Перейти к основному содержанию

ОГЭ математика 2018. Разбор варианта Алекса Ларина № 178.

Решаем ОГЭ 178 вариант Ларина. Подробное решение 1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,17,18,19,20 заданий тренировочного варианта ОГЭ Ларина №178 (alexlarin.com)

Решаем ОГЭ 178 вариант Ларина. Подробное решение 21,22,23,24,25,26 заданий тренировочного варианта ОГЭ Ларина №178 (alexlarin.com)

Аналоги к этому заданию:

Задание 1

 Найдите значение выражения $$15\cdot(\frac{1}{5})^{2}-3\frac{1}{5}$$

Ответ: -2,6
Скрыть

$$15\cdot(\frac{1}{5})^{2}-3\frac{1}{5}=$$ $$15\cdot\frac{1}{25}-\frac{16}{5}=\frac{15}{25}-\frac{16}{5}=$$ $$\frac{3}{5}-\frac{16}{5}=-\frac{13}{5}=-2,6$$

Аналоги к этому заданию:

Задание 2

В таблице даны рекомендуемые суточные нормы потребления (в г/сутки) жиров, белков и углеводов детьми от 1 года до 14 лет и взрослыми.

Вещество Дети от 1 года до 14 лет Мужчины Женщины
Жиры 40-97 70-154 60-102
Белки 36-87 65-117 58-87
Углеводы 170-420 257-586

Какой вывод о суточном потреблении жиров, белков и углеводов 12-летней девочкой можно сделать, если по подсчётам диетолога в среднем за сутки она потребляет 43 г жиров, 55 г белков и 160 г углеводов? В ответе укажите номера верных утверждений.

1) Потребление жиров в норме.

2) Потребление белков в норме.

3) Потребление углеводов в норме. 

 

Ответ: 12
Аналоги к этому заданию:

Задание 3

 Одно из чисел $$\sqrt{17}$$, $$\sqrt{22}$$, $$\sqrt{28}$$, $$\sqrt{32}$$ отмечено на прямой, точкой А.  Какое это число?

Варианты ответа:

1) $$\sqrt{17}$$,

2) $$\sqrt{22}$$,

3) $$\sqrt{28}$$,

4) $$\sqrt{32}$$.

Ответ: 1
Скрыть

Число А больше 4,но меньше 5, т.е. $$\sqrt{16}<A<\sqrt{25}$$, ближе к 4, т.е. $$\sqrt{17}$$

Аналоги к этому заданию:

Задание 4

 Сколько целых чисел расположено между числами $$-\sqrt{80}$$ и $$-\sqrt{8}$$

Ответ: 6
Скрыть

$$-\sqrt{80}>-\sqrt{81}=-9$$

$$-\sqrt{8}<-\sqrt{4}=-2$$

$$-9<N<-2$$ $$\Rightarrow$$ $$-8;-7;-6;-5;-4;-3$$

Аналоги к этому заданию:

Задание 5

При резком торможении расстояние, пройденное автомобилем до полной остановки (тормозной путь), зависит от скорости, с которой автомобиль двигался. На рисунке показан график этой зависимости. По горизонтальной оси откладывается скорость в километрах в час, по вертикальной — тормозной путь в метрах. Определите по графику, каким будет тормозной путь автомобиля, который двигается со скоростью 60 км/ч. Ответ дайте в метрах. 

Ответ: 40
Аналоги к этому заданию:

Задание 6

 Решите уравнение $$\frac{x+9}{3}-\frac{x-1}{5}=2$$

Ответ: -2,25
Скрыть

$$\frac{x+9}{3}-\frac{x-1}{5}=2$$ $$|\div15$$

$$5x+45-3x+3=30$$; $$8x=-18$$; $$x=-2,25$$

Аналоги к этому заданию:

Задание 7

Магазин делает пенсионерам скидку на определённое количество процентов от цены покупки. Пачка масла стоит в магазине 125 рублей. Пенсионер заплатил за неё 95 рублей. Сколько процентов составляет скидка для пенсионеров? 

Ответ: 24
Скрыть

$$125-100$$ %

$$95-x$$ %

$$x=\frac{95\cdot100}{125}=76$$ %

$$100-76=24$$ %

Аналоги к этому заданию:

Задание 8

Завуч подвёл итоги контрольной работы по математике в 9-х классах. Результаты представлены на диаграмме. 

Какие из утверждений относительно результатов контрольной работы верны, если всего в школе 120 девятиклассников?

1. Более половины девятиклассников получили отметку «3».

2. Около половины девятиклассников отсутствовали на контрольной работе.

3. Отметку «4» или «5» получила примерно треть девятиклассников.

