Перейти к основному содержанию

ОГЭ математика 2018. Разбор варианта Алекса Ларина № 168.

Решаем ОГЭ 168 вариант Ларина. Подробное решение 1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,17,18,19,20 заданий тренировочного варианта ОГЭ Ларина №168 (alexlarin.com)

Решаем ОГЭ 168 вариант Ларина. Подробное решение 21,22,23,24,25,26 заданий тренировочного варианта ОГЭ Ларина №168 (alexlarin.com)

Аналоги к этому заданию:

Задание 1

Найдите значение выражения $$\frac{0,35\cdot20}{1,6-0,4\cdot 0,5}$$

Ответ: 5
Скрыть

$$\frac{0,35\cdot20}{1,6-0,4\cdot0,5}=$$
$$=\frac{7}{1,6-0,2}=\frac{7}{1,4}=\frac{5}{1}=5$$

Аналоги к этому заданию:

Задание 2

Для квартиры площадью 90 кв. м заказан натяжной потолок белого цвета. Стоимость материалов с учётом работ по установке натяжных потолков приведена в таблице.

Цвет потолка Цена (в руб.) за 1 кв.м. (в зависимости от площади помещения)
  до 10 кв. м от 11 до 30 кв.м от 31 до 60 кв.м свыше 60 кв.м
Белый 1500 1250 1050 700
Цветной 1650 1400 1200 850

Какова стоимость заказа, если действует сезонная скидка в 15%?

Ответ: 53550
Скрыть

$$90\cdot700=63000$$ - без скидки

$$63000\cdot0,85=53550$$ - со скидкой

Аналоги к этому заданию:

Задание 3

Значение какого из данных выражений положительно, если известно, что a > 0, b < 0?

Варианты ответа:

1) $$ab$$;

2) $$(a-b)b$$;

3) $$(b-a)b$$;

4) $$(b-a)a$$

Ответ: 3
Скрыть

Пусть $$a=1>0$$; $$b=-1<0$$

1) $$ab=1\cdot(-1)<0$$

2) $$(a-b)b=(1-(-1))(-1)=-2<0$$

3) $$(b-a)b=(-1-1)\cdot(-1)=2>0$$

4) $$(b-a)\cdot a=(-1-1)\cdot1<0$$

Аналоги к этому заданию:

Задание 4

Найдите значение выражения $$\frac{\sqrt{450}\cdot\sqrt{24}}{\sqrt{20}}$$

Варианты ответа:

1) $$60$$

2) $$6\sqrt{5}$$

3) $$6\sqrt{10}$$

4) $$6\sqrt{15}$$

Ответ: 4
Скрыть

$$\frac{\sqrt{450}\cdot\sqrt{24}}{\sqrt{20}}=$$

$$=\sqrt{\frac{25\cdot2\cdot9\cdot8\cdot3}{4\cdot5}}=$$

$$=\sqrt{2^{2}\cdot3^{3}\cdot5}=6\sqrt{15}$$

Аналоги к этому заданию:

Задание 5

На графиках показано, как во время телевизионных дебатов между кандидатами А и Б телезрители голосовали за каждого из них. Сколько всего тысяч телезрителей проголосовало за первые 40 минут дебатов?

Ответ: 55
Скрыть

За А - 25 тыс

За Б - 30 тыс

Всего: $$25+30=55$$

Аналоги к этому заданию:

Задание 6

Решите уравнение $$5x-5(3-x)=x^{2}+10$$

Ответ: 5
Скрыть

$$5x-5(3-x)=x^{2}+10$$

$$5x-15+5x=x^{2}+10$$

$$x^{2}-10x+25=0$$

$$(x-5)^{2}=0$$

$$x=5$$

Аналоги к этому заданию:

Задание 7

Закупив подарочные наборы на оптовом складе, магазин стал продавать их по цене на 40% больше закупочной. Перед Новым годом цена наборов была снижена на 30%. Какая цена меньше: та, по которой магазин закупил подарочные наборы, или предновогодняя – и на сколько процентов?

Ответ: 2
Скрыть

Пусть х - закупочная цена,

тогда 1,4х - цена продажи до НГ.

