Перейти к основному содержанию

ОГЭ математика 2018. Разбор варианта Алекса Ларина № 175.

Решаем ОГЭ 175 вариант Ларина. Подробное решение 1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,17,18,19,20 заданий тренировочного варианта ОГЭ Ларина №175 (alexlarin.com)

Решаем ОГЭ 175 вариант Ларина. Подробное решение 21,22,23,24,25,26 заданий тренировочного варианта ОГЭ Ларина №175 (alexlarin.com)

Аналоги к этому заданию:

Задание 1

 Найдите значение выражения $$\frac{1}{\frac{1}{91}-\frac{1}{42}}$$

Ответ: -78
Скрыть

$$\frac{1}{\frac{1}{91}-\frac{1}{42}}=$$$$\frac{1}{\frac{6-13}{7*6*13}}=$$$$\frac{7*6*13}{-7}=-78$$

Аналоги к этому заданию:

Задание 2

 В нескольких эстафетах, которые проводились в школе, команды показали следующие результаты:

Команда I эстафета, мин II эстафета, мин III эстафета, мин IV эстафета, мин
"Непобедимые" 3,4 4,9 2,9 5,8
"Прорыв" 4,5 4,3 3,2 5,4
"Чемпионы" 4,9 4,8 2,7 6,3
"Тайфун" 3,7 4,5 2,4 5,1

За каждую эстафету команда получает количество баллов, равное занятому в этой эстафете месту, затем баллы по всем эстафетам суммируются. Какое итоговое место заняла команда «Чемпионы», если победителем считается команда, набравшая наименьшее количество очков? 

Варианты ответа:

1) 1
2) 2
3) 3
4) 4
Ответ: 4
Скрыть

Таблица балов:

Команда I эстафета, мин II эстафета, мин III эстафета, мин IV эстафета, мин
"Непобедимые" 1 4 3 3
"Прорыв" 3 1 4 2
"Чемпионы" 4 3 2 4
"Тайфун" 2 2 1 1

В итоге получаем, что команда "Чемпионы" набрала 13 балов и заняла последнее место.

Аналоги к этому заданию:

Задание 3

Какое из следующих чисел заключено между числами $$\frac{1}{6}$$ и $$\frac{1}{4}$$.
В ответе укажите номер правильного варианта.

Варианты ответа:

1) 0,1
2) 0,2
3) 0,3
4) 0,4 
Ответ: 2
Скрыть

$$\frac{1}{4}=0,25$$;$$\frac{1}{6}\approx 0,17$$. В таком случае между этими числами располагается 0,2, что соответствует 2 варианту ответа

Аналоги к этому заданию:

Задание 4

 Найдите значение выражения : $$\frac{84}{(4\sqrt{3})^{2}}$$

Варианты ответа:

1) $$\frac{7}{27}$$;
2) $$\frac{7}{107}$$;
3) $$7$$;
4) $$\frac{7}{4}$$.
Ответ: 4
Скрыть
$$\frac{84}{(4\sqrt{3})^{2}}=$$$$\frac{84}{4^{2}(\sqrt{3})^{2}}=$$$$\frac{84}{16*3}=1,75$$
Что соответствует 4 варианту ответа
Аналоги к этому заданию:

Задание 5

На рисунке показано, как изменялась температура воздуха на протяжении одних суток. По горизонтали указано время суток, по вертикали – значение температуры в градусах Цельсия. Найдите разность между наименьшим и наибольшим значениями температуры. Ответ дайте в градусах Цельсия. 

