Перейти к основному содержанию

ОГЭ математика 2018. Разбор варианта Алекса Ларина № 174.

Решаем ОГЭ 174 вариант Ларина. Подробное решение 1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,17,18,19,20 заданий тренировочного варианта ОГЭ Ларина №174 (alexlarin.com)

Решаем ОГЭ 174 вариант Ларина. Подробное решение 21,22,23,24,25,26 заданий тренировочного варианта ОГЭ Ларина №174 (alexlarin.com)

Аналоги к этому заданию:

Задание 1

Найдите значение выражения: $$(\frac{2}{3}+\frac{5}{6})\cdot(3\frac{1}{8}-\frac{5}{12})$$

Ответ: 4,0625
Скрыть

$$(\frac{2}{3}+\frac{5}{6})\cdot(3\frac{1}{8}-\frac{5}{12})=$$ $$\frac{9}{6}(\frac{75}{24}-\frac{10}{24})=$$ $$\frac{9}{6}\cdot\frac{65}{24}=\frac{65}{16}=4,0625$$

Аналоги к этому заданию:

Задание 2

 В таблице приведены размеры штрафов за превышение максимальной разрешённой скорости, зафиксированное с помощью средств автоматической фиксации, установленных на территории России с 1 сентября 2013 года.

Превышение скорости, км.ч 21-40 41-60 61-80 81 и более
Размер щтрафа, руб 500 1000 2000 5000

Какой штраф должен заплатить владелец автомобиля, зафиксированная скорость которого составила 90 км/ч на участке дороги с максимальной разрешённой скоростью 40 км/ч?

Варианты ответа:

1) 500 рублей

2) 1000 рублей

3) 2000 рублей

4) 5000 рублей

Ответ: 2
Аналоги к этому заданию:

Задание 3

Какому из следующих чисел соответствует точка, отмеченная на координатной прямой?

Варианты ответа:
1) $$\frac{3}{23}$$
2) $$\frac{4}{23}$$
3) $$\frac{10}{23}$$
4) $$\frac{13}{23}$$
Ответ: 4
Аналоги к этому заданию:

Задание 4

Найдите значение выражения $$(\sqrt{39}-3)^{2}$$

Варианты ответа:

1) 36
2) 48
3) $$48-3\sqrt{39}$$
4) $$48-6\sqrt{39}$$
Ответ: $$48-6\sqrt{39}$$
Скрыть

$$(\sqrt{39}-3)^{2}=$$ $$39-6\sqrt{39}+9=48-6\sqrt{39}$$

Аналоги к этому заданию:

Задание 5

 На рисунке показано, как изменялась температура воздуха на протяжении одних суток. По горизонтали указано время суток, по вертикали – значение температуры в градусах Цельсия. Найдите наибольшее значение температуры. Ответ дайте в градусах Цельсия.

Ответ: 23
Аналоги к этому заданию:

Задание 6

Решите уравнение $$4-5x=5-7(x-3)$$

Ответ: 11
Скрыть

$$4-5x=5-7(x-3)$$; $$4-5x=5-7x+21$$; $$-5x+7x=26-4$$; $$2x=22$$; $$x=11$$

Аналоги к этому заданию:

Задание 7

Цена холодильника в магазине ежегодно уменьшалось на одно и то же количество процентов. Определите на сколько процентов уменьшалась цена холодильника, если, выставленный на продажу по цене 8000 рублей, он через два года был продан за 6480 рублей 

Ответ: 10
Скрыть
Пусть x - цена после первого снижения, y - процент, который составляет новая цена от старой ( не количество процентов, на которое произошло снижение цены, а именно процент от цены первоначальной):
$$8000-100$$ %
$$x-y$$ % $$\Rightarrow$$ $$x=\frac{8000y}{100}=80y$$ -  после первого года
$$80y-100$$
$$6480-y$$ $$\Rightarrow$$ $$y=\sqrt{\frac{6480\cdot100}{80}}=90$$ % $$\Rightarrow$$ скидка в 10 %
Аналоги к этому заданию:

Задание 8

На диаграмме представлено распределение количества пользователей некоторой социальной сети по странам мира. Всего в этой социальной сети 12 млн пользователей. 