Пусть у - цена перед НГ:

$$1,4x-100$$ %

$$y-70$$ %

$$y=\frac{1,4x\cdot70}{100}=0,98x$$ $$\Rightarrow$$

перед НГ меньше на 2 %

Аналоги к этому заданию:

Задание 8

На диаграмме показан возрастной состав населения России. Определите по диаграмме, какая из возрастных категорий самая многочисленная.

Вариант ответа:

1) 0-14 лет

2) 15-50 лет

3) 51-64 лет

4) 65 лет и более

Ответ: 2
Аналоги к этому заданию:

Задание 9

В среднем из 80 карманных фонариков, поступивших в продажу, шесть неисправны. Найдите вероятность того, что выбранный наудачу в магазине фонарик окажется исправен.

Ответ: 0,925
Скрыть

Исправных: $$n=80-6=74$$

Вероятность исправного: $$P=\frac{74}{80}=0,925$$

Аналоги к этому заданию:

Задание 10

Установите соответствие между графиками функций и формулами, которые их задают.

ФОРМУЛЫ:

1) $$y=x^{2}+2$$

2) $$y=-\frac{6}{x}$$

3) $$y=\frac{1}{2}x$$

Ответ: 231
Скрыть

А - гипербола $$y=\frac{k}{x}$$ $$\Rightarrow2$$

Б - прямая $$y=kx+b$$ $$\Rightarrow3$$

В - парабола $$y=ax^{2}+bx+c$$ $$\Rightarrow1$$

Аналоги к этому заданию:

Задание 11

Последовательность $$(a_{n}$$ задана условиями $$a_{1}=-3,a_{n+1}=a_{n}+3$$. Найдите $$a_{10}$$

Ответ: 24
Скрыть

$$a_[1}=-3$$

$$a_{n+1}=a_{n}+3$$

$$d=a_{n+1}-a_{n}=a_{n+3}-a_{n}=3$$

$$a_{n}=a_{1}+d(n-1)$$

$$a_{10}=-3+3\cdot(10-1)=-3+27=24$$

Аналоги к этому заданию:

Задание 12

Найдите значение выражения $$\frac{a^{2}-4b^{2}}{3a^{2}}\cdot\frac{a}{3a+6b}$$, при $$a=\sqrt{125}$$, $$b=\sqrt{245}$$

Ответ: -0,2
Скрыть

$$\frac{a^{2}-4b^{2}}{3a^{2}}\cdot\frac{a}{3a+6b}=$$

$$=\frac{(a-2b)(a+2b)\cdot a}{3a^{2}\cdot3\cdot(a+2b)}=$$

$$=\frac{a-2b}{9a}=\frac{\sqrt{125}-2\sqrt{245}}{9\sqrt{125}}=$$

$$=\frac{5\sqrt{5}-14\sqrt{5}}{9\cdot5\sqrt{5}}=$$

$$=\frac{-9\sqrt{5}}{9\cdot5\sqrt{5}}=-\frac{1}{5}=-0,2$$

Аналоги к этому заданию:

Задание 13

Период колебания математического маятника (в секундах) приближённо можно вычислить по формуле $$T=2\sqrt{l}$$ , где l — длина нити в метрах. Пользуясь этой формулой, найдите длину нити маятника (в метрах), период колебаний которого составляет 12 секунд.

Ответ: 36
Скрыть

$$T=2\sqrt{l}$$

$$12=2\sqrt{l}$$

$$6=\sqrt{l}$$

$$l=36$$

Аналоги к этому заданию:

Задание 14

Укажите неравенство, которое не имеет решений.

1) $$x^{2}-169\leq0$$

2) $$x^{2}+169\geq0$$

3) $$x^{2}-169\geq0$$

4) $$x^{2}+169\leq0$$

Ответ: 4
Скрыть

1) $$x^{2}-169\leq0$$ $$\Leftrightarrow x\in[-13;13]$$

2) $$x^{2}+169\geq0$$ $$\Leftrightarrow x\in R$$

3) $$x^{2}-169\geq0$$ $$\Rightarrow x\in(-\infty;-13]\cup [13;+\infty)$$

4) $$x^{2}+169\leq0$$ $$\Rightarrow\varnothing$$

Аналоги к этому заданию:

Задание 15

Лестница соединяет точки A и B и состоит из 25 ступеней. Высота каждой ступени равна 14 см, а длина – 48 см. Найдите расстояние между точками A и B (в метрах).