Ответ: -16
Скрыть

Минимальная составляет 8, максимальная 24. Разница между ними: 8-24=-16

Аналоги к этому заданию:

Задание 6

 Решите уравнение: $$(x+3)^{2}=(x-4)^{2}$$

Ответ: 0,5
Скрыть

$$(x+3)^{2}=(x-4)^{2}\Leftrightarrow $$$$x^{2}+6x+9=x^{2}-8x+16 \Leftrightarrow $$$$6x+8x=16-9\Leftrightarrow $$$$14x=7\Leftrightarrow $$$$x=0,5$$

Аналоги к этому заданию:

Задание 7

Цена холодильника в магазине ежегодно уменьшалась на одно и тоже количество процентов. Определите на Сколько процентов уменьшалась цена холодильника, если, выставленный на продажу по цене 8000 рублей, он через два года был продан за 6480 рублей 

Ответ: 10
Скрыть
Пусть x - цена после первого снижения, y - процент, который составляет новая цена от старой ( не количество процентов, на которое произошло снижение цены, а именно процент от цены первоначальной):
$$8000-100$$ %
$$x-y$$ % $$\Rightarrow$$ $$x=\frac{8000y}{100}=80y$$ -  после первого года
$$80y-100$$
$$6480-y$$ $$\Rightarrow$$ $$y=\sqrt{\frac{6480\cdot100}{80}}=90$$ % $$\Rightarrow$$ скидка в 10 %
Аналоги к этому заданию:

Задание 8

На диаграмме представлено распределение количества пользователей некоторой социальной сети по странам мира. Всего в этой социальной сети 9 млн пользователей. 

Какие из следующих утверждений неверны? 
1. пользователей из России больше, чем пользователей из Украины;

2. больше трети пользователей сети — из Украины;

3.  пользователей из Беларуси больше, чем пользователей из Украины;

4. пользователей из России больше 4 миллионов человек. 

Ответ: 23
Аналоги к этому заданию:

Задание 9

В магазине канцтоваров продается 132 ручек, из них 19 — красных, 16 — зеленых, 11 — фиолетовых, еще есть синие и черные, их поровну. Найдите вероятность, что Аня наугад вытащит синюю или зеленую ручку. 

Ответ: 0,44
Скрыть

$$\frac{132-19-16-11}{2}=43$$ - синие; $$n=43+16=59$$; $$p=\frac{59}{132}\approx0,44$$

Аналоги к этому заданию:

Задание 10

Установите соответствие между графиками функций и формулами, которые их задают.

ФОРМУЛЫ 

1) $$y=-2x+6$$;

2) $$y=2x-6$$;

3) $$y=2x+6$$;

4) $$y=2x$$.

Ответ: 231
Аналоги к этому заданию:

Задание 11

Выписано несколько последовательных членов геометрической прогрессии:  …; 150; x; 6; 1,2; … Найдите член прогрессии, обозначенный буквой x. 

Ответ: 30
Скрыть

$$b_{n}=\sqrt{b_{n-1}\cdot b_{n+1}}=$$ $$\sqrt{150\cdot6}=\sqrt{900}=30$$

Аналоги к этому заданию:

Задание 12

 Найдите значение выражения $$(a+\frac{1}{a}+2)\cdot\frac{1}{a+1}$$ при $$a=-5$$

Ответ: 0,8
Скрыть

$$(a+\frac{1}{a}+2)\cdot\frac{1}{a+1}=$$ $$\frac{(a+1)^{2}}{a(a+1)}=\frac{a+1}{a}=$$ $$\frac{-5+1}{-5}=\frac{-4}{-5}=0,8$$

Аналоги к этому заданию:

Задание 13

 Чтобы перевести значение температуры по шкале Цельсия в шкалу Фаренгейта, пользуются формулой $$F=1,8C+32$$, где C — градусы Цельсия, F — градусы Фаренгейта. Какая температура по шкале Цельсия соответствует $$244^{\circ}$$ по шкале Фаренгейта? 