Какие из следующих утверждений неверны?

1. пользователей из Аргентины больше, чем пользователей из Польши.

2. пользователей из Аргентины примерно втрое больше, чем пользователей из Парагвая.

3. пользователей из Аргентины и Беларуси вместе — меньше четверти общего числа пользователей.

4. пользователей из Бразилии примерно 8 миллионов человек. 

 

Ответ: 2
Аналоги к этому заданию:

Задание 9

Pin-код к банковской карточке содержит 4 цифры. Какова вероятность того, что pinкод состоит из четырех одинаковых цифр? 

Ответ: 0,001
Скрыть

Номеров с одинаковыми всего 10. Всего вообще номеров 10000 $$\Rightarrow$$ $$P=\frac{10}{10000}=0,001$$

Аналоги к этому заданию:

Задание 10

Установите соответствие между графиками функций и формулами, которые их задают.

ФУНКЦИИ:
1) $$y=-\frac{6}{x}$$;
2) $$y=-\frac{1}{2}x^{2}$$;
3) $$y=\frac{1}{2}x-2$$;
4) $$y=-\frac{1}{2}x^{2}-2$$;
Ответ: 312
Скрыть
В пункте А представлена линейная функция вида $$y=kx+b$$, что соответствует 3 варианту ответа
В пункте Б представлена обратная пропорциональность - функция вида $$y=-\frac{1}{x}$$, что соответствует 1 варианту ответа
В пункте В представлена квадратичная функция вида $$y=-ax^{2}$$, что соответствует 2 варианту ответа
Аналоги к этому заданию:

Задание 11

Выписаны первые несколько членов арифметической прогрессии: 30; 24; 18; … Какое число стоит в этой арифметической прогрессии на 51-м месте?

Ответ: -270
Скрыть

Найдем разность арифметической прогрессии: $$d=24-30=-6$$. Далее воспользуемся формулой n-го члена арифметической прогрессии: $$a_{51}=30-6\cdot50=30-300=-270$$

Аналоги к этому заданию:

Задание 12

Найдите значение выражения $$(\frac{2}{a}+\frac{1}{b})\cdot\frac{1}{a^{2}+4b^{2}+4ab}\cdot(a^{2}-4b^{2})$$ при $$a=2\sqrt{5}+2$$; $$b=\sqrt{5}-1$$

Ответ: 0,5
Скрыть

$$(\frac{2}{a}+\frac{1}{b})\cdot\frac{1}{a^{2}+4b^{2}+4ab}\cdot(a^{2}-4b^{2})=$$ $$\frac{2b+a}{ab}\cdot\frac{1}{(a+2b)^{2}}\cdot(a-2b)(a+2b)=$$ $$\frac{a-2b}{ab}=\frac{2\sqrt{5}+2-2\sqrt{5}+2}{(2\sqrt{5}+2)(\sqrt{5}-1)}=$$ $$\frac{4}{10-2\sqrt{5}+2\sqrt{5}-2}=\frac{4}{8}=0,5$$

Аналоги к этому заданию:

Задание 13

Из формулы площади прямоугольника $$S=\frac{d^{2}\sin\phi}{2}$$, где d - длина диагонали, а  $$\phi$$ -угол между диагоналями, выразите и вычислите длину диагонал и вычислите длину диагонали, если площадь $$S=9\sqrt{2}$$ и угол $$\phi=45^{\circ}$$

Ответ: 6
Скрыть

$$d=\sqrt{\frac{2S}{\sin\phi}}=\sqrt{\frac{2\cdot9\sqrt{2}}{\frac{\sqrt{2}}{2}}}=\sqrt{4\cdot9}=6$$

Аналоги к этому заданию:

Задание 14

На каком рисунке изображено множество решений системы неравенств

$$\left\{\begin{matrix}2(x+2)-7<15\\-3x+12<0\end{matrix}\right.$$

 

Ответ: 1
Скрыть

$$\left\{\begin{matrix}2(x+2)-7<15\\-3x+12<0\end{matrix}\right.$$ $$\Leftrightarrow$$ $$\left\{\begin{matrix}2x+4-7-15<0\\-3x<-12\end{matrix}\right.$$ $$\Leftrightarrow$$ $$\left\{\begin{matrix}2x<18\\x>4\end{matrix}\right.$$ $$\Leftrightarrow$$ $$\left\{\begin{matrix}x<9\\x>4\end{matrix}\right.$$

Аналоги к этому заданию:

Задание 15

Какой угол (в градусах) описывает минутная стрелка за 17 минут? 

Ответ: 102
Скрыть

Один час соответсвует 60 минутам или полному кругу, то есть 360 градусам. Пусть x - количество градусов, которые прошла минутная стрелка.Тогда, можно составить пропорцию:

$$60 - 360^{\circ}$$
$$17 - x^{\circ}$$
$$x=\frac{17}{60}\cdot360=102$$
Аналоги к этому заданию:

Задание 16

На прямой AB взята точка M. Луч MD — биссектриса  угла CMB. Известно, что $$\angle DMC=16^{\circ}$$. Найдите угол CMA.  Ответ дайте в градусах. 

Ответ: $$148^{\circ}$$
Скрыть

$$\angle CMO=\angle BMD=16^{\circ}$$ $$\Rightarrow$$ $$\angle CMB=16\cdot2=32$$; $$\angle AMC=180^{\circ}-\angle CMB=180^{\circ}-32^{\circ}=148^{\circ}$$

Аналоги к этому заданию:

Задание 17

На окружности с центром O отмечены точки A и B так, что ∠AOB=8°. Длина меньшей дуги AB равна 99. Найдите длину большей дуги.

Ответ: 4356
Скрыть

Так как угол, опирающийся на малую дугу равен 8 градусам, то оставшийся угол равен $$360-8=352^{\circ}$$. В таком случае мы можем составить пропорцию (зависимость между величиной угла и длинной дуги). Пусть х - длина большей дуги, тогда:

$$8^{\circ}-99$$
$$352^{\circ}-x$$
$$x=\frac{352\cdot99}{8}=4356$$
Аналоги к этому заданию:

Задание 18

Найдите площадь ромба, если его диагонали равны 12 и 7. 

Ответ: 42
Скрыть

$$S=\frac{1}{2}d_{1}d_{2}=\frac{1}{2}\cdot12\cdot7=42$$

Аналоги к этому заданию:

Задание 19

Катеты прямоугольного треугольника равны $$3\sqrt{15}$$ и 3. Найдите синус наименьшего угла этого треугольника. 

Ответ: 0,25
Скрыть

$$AC=\sqrt{(3\sqrt{15})^{2}+3^{2}}=\sqrt{9\cdot15+9}=12$$; $$\sin A=\frac{BC}{AC}=\frac{3}{12}=0,25$$

Аналоги к этому заданию:

Задание 20

 Какие из следующих утверждений верны? 
1. Площадь треугольника меньше произведения двух его сторон.

2. Все равносторонние треугольники подобны.

3. В тупоугольном треугольнике все углы тупые. 
В ответ запишите номера выбранных утверждений без пробелов, запятых и других дополнительных символов.