Ответ: 12,5
Скрыть

Диагональ ступени $$d=\sqrt{14^{2}+48^{2}}=50=0,5$$ м

Расстояние AB: $$0,5\cdot25=12,5$$

Аналоги к этому заданию:

Задание 16

Точка O — центр окружности, на которой лежат точки A, B и C. Известно, что $$\angle ABC=65^{\circ}$$ и $$\angle OAB=10^{\circ}$$. Найдите угол BCO. Ответ дайте в градусах.

Ответ: 55
Скрыть

$$\angle AOC=2\angle ABC=130^{\circ}$$

$$\Rightarrow\angle AOC_{1}=360-130=230^{\circ}$$

$$\angle BCO=360-\angle BAO-\angle AOC_{1}-\angle ABC=360-10-230-65=55^{\circ}$$

Аналоги к этому заданию:

Задание 17

Основания трапеции равны 9 и 14. Найдите больший из отрезков, на которые делит среднюю линию этой трапеции одна из её диагоналей.

Ответ: 7
Скрыть

$$MO=\frac{1}{2}\cdot BC=\frac{1}{2}\cdot9=4,5$$

$$ON=\frac{1}{2}\cdot AD=\frac{1}{2}\cdot14=7$$

Аналоги к этому заданию:

Задание 18

Биссектриса угла A параллелограмма ABCD пересекает сторону BC в точке Е. Найдите периметр параллелограмма, если $$BE=12$$, $$CE=5$$.

Ответ: 58
Скрыть

$$BC=12+5=17=AD$$

$$\angle BAE=\angle EAD$$ - биссектриса

$$\angle EAD=\angle BEA$$ - (накрестлежащие)

$$\Rightarrow$$ $$\angle BAE=\angle BEA$$ $$\Rightarrow$$

$$AB=BE=12=CD$$

$$P=2AB+2BC=2\cdot12+2\cdot17=24+34=58$$

Аналоги к этому заданию:

Задание 19

На клетчатой бумаге с размером клетки $$1\times1$$ см отмечены точки А, В и С. Найдите расстояние от точки А до середины отрезка ВС. Ответ выразите в сантиметрах.

Ответ: 6
Аналоги к этому заданию:

Задание 20

Какие из следующих утверждений верны?
1. Если в четырёхугольнике две стороны параллельны, то этот четырёхугольник - параллелограмм.
2. Через любые три точки, не лежащие на одной прямой, проходит единственная окружность.
3. Любые два равнобедренных прямоугольных треугольника подобны.В ответ запишите номера выбранных утверждений без пробелов, запятых и других дополнительных символов

Ответ: 23
Скрыть

1) нет, трапеция

2) да

3) да

Аналоги к этому заданию:

Задание 21

Решите неравенство $$(\frac{x+2}{8-x})^{2}\leq\frac{1}{16}$$

Ответ: $$x\in[-\frac{16}{3};0]$$
Скрыть

$$(\frac{x+2}{8-x})^{2}\leq\frac{1}{16}$$

ОДЗ: $$8-1\neq0$$

$$x\neq8$$

$$\frac{x+2}{8-x}=y$$

$$y^{2}\leq\frac{1}{16}$$

$$y^{2}-(\frac{1}{4})^{2}\leq0$$

$$\left\{\begin{matrix}y\geq-\frac{1}{4}\\y\leq\frac{1}{4}\end{matrix}\right.$$ $$\Leftrightarrow$$

$$\left\{\begin{matrix}\frac{x+2}{8-x}\geq-\frac{1}{4}\\\frac{x+2}{8-x}\leq\frac{1}{4}\end{matrix}\right.$$

