Перейти к основному содержанию

ОГЭ математика 2018. Разбор варианта Алекса Ларина № 173.

Решаем ОГЭ 173 вариант Ларина. Подробное решение 1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,17,18,19,20 заданий тренировочного варианта ОГЭ Ларина №173 (alexlarin.com)

Решаем ОГЭ 173 вариант Ларина. Подробное решение 21,22,23,24,25,26 заданий тренировочного варианта ОГЭ Ларина №173 (alexlarin.com)

Аналоги к этому заданию:

Задание 1

Найдите значение выражения $$(\frac{7}{12}-\frac{11}{18}):\frac{2}{9}$$

Ответ: -0,125
Скрыть

$$(\frac{7}{12}-\frac{11}{18}):\frac{2}{9}=$$$$(\frac{21}{36}-\frac{22}{36})*\frac{9}{2}=$$$$\frac{-1}{36}*\frac{9}{2}=-\frac{1}{8}=-0,125$$

Аналоги к этому заданию:

Задание 2

Для квартиры площадью 75 кв. м заказан натяжной потолок белого цвета. Стоимость материалов с учётом работ по установке натяжных потолков приведена в таблице.

Цвет потолка Цена (в руб.) за 1 кв. м (в зависимости от площади помещения) 
  до 10 кв. м от 11 до 30 кв. м от 31 до 60 кв. м свыше 60 кв. м
Белый 1200 1000 800 600
Цветной 1350 1150 950 750

Какова стоимость заказа, если действует сезонная скидка в 5%?

Варианты ответа

1. 4275 рублей

2. 45000 рублей

3. 42750 рублей

4. 44995 рублей

Ответ: 3
Скрыть

Умножим 75 на цену квадратного метра (600 рублей) и на 0,95 (так как дается скидка в пять процентов, значит остается 95 пройентов от начальной стоимости):
$$600*75*0,95=42750$$
Следовательно, ответ под номером 3

Аналоги к этому заданию:

Задание 3

Между какими числами заключено число $$2\sqrt{3}$$ Варианты ответа

1) 11 и 13
2) 3 и 4
3) 4 и 5
4) 5 и 6
Ответ: 2
Скрыть

$$2\sqrt{3}=\sqrt{2^{2}*3}=\sqrt{12}$$

$$\sqrt{9}< \sqrt{12}< \sqrt{16}\Leftrightarrow 3< \sqrt{12}< 4$$

Следовательно, второй вариант ответа

Аналоги к этому заданию:

Задание 4

Представьте выражение $$\frac{(c^{-3})^{-4}}{c^{-5}}$$ в виде степени с основанием c

Варианты ответа
1.$$c^{-13}$$
2.$$c^{-17}$$
3.$$c^{17}$$
4.$$c^{-18}$$
Ответ: 3
Скрыть

$$\frac{(c^{-3})^{-4}}{c^{-5}}=\frac{c^{12}}{c^{-5}}=c^{17}$$
Следовательно, 3 вариант ответа

Аналоги к этому заданию:

Задание 5

На графике изображена зависимость атмосферного давления (в миллиметрах ртутного столба) от высоты над уровнем моря (в километрах). На какой высоте (в км) летит воздушный шар, если барометр, находящийся в корзине шара, показывает давление 220 миллиметров ртутного столба?

Ответ: 9
Скрыть

По рисунку видно, что 220 мм.рт.ст соответствует высота в 9 км

Аналоги к этому заданию:

Задание 6

Решите уравнение $$5(1-2x)-3(4-3x)=-2$$

Ответ: -5
Скрыть

$$5(1-2x)-3(4-3x)=-2 \Leftrightarrow $$$$5-10x-12+9x+2=0 \Leftrightarrow $$$$-x-5=0 \Leftrightarrow $$$$x=-5$$

Аналоги к этому заданию:

Задание 7

Куртка, которая стоила 4500 рублей, продаётся с 10-процентной скидкой. При покупке этой куртки Андрей отдал кассиру 5000 рублей. Сколько рублей сдачи он должен получить?

Ответ: 950
Скрыть

Пусть х - новая цена, она составляет 90% от первоначальной, тогда:
$$x=4500*0,9=4050$$
В таком случае сдача составит:
$$5000-4050=950$$

Аналоги к этому заданию:

Задание 8

На диаграмме показаны религиозные составы населения Германии, США, Австрии и Великобритании. Определите по диаграмме, в каких странах суммарная доля протестантов и католиков превышает 75%.