4. Отметку «3», «4» или «5» получили менее 100 учащихся

Ответ: 14
Аналоги к этому заданию:

Задание 9

 В среднем из каждых 80 поступивших в продажу аккумуляторов 68 аккумуляторов заряжены. Найдите вероятность того, что купленный аккумулятор не заряжен. 

Ответ: 0,15
Скрыть

$$80-68=12$$ - незаряжен; $$p=\frac{12}{80}=0,15$$

Аналоги к этому заданию:

Задание 10

 График какой из приведенных ниже функций изображен на рисунке? 

Варианты ответа: 

1) $$y=x^{2}-x$$;

2) $$y=-x^{2}-x$$;

3) $$y=x^{2}+x$$;

4) $$y=-x^{2}+x$$

Ответ: 3
Аналоги к этому заданию:

Задание 11

 Найдите сумму пятидесяти первых членов арифметической прогрессии, заданной формулой $$a_{n}=0,5n-14$$. 

Ответ: -62,5
Скрыть

$$a_{1}=0,5-14=-13,5$$; $$a_{2}=1-14=-13$$; $$d=a_{2}-a_{1}=-13-(-13,5)=0,5$$; $$S_{50}=\frac{2\cdot(-13,5)+0,5\cdot(50-1)}{2}\cdot50=(-27+24,5)\cdot25=-62,5$$

Аналоги к этому заданию:

Задание 12

 Найдите значение выражения  $$\frac{28}{4a-a^{2}}-\frac{7}{a}$$ при $$a=-3$$

Ответ: 1
Скрыть

$$\frac{28}{4a-a^{2}}-\frac{7}{a}=\frac{28}{a(4-a)}-\frac{7(4-a)}{a(4-a)}=$$ $$\frac{28-2a+7a}{a(4-a)}=\frac{7}{4-a}=\frac{7}{4-(-3)}=1$$

Аналоги к этому заданию:

Задание 13

Центростремительное ускорение при движении по окружности (в м/с2) можно вычислить по формуле $$a=\omega^{2}R$$, где  $$\omega$$— угловая скорость (в с-1), а $$R$$ — радиус окружности. Пользуясь этой формулой, найдите расстояние  (в метрах), если угловая скорость равна 4 с-1, а центростремительное ускорение равно 96 м/с2

Ответ: 6
Скрыть

$$R=\frac{a}{\omega^{2}}=\frac{96}{4^{2}}=6$$

Аналоги к этому заданию:

Задание 14

 Найдите сумму наибольшего целого и наименьшего целого решения системы $$\left\{\begin{matrix}x+4<2x+3\\3x-4\leq2x+4\end{matrix}\right.$$

Ответ: 10
Скрыть

$$\left\{\begin{matrix}x+4<2x+3\\3x-4\leq2x+4\end{matrix}\right.$$ $$\Leftrightarrow$$ $$\left\{\begin{matrix}x-3<2x-x\\3x-2x\leq4+4\end{matrix}\right.$$ $$\Leftrightarrow$$ $$\left\{\begin{matrix}x>1\\x\leq8\end{matrix}\right.$$

$$x_{min}=2$$; $$x_{max}=8$$

Аналоги к этому заданию:

Задание 15

 Лестница соединяет точки A и B. Высота каждой ступени равна 13 см, а длина — 84 см.Расстояние между точками A и B составляет 25,5 м. Найдите высоту, на которую поднимается лестница (в метрах).

Ответ: 3,9
Скрыть

Диагональ ступеньки: $$\frac{\sqrt{13^{2}+84^{2}}}{100}=0,85$$

Количество ступенек: $$\frac{25,5}{0,85}=30$$

Высота: $$0,13\cdot30=3,9$$

Аналоги к этому заданию:

Задание 16

В треугольнике АВС углы А и С равны 46° и 54° соответственно. Найдите угол между высотой ВН и биссектрисой BD. Ответ дайте в градусах. 

Ответ: 4
Скрыть

$$\angle B=180^{\circ}-(46+54)=80$$; $$\angle DBC=\frac{\angle B}{2}=40$$; $$\bigtriangleup BHC$$: $$\angle HBC=90^{\circ}-\angle C=90-54=36^{\circ}$$; $$\angle DBH=40-36=4$$

Аналоги к этому заданию:

Задание 17

Диагональ равнобедренной трапеции делит тупой угол пополам. Меньшее основание трапеции равно 5, а её периметр равен 24. Найдите большее основание трапеции. 