Ответ: 12
Аналоги к этому заданию:

Задание 21

Решите неравенство $$\frac{x}{1-x}\leq x-6$$

Ответ: $$x\in(1;3-\sqrt{3}]\cup[3+\sqrt{3};+\infty)$$
Скрыть

ОДЗ: $$1-x\neq0$$; $$\frac{x}{1-x}-\frac{(x-6)(1-x)}{1-x}\leq0$$; $$\frac{x-x+x^{2}+6-6x}{1-x}\leq0$$; $$\frac{x^{2}-6x+6}{1-x}\leq0$$; $$x^{2}-6x+6=0$$; $$D=36-24=12$$; $$x_{1,2}=\frac{6\pm\sqrt{12}}{2}=3\pm\sqrt{3}$$

Аналоги к этому заданию:

Задание 22

Теплоход затратил 5 часов на путь вниз по течению реки от пункта A до пункта B. На обратный путь против течения он затратил 8 часов 20 минут. Найти скорость теплохода, если путь от A до B равен 100 километрам

Ответ: 16
Скрыть

Пусть х - собственная скорость теплохода,  у - скорость течения. Тогда: 

$$\left\{\begin{matrix}\frac{100}{x+y}=5\\\frac{100}{x-y}=8\frac{1}{3}\end{matrix}\right.$$ $$\Leftrightarrow$$ $$\left\{\begin{matrix}5(x+y)=100\\25(x-y)=300\end{matrix}\right.$$ $$\Leftrightarrow$$ $$\left\{\begin{matrix}x+y=20\\x-y=12\end{matrix}\right.$$ $$\Leftrightarrow$$ $$2x=32$$ $$\Rightarrow$$ $$x=16$$

Аналоги к этому заданию:

Задание 23

Постройте график функции $$y=\frac{(\sqrt{x^{2}-5x+6})^{2}}{x-3}$$ и найдите все значения а при которых прямая $$y=a$$ не имеет с графиком ни одной общей

Ответ: $$a \in (0;1]$$
Скрыть
Напишем ОДЗ (так как есть корень четной степени и переменная в знаменателе):
$$\left\{\begin{matrix}x^{2}-5x+6\geq 0\\ x-3\neq 0\end{matrix}\right.\Leftrightarrow $$$$\left\{\begin{matrix}x\geq 3\\ x\leq 2\\ x\neq 3\end{matrix}\right.\Leftrightarrow $$$$x\in (-\infty ;2]\cup (3;+\infty )$$
Упростим выражение:
$$\frac{(\sqrt{x^{2}-5x+6})^{2}}{x-3}=\frac{(x-3)(x-2)}{x-3}=x-2$$
То есть график функции $$y=x-2$$ совпадает с графиком функции первоначальной при учете применения ОДЗ. Построим это график.
Прямая $$y=a$$ - это прямая, параллельная оси Ох, проходящая через ординату y. Как видим по рисунку, при $$a \in (0;1]$$ пересечения с графиком не будет
Аналоги к этому заданию:

Задание 24

В равнобедренной трапеции основания равны 12 см и 20 см, а диагонали взаимно перпендикулярны. Найдите площадь трапеции.

Ответ: 256
Скрыть

1) Проведем высоту LM через H
2) Т.к. $$\bigtriangleup BHC$$ - прямоугольный, то LM - высота, медиана, а значит LH=BL=LC=6, аналогично MH=AM=MD=10, тогда ML=16
3)$$S_{ABCD}=\frac{AD+BC}{2}*LM=$$$$\frac{20+12}{2}*16=256$$
Аналоги к этому заданию:

Задание 25

На высоте AD треугольника ABC взята точка N. Докажите, что AB2 - AC2 = NB2 - NC2 .

Ответ:
Скрыть

1)По теореме Пифагора из $$\bigtriangleup ABD ; \bigtriangleup ADC$$:
$$\left\{\begin{matrix}AB^{2}=DB^{2}+DA^{2}\\AC^{2}=DC^{2}+DA^{2}\end{matrix}\right.$$
Вычтем из первого второе и получим: $$AB^{2}-AC^{2}=DB^{2}-DC^{2}$$
2)По теореме Пифагора из $$\bigtriangleup BND ; \bigtriangleup CND$$:
$$\left\{\begin{matrix}NB^{2}=DB^{2}+DN^{2}\\NC^{2}=DC^{2}+DN^{2}\end{matrix}\right.$$
Вычтем из первого второе и получим: $$NB^{2}-NC^{2}=DB^{2}-DC^{2}$$
3)Из равенств пунктов 1 и 2 получаем: $$AB^{2}-AC^{2}=NB^{2}-NC^{2}$$
Аналоги к этому заданию:

Задание 26

В равностороннем треугольнике АВС из вершин А и В проведена окружность с центром в точке О, проходящая через точку пересечения медиан треугольника АВС и касающаяся его стороны ВС в её середине D. Из точки А проведена прямая, касающаяся этой окружности в точке Е так, что градусная мера угла ВАЕ меньше $$30^{\circ}$$. Найдите отношение площадей треугольника АВЕ и четырехугольника ВЕОD

Ответ: $$\frac{6(13-5\sqrt{2})}{17}$$
Скрыть
Пусть сторона треугольника равна а: тогда по т.Пифагора из треугольника ADC: $$AD=\frac{\sqrt{3}}{2}a$$
1) По свойству медиан треугольника: $$AM=\frac{2}{3}AD=\frac{\sqrt{3}a}{3};$$$$MD=\frac{1}{3}AD=\frac{\sqrt{3}a}{6}$$
2)$$OM=OD=OE=\frac{1}{2}MD=\frac{\sqrt{3}}{12}$$
3)По свойству касательной $$OE \perp AQ$$, тогда $$\bigtriangleup AOE \sim \bigtriangleup ADQ$$ ; $$AO=AM+MO=\frac{5\sqrt{a}}{12}$$
Можем записать отношение соответственных сторон:$$\frac{AD}{AE}=\frac{AQ}{AO}=\frac{QD}{EO}(1)$$
По свойству касательной и секущей: $$AE^{2}=AM*AD=\frac{a\sqrt{2}}{2}$$
4) Используя равенство под номером (1) получаем: $$AQ=\frac{AD*AO}{AE}=\frac{5\sqrt{2}a}{8}$$
$$QD=\frac{AD*EO}{AE}=\frac{\sqrt{2}a}{8}$$
5) Треугольники ABE и ABQ имеют общий угол и стороны являются продолжением друг друга, тогда: $$\frac{S_{ABE}}{S_{ABQ}}=\frac{AB*AE}{AB*AQ}=\frac{4}{5}$$
$$S_{ABD}=\frac{1}{2}S_{ABC}=\frac{\sqrt{3}a^{2}}{8}$$
$$S_{ABQ}=\frac{BQ}{BD}S_{ABD}=\frac{\frac{1}{2}a-\frac{\sqrt{2}a}{8}}{\frac{1}{2}a}*\frac{\sqrt{3}a^{2}}{8}=$$$$\frac{\sqrt{3}(4-\sqrt{2})a^{2}}{32}$$
$$S_{ABE}=\frac{4}{5}*\frac{\sqrt{3}(4-\sqrt{2})a^{2}}{32}=$$$$\frac{\sqrt{3}(4-\sqrt{2})a^{2}}{40}$$
6)$$S_{BDOE}=S_{BEQ}+S_{QDOE}=$$$$\frac{1}{5}S_{ABQ}+2S_{QDO}=$$$$\frac{1}{5}*\frac{\sqrt{3}(4-\sqrt{2})a^{2}}{32}+2*\frac{1}{2}*\frac{\sqrt{3}a}{12}*\frac{\sqrt{2}a}{8}=$$$$\frac{a^{2}\sqrt{3}(6-\sqrt{2})}{240}$$
7)$$\frac{S_{ABE}}{S_{BEOD}}=\frac{\frac{\sqrt{3}(4-\sqrt{2})a^{2}}{40}}{\frac{a^{2}\sqrt{3}(6-\sqrt{2})}{240}}=$$$$\frac{6(4-\sqrt{2})}{6-\sqrt{2}}=$$$$\frac{6(13-5\sqrt{2})}{17}$$