Варианты ответа
1. Германия
2. США
3. Австрия
4. Великобритания
Ответ: 3
Скрыть

По рисунку видно, что превышает (у США равно) 75% только в Австрии. Следовательно, ответ под номером 3

Аналоги к этому заданию:

Задание 9

В среднем на 80 карманных фонариков, поступивших в продажу, приходится шесть неисправных. Найдите вероятность того, что выбранный наудачу в магазине фонарик окажется исправен. Ответ округлите до сотых.

Ответ: 0,93
Скрыть

Если 6 из 80 неисправных, то исправных будет 80-6=74. В таком случае вероятность получить исправный составляет: $$P(A)=\frac{74}{80}=0,925$$. Если округлить до сотых, то получим 0,93

Аналоги к этому заданию:

Задание 10

Установите соответствие между графиками функций и формулами, которые их задают.

ФОРМУЛЫ
1) $$-\frac{2}{x}$$
2) $$x^{2}-2$$
3) $$2x $$
4) $$\frac{2}{x}$$
Ответ: 231
Скрыть
В пункте А дан график квадратичной функции (общий вид $$y=ax^{2}+bx+c$$), который соответствует формуле под номером 2
В пункте Б дан график линейной функции (общий вид $$y=ax+b$$), который соответствует формуле под номером 3
В пункте B дан график обратной пропорциональности (общий вид $$y=\frac{k}{x+m}+b$$), который соответствует формуле под номером 1(так как график располагается во второй и четвертой координатных четвертях, то кооффициент $$k$$ отрицательный
Аналоги к этому заданию:

Задание 11

Дана арифметическая прогрессия: 33; 25; 17; … . Найдите первый отрицательный член этой прогрессии.

Ответ: -7
Скрыть
Самый простой способ - вычитать 8 из каждого предыдущего до тех пор, пока не получим отрицательное число. Но если будут числа гораздо больше, то такой способ отнимет много времени. Потому будем использовать формулы арифметической прогрессии. В нашем случае превый член равен 33, разность равна -8 (так как оно отнимается каждый раз) и n-ый член должен быть отрицательным, тогда:
$$a_{n}=a_{1}+d(n-1)< 0\Leftrightarrow $$ $$33-8*(n-1)< 0\Leftrightarrow $$ $$33-8n+8< 0\Leftrightarrow $$ $$-8n< -41\Leftrightarrow $$ $$n> -5,125$$
Так как n - порядковый номер, то это число натуральное, и мы берем n=6. $$a_{6}=33-8(6-1)=-7$$
Аналоги к этому заданию:

Задание 12

Найдите значение выражения $$(x-5)^{2}-x(x+10)$$ при $$x=-\frac{1}{20}$$.

Ответ: 26
Скрыть

$$(x-5)^{2}-x(x+10)=$$$$x^{2}-10x+25-x^{2}-10x=$$$$-20x+25=$$$$-20*(-\frac{1}{20})+25=26$$

Аналоги к этому заданию:

Задание 13

Период колебания математического маятника (в секундах) приближённо можно вычислить по формуле $$T=2\sqrt{l}$$ , где l — длина нити в метрах. Пользуясь этой формулой, найдите длину нити маятника (в метрах), период колебаний которого составляет 17 секунд.

Ответ: 72,25
Скрыть
$$T=2\sqrt{l}\Leftrightarrow $$$$(\frac{T}{2})^{2}=l$$
$$l=(\frac{17}{2})^{2}=72,25$$
Аналоги к этому заданию:

Задание 14

На каком рисунке изображено множество решений неравенства $$x^{2}-2x-3\geq 0$$.

Ответ: 2
Скрыть

Приравняем выражение к нулю, и получим корни -1 и 3. Начертим координатную прямую, на которой отметим полученные корни (точки будут закрашенные, так как неравенство нестрогое). Расставим знаки, которые принимает выражение на различных из получившихся интервалов путем подстановки чисел из этих интервалов в выражение:
$$x^{2}-2x-3\geq 0\Leftrightarrow $$$$\left\{\begin{matrix}x\leq -1\\ x\geq 3\end{matrix}\right.$$
Что соответствует 2 варианту ответа

Аналоги к этому заданию:

Задание 15

Лестница соединяет точки A и B и состоит из 25 ступеней. Высота каждой ступени равна 14 см, а длина – 48 см. Найдите расстояние между точками A и B (в метрах).