Ответ: $$\frac{19}{3}$$
Скрыть

$$\angle CBD=\angle ABD$$ (по условию)

$$\angle CBD=\angle ADB$$ (накрестлежащие)

тогда $$\bigtriangleup ABD$$ - равнобедр $$\Rightarrow$$ $$AB=CD=AD=x$$; $$P=3x+5=24$$; $$3x=19$$; $$x=\frac{19}{3}$$

Аналоги к этому заданию:

Задание 18

 В трапецию, сумма длин боковых сторон которой равна 22, вписана окружность. Найдите длину средней линии трапеции. 

Ответ: 11
Аналоги к этому заданию:

Задание 19

Катеты прямоугольного треугольника равны $$3\sqrt{11}$$ и 1. Найдите синус наименьшего угла этого треугольника. 

Ответ: 0,1
Аналоги к этому заданию:

Задание 20

Какие из следующих утверждений верны? 
1. Если один из углов параллелограмма острый, то и остальные его углы острые.

2. Если один из углов параллелограмма прямой, то и остальные его углы прямые.

3. Если один из углов трапеции прямой, то и остальные её углы прямые 
В ответ запишите номера выбранных утверждений без пробелов, запятых и других дополнительных символов

Ответ: 2
Аналоги к этому заданию:

Задание 21

Решите уравнение $$(x^{2}-25)^{2}+(x^{2}+3x-10)^{2}=0$$

Ответ: -5
Скрыть

$$\left\{\begin{matrix}x^{2}-25=0\\x^{2}+3x-10=0\end{matrix}\right.$$ $$\Leftrightarrow$$ $$\left\{\begin{matrix}x=\pm5\\\left\{\begin{matrix}x_{1}=-5\\x_{2}=2\end{matrix}\right.\end{matrix}\right.$$

Аналоги к этому заданию:

Задание 22

 Первый велосипедист выехал из посёлка по шоссе со скоростью 21 км/ч. Через час после него со скоростьюи15 км/ч из того же посёлка в том же направлении выехал второй велосипедист, а ещё через час — третий. Найдите скорость третьего велосипедиста, если сначала он догнал второго, а через 9 часов после этого догнал первого. 

Ответ: 25
Скрыть

Пусть х - скорость третьего. Время, за которое догонит второго: $$t_{2}=\frac{15\cdot1}{x-15}$$. Первого: $$t_{1}=\frac{21\cdot2}{x-21}$$

$$\frac{42}{x-21}-\frac{15}{x-15}=9$$; $$42x-42\cdot15-15x+21\cdot15=9(x^{2}-15x-21x+21\cdot15)$$; $$27x-315=9(x^{2}-36x+315)$$; $$3x-35=x^{2}-36x+315$$; $$x^{2}-39x+350=0$$

$$D=1521-1400=121$$; $$x_{1}=\frac{39+11}{2}=25$$; $$x_{2}=\frac{39-11}{2}=14$$ - не подходит.

Аналоги к этому заданию:

Задание 23

 Постройте график функции

$$y=\left\{\begin{matrix}-x^{2}-4x-4,x<-1\\1-|x-1|,x\geq-1\end{matrix}\right.$$

 и определите, при каких значениях $$m$$ прямая $$y=m$$ имеет с графиком ровно две общие точки. 

Ответ: $$m\in(-\infty;-1)\cup(0;1)$$
Скрыть
Выполним преобразования:
$$y=-x^{2}-4x-4=-(x+2)^{2}$$
Тогда имеем следующую кусочную функцию:
$$y=\left\{\begin{matrix}-(x+2)^{2}=f(x),x<-1\\1-|x-1|=g(x),x\geq-1\end{matrix}\right.$$
В случае $$f(x)$$ - это парабола, ветви которой направлены вниз и вершина смешена на 2 единицы влево:
В случае $$g(x)$$ - график модуля, ветви направлены вниз, вершина смещена на 1 вверз и 1 вправо:
С учетом ограничений для каждой функции получаем:
Прямая  $$y=m$$ параллельна оси Ox и проходит через ординату m, в таком случае ровно два пересечения с графиком кусочной функции она будет иметь при условии, что $$m\in(-\infty;-1)\cup(0;1)$$
Аналоги к этому заданию:

Задание 24

Меньшее основание прямоугольной трапеции равно 12,5 см, а большая диагональ является биссектрисой угла при большем основании и равна 20 см. Найдите площадь трапеции. 