Ответ: 117,(7)
Скрыть

$$244=1,8C+32$$; $$1,8C=212$$; $$\Rightarrow$$ $$C=\frac{212}{1,8}=\frac{1060}{9}=117,(7)$$

Аналоги к этому заданию:

Задание 14

Найдите наименьшее значение x, удовлетворяющее системе неравенств $$\left\{\begin{matrix}5x+14\geq0\\3x-2\leq7\end{matrix}\right.$$

Ответ: -2,8
Скрыть

$$\left\{\begin{matrix}5x\geq-14\\3x\leq9\end{matrix}\right.$$ $$\Leftrightarrow$$ $$\left\{\begin{matrix}x\geq-\frac{14}{5}\\x\leq3\end{matrix}\right.$$ $$\Leftrightarrow$$ $$\left\{\begin{matrix}x\geq-2,8\\x\leq3\end{matrix}\right.$$

Аналоги к этому заданию:

Задание 15

Сколько потребуется кафельных плиток квадратной формы со стороной 20 см, чтобы облицевать ими стену, имеющую форму прямоугольника со сторонами 3,4 м и 4,6 м?

Ответ: 391
Скрыть

$$S_{1}=0,2\cdot0,2=0,04$$; $$S=3,4\cdot4,6$$; $$n=\frac{3,4\cdot4,6}{0,04}=391$$

Аналоги к этому заданию:

Задание 16

На окружности по разные стороны от диаметра AB взяты точки M и N. Известно, что ∠NBA=38°. Найдите угол NMB. Ответ дайте в градусах. 

Ответ: 52
Скрыть

$$\smile NA=38^{\circ}\cdot2=76^{\circ}$$; $$\smile NB=180^{\circ}-76^{\circ}=104^{\circ}$$; $$\angle NMB=\frac{104^{\circ}}{2}=52^{\circ}$$

Аналоги к этому заданию:

Задание 17

Найдите периметр прямоугольника, если в него вписана окружность радиуса 12. 

Ответ: 96
Скрыть

$$r=12$$ $$\Rightarrow$$ $$a=24$$; $$P=24\cdot4=96$$

Аналоги к этому заданию:

Задание 18

 Высота BH ромба ABCD делит его сторону AD на отрезки AH=8 и HD=9. Найдите площадь ромба. 

Ответ: 255
Скрыть

$$BH=\sqrt{17^{2}-8^{2}}=\sqrt{(17-8)(17+8)}=15$$; $$S=17\cdot15=255$$

Аналоги к этому заданию:

Задание 19

 В треугольнике ABC угол C равен 90°, AC=19,2, $$\tan A=\frac{7}{24}$$. Найдите AB. 

Ответ: 20
Скрыть

$$\tan A=\frac{7}{24}=\frac{CB}{19,2}$$; $$CB=\frac{7\cdot19,2}{24}=\frac{28}{5}=5,6$$; $$AB=\sqrt{19,2^{2}+5,6^{2}}=\sqrt{\frac{10000}{5^{2}}}=\frac{100}{5}=20$$

Аналоги к этому заданию:

Задание 20

Какие из следующих утверждений верны?

1. Длина медианы прямоугольного треугольника, проведённой к гипотенузе, равна половине длины гипотенузы  

2. Сумма двух противоположных углов четырёхугольника равна $$180^{\circ}$$.

3. Если угол равен $$115^{\circ}$$, то смежный с ним равен $$65^{\circ}$$. 

В ответ запишите номера выбранных утверждений без пробелов, запятых и других дополнительных символов

Ответ: 13
Аналоги к этому заданию:

Задание 21

Решите неравенство $$(\frac{x+1}{4-x})^{2}\leq\frac{1}{4}$$

Ответ: $$x \in [-6;\frac{2}{3}]$$
Скрыть

ОДЗ: $$4-x\neq 0 \Leftrightarrow x\neq 4$$

$$(\frac{x+1}{4-x})^{2}\leq\frac{1}{4}\Leftrightarrow $$$$(\frac{x+1}{4-x})^{2} - (\frac{1}{2})^{2}\leq 0\Leftrightarrow $$$$(\frac{x+1}{2(4-x)}-\frac{1}{2})(\frac{x+1}{2(4-x)}+\frac{1}{2})\leq 0\Leftrightarrow $$$$\frac{2x+2-4+x}{2(4-x)}*\frac{2x+2+4-x}{2(4-x)}\leq 0\Leftrightarrow $$$$\frac{3x-2}{2(4-x)}*\frac{x+6}{2(4-x)}\leq 0\Leftrightarrow $$$$\frac{(3x-2)(x+6)}{4(4-x)^{2}}\leq 0\Leftrightarrow $$