Ответ: 12,5
Скрыть

Найдем диагональ ступеньки по теореме Пифагора: $$\sqrt{14^{2}+48^{2}}=50$$
Это длина в сантиметрах, в таком случае длина лестницы в метрах составляет:$$\frac{50*25}{100}=12,5$$

Аналоги к этому заданию:

Задание 16

Диагональ BD параллелограмма ABCD образует с его сторонами углы, равные 50° и 85°. Найдите меньший угол параллелограмма. Ответ дайте в градусах.

Ответ: 45
Скрыть

$$\angle B = 50+85=135^{\circ}$$
$$\angle A = 180- \angle B = 45^{\circ}$$

Аналоги к этому заданию:

Задание 17

Сторона ромба равна 15, а диагональ равна 24. Найдите площадь ромба.

Ответ: 216
Скрыть

По свойству ромба, диагонали делятся пополам и под прямым углом, в таком случае мы можем по теореме Пифагора найти половину второй диагонали: $$\sqrt{15^{2}-12^{2}}=9$$. В таком случае вся вторая диагональ составляет 18. Площадь ромба можно найти как половину произведения его диагоналей: $$0,5*18*24=216$$

Аналоги к этому заданию:

Задание 18

В треугольнике ABC угол C равен 90°, AC=12, $$tg A = \frac{3}{4}$$ . Найдите AB.

Ответ: 15
Скрыть

$$tg A = \frac{CB}{AC}=\frac{3}{4}\Rightarrow $$$$CB=AC*tg A=9$$
По теореме Пифагора: $$AB=\sqrt{12^{2}+9^{2}}=15$$

Аналоги к этому заданию:

Задание 19

Найдите угол ABC. Ответ дайте в градусах.

Ответ: 45
Скрыть

Построим центральный угол, опирающийся на ту же дугу, он будет равен $$90^{\circ}$$ (так как состоит из диагоналей клеток). Следовательно угол ABC, как вписанный, в два раза меньше, то есть $$45^{\circ}$$

Аналоги к этому заданию:

Задание 20

Какие из следующих утверждений верны?

1. В любой четырёхугольник можно вписать окружность.
2. Диагонали любого прямоугольника равны.
3. В любой треугольник можно вписать окружность.
В ответ запишите номера выбранных утверждений без пробелов, запятых и других дополнительных символов
Ответ: 23
Скрыть

1) Нет, только в тот, у которого сумма длин противоположных сторон одинакова
2) Верно
3) Верно

Аналоги к этому заданию:

Задание 21

Решите уравнение: $$\frac{x^{17}-1}{1-x^{15}}=\frac{1-x^{15}}{x^{13}-1}$$

Ответ: {-1;0}
Скрыть

Так как в знаменателе переменная, мы исключаем деление на 0. То есть $$x\neq 1$$
$$\frac{x^{17}-1}{1-x^{15}}=\frac{1-x^{15}}{x^{13}-1}\Leftrightarrow $$$$(x^{17}-1)(x^{13}-1)=(1-x^{15})^{2}\Leftrightarrow $$$$x^{30}-x^{17}-x^{13}+1=1-2x^{15}+x^{30}\Leftrightarrow $$$$x^{17}-2x^{15}+x^{13}=0\Leftrightarrow $$$$x^{13}(x^{4}-2x^{2}+1)=0 \Leftrightarrow $$$$x^{13}(x^{2}-1)^{2}=0$$
Тогда или $$x^{13}=0$$, или $$x^{2}-1=0$$. В первом случае $$x=0$$, во втором $$x=\pm 1$$.Корень $$x=1$$ не входит в ОДЗ

Аналоги к этому заданию:

Задание 22

Для рытья котлована выделили два экскаватора. После того, как первый проработал два часа, его сменил второй, который за три часа закончил работу. Всю работу один второй экскаватор выполнил бы на 4 часа быстрее, чем один первый экскаватор. За какое время выроют котлован оба экскаватора, работая вместе?