1) $$\frac{x+2}{8-x}+\frac{1}{4}\geq0$$ $$\Leftrightarrow$$

$$\frac{4x+8+8-x}{4(8-x)}\geq0$$

$$\frac{3x+16}{8-x}\geq0$$ $$\Leftrightarrow$$

$$x\in[-\frac{16}{3};8)$$

2) $$\frac{x+2}{8-x}-\frac{1}{4}\leq0$$ $$\Leftrightarrow$$

$$\frac{4x+8-8+x}{4(8-x)}\leq0$$

$$\frac{5x}{8-x}\leq0$$ $$\Leftrightarrow$$

$$x\in(-\infty;0]\cup(8;+\infty)$$

Найдем пересечение ответов: $$x\in[-\frac{16}{3};0]$$

Аналоги к этому заданию:

Задание 22

Имеются два сплава меди и цинка. В первом сплаве меди в 2 раза больше, чем цинка, а во втором в 5 раз меньше, чем цинка. Во сколько раз больше надо взять второго сплава, чем первого, чтобы получить новый сплав, в котором цинка было бы в 2 раза больше, чем меди?

Ответ: 2
Скрыть

Пусть х - масса 1го сплава, тогда $$\frac{2}{3}x$$ меди $$\frac{1}{3}x$$ цинка в нем.

Пусть у - масса 2го сплава,тогда $$\frac{1}{6}y$$ меди, $$\frac{5}{6}$$ цинка в нем.

Пусть $$k=\frac{y}{x}$$, тогда $$x+kx$$ - суммарная масса.

В нем: $$\frac{1}{3}(x+kx)$$ - медь, $$\frac{2}{3}(x+kx)$$ - цинк.

$$\left\{\begin{matrix}\frac{2}{3}x+\frac{1}{6}kx=\frac{1}{3}(x+kx)(1)\\\frac{1}{3}x+\frac{5}{6}kx=\frac{2}{3}(x+kx)(2)\end{matrix}\right.$$

$$\frac{2}{3}x+\frac{1}{6}kx=\frac{1}{3}x+\frac{1}{3}kx$$

$$\frac{1}{3}x=\frac{1}{6}kx$$

$$k=2$$

1) вся медь из 1гои 2го ушла в сплав

2) весь цинк из 1гои 2го ушел в сплав

Аналоги к этому заданию:

Задание 23

Постройте график функции $$y=5-\frac{x^{4}-x^{3}}{x^{2}-x}$$ и определите, при каких значениях m прямая y = m имеет с графиком ровно две общие точки.

Ответ: $$(-\infty;4)\cup(4;5)$$
Скрыть

$$y=5-\frac{x^{4}-x^{3}}{x^{2}-x}$$

ОДЗ: $$x^{2}-x\neq0$$

$$\left\{\begin{matrix}x\neq0\\x\neq1\end{matrix}\right.$$

$$5-\frac{x^{4}-x^{3}}{x^{2}-x}=$$

$$=5-\frac{x^{2}(x^{2}-x)}{x^{2}-x}=5-x^{2}$$

$$y_{1}=5-x^{2}$$

То есть график первоначальной функции совпадает с графиком функции y1 при учете ОДЗ. Построим график y1 функции

Если прямая y=m проходит через оординаты 4 и 5, то получаем по одному пересечению, следовательно, их надо исключить, и тогда m будет принадлежать промежутку:

$$m\in(-\infty;4)\cup(4;5)$$

Аналоги к этому заданию:

Задание 24

В прямоугольную трапецию вписана окружность. Найдите её радиус, если основания трапеции 2 см и 3 см.

Ответ: 1,2
Скрыть

1) Пусть К - точка каасния АВ и окружности

2) Пусть r - радиус окружности $$BK=KA=r$$ $$\Rightarrow$$ $$BA=2r$$

3) По свойству описанного четырехугольника: $$AB+CD=BC+AD$$ $$\Rightarrow$$

$$2r+CD=2+3=5$$ $$\Rightarrow$$

$$CD=5-2R$$

4) Опустим $$CC_{1}\perp AD$$ $$\Rightarrow$$

$$CC_{1}=AB=2r$$

По теореме Пифагора: $$CC_{1}^{2}+C_{1}D^{2}=CD^{2}$$

$$C_{1}D=AD-BC=3-2=1$$

$$(2r)^{2}+1^{2}=(5-2r)^{2}$$

$$4r^{2}+1=25-20r+4r^{2}$$

$$20r=24$$ $$\Rightarrow$$ $$r=1,2$$

Аналоги к этому заданию:

Задание 25

На стороне BC квадрата ABCD взята точка М. Докажите, что площадь треугольника AМD равна половине площади квадрата.