Приравняем к нулю числитель и знаменатель, отметим полученные точки на координатной прямой, расставим знаки, которые принимает выражение слева от нуля ( неравенство не строгое, значит точки числителя будут закрашенные):

В итоге получаем решение: $$x \in [-6;\frac{2}{3}]$$

Аналоги к этому заданию:

Задание 22

Один раствор содержит 20% (по объему) соли, а второй – 70% соли. Сколько литров первого и второго растворов нужно взять, чтобы получить 100л 50% - ного соляного раствора? 

Ответ: 40 и 60
Скрыть

Пусть масса первого раствора х, тогда соли в нем 0,2x. Масса второго раствора 100-x (так как мы в результате получили 100 литров третьего), а соли в нем 0,7(100-х). Третий же раствор содержит 0,5*100=50 литров соли. Данный объем получается из слияния объемов соли первого и второго растворов:
$$0,2x+0,7(100-x)=50\Leftrightarrow $$$$0,2x+70-0,7x=50\Leftrightarrow $$$$-0,5x=-20\Leftrightarrow $$$$x=40$$ - объем первого, тогда объем второго 100-40=60

Аналоги к этому заданию:

Задание 23

Постройте график функции $$y=2x|x|+x^{2}-6x$$ и определите, при каких значениях m прямая $$y=m$$ имеет с графиком более двух общих точек. 

Ответ: $$m \in (-3;9)$$
Скрыть
Рассмотрим два раскрытия модуля:
$$1) \left\{\begin{matrix}x\geq 0\\ y=3x^{2}-6x\end{matrix}\right.$$
$$2) \left\{\begin{matrix}x< 0\\ y=-x^{2}-6x\end{matrix}\right.$$
В случае 1 дана парабола, ветви которой направлены вверх. Вершина параболы: $$x_{0}=-\frac{b}{2a}=1$$, тогда $$y_{0}=3*1^{2}-6*1=-3$$
В случае 2 дана парабола, ветви которой направлены вниз. Вершина параболы: $$x_{0}=-\frac{b}{2a}=-3$$, тогда $$y_{0}=-*(-3)^{2}-6*(-3)=9$$
При построении следует учитывать ограничения парабол: в первом случае берется часть параболы соответствующая абсциссам больше или равно 0, во втором, строго меньше:
Прямая $$y=m$$ - это прямая, параллельная оси Ох, продящая через ординату m. Более двух пересечений с графиком нашей функции она будет иметь при условии $$m \in (-3;9)$$
Аналоги к этому заданию:

Задание 24

Высота, опущенная на гипотенузу прямоугольного треугольника, делит его на два треугольника, площади которых равны соответственно 6 и 54. Найдите гипотенузу треугольника 

Ответ: 20
Скрыть

1) Треугольники ACH и CHB подобны (оба прямоугольные, угол A такой же, как угол HCB). В таком случае можем найти коэффициент подобия $$k=\frac{AH}{CH}=\frac{CH}{HB}=\frac{AC}{CB} (1)$$
2) Площади подобных фигур относятся как квадрат коэффициента подобия, то есть: $$k^{2}=\frac{54}{6}$$, значит k=3
3) Пусть AH = 3x, тогда из равенства (1) получаем, что $$CH=\frac{AH}{3}=x$$, тогда $$HB=\frac{CH}{3}=\frac{x}{3}$$, тогда $$AB=3x+\frac{x}{3}=\frac{10x}{3}$$
4)$$S_{CHA}=\frac{1}{2}*AH*CH=\frac{3x*x}{2}=54$$. В таком случае x=6; тогда $$AB=\frac{10*6}{3}=20$$
Аналоги к этому заданию:

Задание 25

Докажите, что биссектрисы углов прямоугольника с неравными сторонами при пересечении образуют квадрат. 