Ответ: $$\frac{8}{3}$$ часа
Скрыть

Пусть объем всей работа $$V=1$$. Производительность первого $$A_{1}=x$$ (объема работы в час), второго $$A_{2}=y$$ (объема работы в час),тогда первый, работая 2 часа выполнил 2х, второй, работая потом 3 часа, выполнил 3у. И в результате работа была выполнена полностью, то есть $$2x+3y=1 (1)$$. Первый выполняет работу за $$\frac{1}{x}$$ часов, второй за $$\frac{1}{y}$$ часов, и время первого на 4 часа дольше, то есть $$\frac{1}{x}-\frac{1}{y}=4 (2)$$. Выразим в первом x через y и подставим во второе: $$x=\frac{1-3y}{2}$$
$$\frac{1}{\frac{1-3y}{2}}-\frac{1}{y}=4\Leftrightarrow $$$$\frac{2}{1-3y}-\frac{1}{y}=4\Leftrightarrow $$$$2y-1+3y=4y-12y^{2} \Leftrightarrow $$$$12y^{2}+y-1$$
Решим данное уравнение через дискриминант и получим: $$y_{1}=\frac{1}{4}$$. Второй у нет смысла рассматривать - он отрицательный. Тогда $$x_{1}=\frac{1-3*\frac{1}{4}}{2}=\frac{1}{8}$$
Тогда время совместной работы составит:
$$\frac{1}{\frac{1}{4}+\frac{1}{8}}=\frac{8}{3}$$ часа

Аналоги к этому заданию:

Задание 23

Постройте график функции $$y=|x^{2}-2|x|-3|$$ и определите, какое наибольшее число общих точек график данной функции может иметь с прямой, параллельной оси абсцисс.

Ответ: 6
Скрыть

Сначала необходимо раскрыть первый модуль:

1)Если подмодульное выражение больше или равно нулю: $$\left\{\begin{matrix}x\geq 0\\ y=|x^{2}-2x-3|\end{matrix}\right.$$

Рассмотрим, когда подмодульное второе равно нулю: $$x_{1}=3 ; x_{2}=-1$$. Получаем, что на промежутках $$(-\infty ;-1)\cup (3;+\infty)$$ оно положительное, а при $$x\in (-1;3)$$ отрицательное. То есть мы получаем при $$x\geq 0$$: $$\begin{cases}y=x^{2}-2x-3 & \text{ if } x\in (-\infty ;-1)\cup (3;+\infty) \\ y=-x^{2}+2x+3 & \text{ if } x\in (-1;3)\end{cases}$$

В точках -1 и 3 значения будут одинаковы, потому нет разницы к какой части их присоединить

2)Если подмодульное выражение меньше нуля: $$\left\{\begin{matrix}x< 0\\ y=|x^{2}+2x-3|\end{matrix}\right.$$

Рассмотрим, когда подмодульное второе равно нулю: $$x_{1}=-3 ; x_{2}=1$$. Получаем, что на промежутках $$(-\infty ;-3)\cup (1;+\infty)$$ оно положительное, а при $$x\in (-3;1)$$ отрицательное. То есть мы получаем при $$x< 0$$: $$\begin{cases}y=x^{2}+2x-3 & \text{ if } x\in (-\infty ;-3)\cup (1;+\infty) \\ y=-x^{2}-2x+3 & \text{ if } x\in (-3;1)\end{cases}$$

В точках -3 и 1 значения будут одинаковы, потому нет разницы к какой части их присоединить

Далее необходимо построить графики четырех представленных парабол и оставить только те их части, которые даются по промежуткам:

Как видим по графику наибольшее количество общих точек составит 6 штук ($$y\in (3;4)$$)

Аналоги к этому заданию:

Задание 24

Площадь равнобедренной трапеции равна 96. Диагональ трапеции делит её тупой угол пополам. Длина меньшего основания равна 3. Найдите периметр трапеции.

Ответ: 42
Скрыть

Построим рисунок согласно условию задачи.

