично рассматривается равенство углов BAC и BCA, тогда треугольник ABC - равнобедренный, и AB=BC, но с учетом равенства (1) получаем AB=BC=CD.

ч.т.д.

Аналоги к этому заданию:

Задание 26

 В треугольнике АВС точка D на стороне ВС и точка F на стороне АС расположены так, что ВD:DC=3:2, AF:FC=3:4. Отрезки AD и BF пересекаются в точке Р. Найдите отношение АР:PD. 

Ответ: $$\frac{5}{4}$$
Скрыть

ВD:DC=3:2, пусть BD=3x, тогда DC=2x, а BC=5x. AF:FC=3:4, пусть AF=3y, тогда FC=4y. По теореме Менелая для треугольника BFC: $$\frac{AP}{PD}*\frac{BD}{BC}*\frac{CF}{AF}=1\Leftrightarrow$$$$\frac{AP}{PD}*\frac{3x}{5x}*\frac{4y}{3y}=1\Leftrightarrow$$$$\frac{AP}{PD}=\frac{5}{4}$$