Ответ:
Скрыть

1)$$\angle JAD = \angle JDA = 45^{\circ}$$ (AJ и DJ - биссектрисы пярмых углов), тогда $$\angle AJD = 90^{\circ}$$. Тогда $$\angle FJI =90^{\circ}$$ как смежный. Аналогично $$\angle FGI =90^{\circ}$$ и тогда FGIJ - прямоугольник

2)$$\bigtriangleup AJD = \bigtriangleup BGC$$ (прямоугольные, равнобедренные, одинаковые гипотенуза), тогда DJ=GC(1). $$\bigtriangleup DFC$$ прямоугольный и равнобедренный, тогда DF=FG(2). Из равенств 1 и 2 получаем FJ=FG. Тогда FGIJ - квадрат

Аналоги к этому заданию:

Задание 26

Стороны ромба EFGH являются гипотенузами прямоугольных равнобедренных треугольников EAF, FDG, GCH и HBE, причем все эти треугольники имеют общие внутренние точки с ромбом EFGH. Сумма площадей четырехугольника ABCD и ромба EFGH равна 12. Найдите CH. 

Ответ: $$\sqrt{6}$$
Скрыть
1) Пусть сторона ромба равна a ($$FG=a$$), острый угол $$F=\alpha$$. Тогда: из $$\bigtriangleup FAE ; \bigtriangleup FDG$$ получаем, что $$FA=\frac{FE}{\sin 45^{\circ}}=FD=\frac{a}{\sqrt{2}}$$ (оба равнобедренные и прямоугольные)
2)$$\angle EFD = \alpha - \angle DFG = \alpha - 45^{\circ}$$
$$\angle GFA = \alpha - \angle EFA = \alpha - 45^{\circ}$$
$$\angle DFA = \alpha - \angle EFD - \angle GFA =90^{\circ} - \alpha$$
Тогда по теореме косинусов из $$\bigtriangleup DFA$$: $$DA=\sqrt{DF^{2}+FA^{2}-2*DF*FA*\cos DFA}=$$$$\sqrt{\frac{a^{2}}{2}+\frac{a^{2}}{2}-2*\frac{a^{2}}{2}*\cos (90^{\circ}-\alpha)}=$$$$\sqrt{a^{2}-a^{2}\sin \alpha}$$
3)$$\angle FEH =180^{\circ} - \alpha$$
$$\angle AEB =\angle FEH - \angle FEA - \angle BEH =90^{\circ} - \alpha$$
Тогда по теореме косинусов из $$\bigtriangleup AEB$$: $$DA=\sqrt{AE^{2}+EB^{2}-2*AE*EB*\cos AEB}=$$$$\sqrt{\frac{a^{2}}{2}+\frac{a^{2}}{2}-2*\frac{a^{2}}{2}*\cos (90^{\circ}-\alpha)}=$$$$\sqrt{a^{2}-a^{2}\sin \alpha}$$
4)Если взять диагонали ромба как оси симметрии, то получаем, что стороны ромба симметричны относительно этих осей, а с учетом того, что треугольники построены прямоугольные и равнобедренные на равных сторонах, то треугольники равны и семметричны так же относительно этих осей. Тогда ABCD - прямоугольник
5)$$S_{ABCD}+S_{EFGH}=AB*AD+EF*FG*\sin F=$$$$\sqrt{a^{2}-a^{2}\sin \alpha}*\sqrt{a^{2}-a^{2}\sin \alpha}+a*a*\sin \alpha=$$$$a^{2}-a^{2}\sin \alpha+a^{2}\sin \alpha=$$$$a^{2}=12=GH$$.
Тогда $$CH=\frac{\sqrt{GH}}{\sqrt{2}}=\frac{\sqrt{12}}{\sqrt{2}}=\sqrt{6}$$