1)$$\angle ACD =\angle BAC$$ (накрестлежащие), при этом $$\angle DAC =\angle BAC$$ (AC-биссектрисса), следовательно $$\angle DAC = \angle ACB$$ и треугольник DAC - равнобедренный
2) Так как трапеция равнобедренная, то, если мы опустим две высоты AE и BF, то отрезки DE и FC, AB и EF равны. Пусть DE=FC=x. Тогда ВС = 2x+3=AD.
3) По т.Пифагора из треугольника ADE: $$AE=\sqrt{(2x+3)^{2}-x^{2}}$$$$=\sqrt{(x+3)(3x+3)}$$
4)Тогда площадь трапеции мы можем расписаться как: $$96=\frac{3+2x+3}{2}*\sqrt{(x+3)(3x+3)}$$
$$96=(x+3)*\sqrt{(x+3)(3x+3)}\Leftrightarrow $$$$96^{2}=(x+3)^2*(x+3)*3*(x+1)\Leftrightarrow $$$$3072=(x+3)^3(x+1)$$
Пусть $$x+3=y$$, тогда $$x+1=y-2$$
$$y^{3}(y-2)=3072\Leftrightarrow $$$$y^{4}-2y^{3}-3072=0$$
Выбираем целочисленные делители свободного члена (3072) и путем подстановки ищем корень уравнения. Получаем, что один из корней y=8. Если поделить столбиком наше уравнение на y-8, то получим $$y^{3}+6y^{2}+48y-384$$, данное выражение не обнуляется ни при одном из положительных у, а отрицательное y нас не устраивает, так как длина не может быть отрицательной. Тогда
$$y=8\Leftrightarrow $$$$x+3=8\Leftrightarrow $$$$x=5$$
$$P=3*(2x+3)+3\Leftrightarrow $$$$P=3*13+3=42$$
Аналоги к этому заданию:

Задание 25

Докажите, что сумма длин медиан треугольника меньше его периметра

Ответ:
Скрыть

На каждой стороне треугольника достроим параллелограмм, как показано на рисунке и введем обозначения: BC=a;AB=c;AC=b;CC1=mc;BB1=mb;AA1=ma

1) Рассмотрим параллелограм ACFB: AF - его диагональ (так как А1 - середина BC), тогда 2AA1=AF; по свойству длин сторон треугольника AF<AC+CF, но СF=AB, и тогда получаем 2ma<b+c или ma<0,5(b+c)(1)
2) Аналогично рассматривая два других параллелограма и треугольники CBE и BCD, получаем mс<0,5(a+b)(2) и mb<0,5(a+c)(3) соответственно.
3) Сложим неравенства 1,2 и 3 и получим : ma+mb+mc<0,5b+0,5c+0,5a+0,5b+0,5a+0,5c или ma+mb+mc<a+b+c
ч.т.д.
Аналоги к этому заданию:

Задание 26

В треугольнике, величина одного из углов которого равна разности величин двух других его углов, длина меньшей стороны равна 1, а сумма площадь квадратов, построенных на двух других сторонах, в два раза больше площади описанного около треугольника круга. Найдите длину большей стороны треугольника.

Ответ: $$x=\sqrt{\frac{2}{4-\pi}}$$
Скрыть

Построим рисунок:

1) Пусть меньший угол $$\alpha$$, а жва других $$x$$ и $$y$$. По условию задания меньший равен равности двух сотавшихся, а по свойству треугольника разность 180 и меньшего дает сумму оставшихся. Тогда:

$$\left\{\begin{matrix} \alpha= x-y\\180-\alpha =x+y \end{matrix}\right.$$

Сложим оба уравнения системы:

$$\Rightarrow 180=2x \Leftrightarrow x=90$$

То есть мы получили прямоугольный треугольник. Построим новый чертеж по условию задачи и с учетом полученного решения:

2) Пусть $$AC = x ; S_{AEDC}=S_{1}; S_{BCIH}=S_{2}$$. Тогда $$S_{1}=x^{2} ;$$$$ BC=\sqrt{x^{2}-1} \Rightarrow S_{2}=x^{2}-1 \Rightarrow $$$$S_{1}+S_{2}=2x^{2}-1$$

3)Пусть площадь окружности $$S_{3} ; R$$-радиус окружности.Радиус описанной окружотсти вокруг прямоугольного треугольника равен полвине его гипотенузы. $$R=\frac{AC}{2}=\frac{x}{2}$$. Тогда : $$S_{3}=\pi R^{2}=\pi \frac{x^{2}}{4}$$. Приравняем площади: $$2x^{2}-1=2*\pi \frac{x^{2}}{4} \Rightarrow $$$$4x^{2}-2=\pi x^{2} \Rightarrow $$$$x^{2}(4-\pi)=2 \Rightarrow $$$$x=\sqrt{\frac{2}{4-\pi}}$$