Ответ: 171
Скрыть

1) $$\angle BDC=\angle ADB$$ (BD - биссект.); $$\angle CDB=\angle BDA$$ (накрестлежащие); $$\Rightarrow$$ $$\angle CBD=\angle BCD$$ $$\Rightarrow$$ $$BC=CD=12,5$$

2) $$CH$$ - высота, тогда $$AH=HD=12,5$$. Пусть $$AB=CH=x$$, $$HD=y$$,тогда: из $$\bigtriangleup CHD$$ и $$\bigtriangleup ABD$$:  $$\left\{\begin{matrix}x^{2}+y^{2}=(12,5)^{2}\\x^{2}+(12,5+y)^{2}=20^{2}\end{matrix}\right.$$

$$20^{2}-(12,5+y)^{2}+y^{2}=12,5^{2}$$; $$400-12,5^{2}-25y-y^{2}+y^{2}-12,5^{2}=0$$; $$400-312,5=25y$$; $$y=3,5$$ $$\Rightarrow$$ $$x=\sqrt{400-256}=12$$

3) $$S=\frac{12,5+12,5+3,5}{2}\cdot12=171$$  

Аналоги к этому заданию:

Задание 25

 В треугольнике АВС угол АСВ тупой, $$BO\perp AC$$, $$OF\perp AB$$, $$OD\perp BC$$. Докажите, что $$\angle ACB=\angle DFB$$. 

Ответ:
Скрыть

Пусть $$\angle A=\alpha$$; $$\angle B=\beta$$ $$\Rightarrow$$ $$\angle ACB=180-\angle\alpha-\angle\beta$$

1) $$\angle BCO=180-\angle C=\alpha+\beta$$ $$\Rightarrow$$ из $$\bigtriangleup OCB$$: $$\angle CBO=90^{\circ}-\angle BCO=90^{\circ}-\alpha-\beta$$

2) $$\bigtriangleup ODN\sim\bigtriangleup FNB$$ (прямоугольные); $$\angle DNO=\angle FNB$$ (как вертикал.); $$\Rightarrow$$ $$\frac{ON}{NB}=\frac{DN}{FN}$$ $$\Rightarrow$$ $$\frac{ON}{DN}=\frac{NB}{NF}$$ $$\Rightarrow$$ $$\angle DFN=\angle NBO=90^{\circ}-\alpha-\beta$$ $$\Rightarrow$$ $$\angle DFB=90^{\circ}+90^{\circ}-\alpha-\beta=180^{\circ}-\alpha-\beta=\angle ACB$$ 

ч.т.д.

Аналоги к этому заданию:

Задание 26

В выпуклом четырёхугольнике ABCD точка Е – точка пересечения диагоналей. Известно, что площадь каждого из треугольников АВЕ и DСЕ равна 1, площадь четырёхугольника АВСD не превосходит 4, АD = 3. Найдите длину стороны ВС. 

Ответ: 3
Скрыть

1) $$S_{ABC}=S_{CED}=1$$ $$\Rightarrow$$ $$BE\cdot AE=CE\cdot ED$$ $$\Rightarrow$$ $$\frac{BE}{ED}=\frac{CE}{EA}$$; $$\angle BEC=\angle AED$$ $$\Rightarrow$$ $$\bigtriangleup BEC\sim\bigtriangleup AED$$ $$\Rightarrow$$ дана трапеция.

2) Пусть НМ - высота $$\Rightarrow$$ $$S_{BEC}=\frac{1}{2}BC\cdot HE$$; $$S_{AED}=\frac{1}{2}EM\cdot AD$$. Пусть $$EM=x$$ $$\Rightarrow$$ $$HE=kx$$, где $$k$$ - коэфф. подобия $$\Rightarrow$$ $$BC=k\cdot3$$ $$\Rightarrow$$

$$S_{BEC}+S_{AED}=\frac{1}{2}\cdot3k\cdot kx+\frac{1}{2}\cdot3x=\frac{1}{2}\cdot3x(k^{2}+1)\leq2$$ $$\Rightarrow$$ $$x(k^{2}+1)\leq\frac{4}{3}$$ $$(1)$$

$$S_{ABCD}=\frac{3k+3}{2}\cdot(kx+x)<4$$ $$\Rightarrow$$ $$x(k+1)^{2}\leq\frac{8}{3}$$ $$(2)$$

Поделим первое на второе: $$\frac{k^{2}+1}{(k+1)^{2}}\leq\frac{4}{3}\cdot\frac{3}{8}$$ $$\Leftrightarrow$$ $$\frac{k^{2}+1}{(k+1)^{2}}\leq\frac{1}{2}$$ $$\Leftrightarrow$$ $$2k^{2}+2\leq k^{2}+2k+1$$ $$\Leftrightarrow$$ $$k^{2}-2k+1\leq0$$ $$\Leftrightarrow$$ $$(k-1)^{2}\leq0$$ $$\Leftrightarrow$$ $$k=1$$ $$\Rightarrow$$ $$BC=1\cdot3=3$$