Ответ:
Скрыть

1) Пусть МН - высота AMD $$\Rightarrow$$

$$MH\perp AD$$ $$\Rightarrow$$

$$MH\parallel AB$$ $$\Rightarrow$$

$$MH=AB$$

2) $$S_{ABCD}=\frac{1}{2}AD\cdot MH=\frac{1}{2}AB\cdot AD$$

$$S_{ABCD}=AB\cdot AD$$ $$\Rightarrow$$

$$S_{AMD}=\frac{1}{2}S_{ABCD}$$

Ч.Т.Д.

Аналоги к этому заданию:

Задание 26

Продолжение сторон KN и LM выпуклого четырехугольника KLMN пересекаются в точке P, а продолжения сторон KL и LM – в точке Q. Отрезок PQ перпендикулярен биссектрисе угла KQN. Найти длину стороны KL, если KQ=12, NQ=8, а площадь четырехугольника KLMN равна площади треугольника LQM.

Ответ: 4
Скрыть

1) Постороим через К прямую $$m\parallel QP$$

Пусть $$ON\cap m=A$$; $$QB\cap m=B$$ (QB - биссектриса);

$$QL\cap m=K$$; $$PL\cap m=C$$

2) $$\bigtriangleup KAN\sim\bigtriangleup QNP$$; $$QA=QK=12$$ $$\Rightarrow$$

$$AN=AQ-QN=12-8=4$$; $$\frac{AN}{QN}=\frac{AK}{QP}=\frac{4}{8}=\frac{1}{2}$$

3) Пусть $$QK=xQL$$ $$\Rightarrow$$

$$KL=QK-QL=(x-1)QL$$

$$\bigtriangleup CKL\sim\bigtriangleup QLP$$ $$\Rightarrow$$

$$\frac{CK}{QP}=\frac{KL}{LQ}=\frac{(x-1)LQ}{LQ}$$ $$\Rightarrow$$

$$CK=QP(x-1)$$

4) Пусть $$AQ=yQM$$ $$\Rightarrow$$

$$AM=AQ-QM=yQM-QM=QM(y-1)$$

$$\bigtriangleup CAM\sim\bigtriangleup QMP$$ $$\Rightarrow$$

$$\frac{AC}{PQ}=\frac{AM}{MQ}=\frac{QM(y-1)}{QM}$$ $$\Rightarrow$$

$$AC=PQ(y-1)$$

$$AK=\frac{1}{2}PQ$$

$$AK=AC-CK$$ $$\Rightarrow$$

$$\frac{1}{2}PQ=(y-1)PQ-(x-1)PQ$$ $$\Leftrightarrow$$

$$\frac{1}{2}=y-1-x+1$$ $$\Leftrightarrow$$

$$\frac{1}{2}=y-x$$

5) $$S_{\bigtriangleup LQM}=S=\frac{1}{2}QL\cdot QM\cdot\sin Q=\frac{1}{2}\frac{QK}{x}\cdot\frac{AQ}{y}\sin Q$$

$$S_{\bigtriangleup QKN}=2S=\frac{1}{2}QK\cdot QN\cdot\sin Q$$

$$\frac{1}{2}QK\cdot QN\cdot\sin Q=2\cdot\frac{1}{2}\frac{QK}{x}\cdot\frac{AQ}{y}\sin Q$$

$$12\cdot8=2\cdot\frac{12}{x}\cdot\frac{12}{y}\Leftrightarrow$$

$$8=\frac{24}{xy}$$ $$\Leftrightarrow$$

$$xy=3$$

$$\left\{\begin{matrix}y=x+\frac{1}{2}\\xy=3\end{matrix}\right.$$

$$x(x+\frac{1}{2})=3$$

$$x^{2}+\frac{x}{2}-3=0$$

$$2x^{2}+x-6=0$$

$$D=1+48=49$$

$$x_{1}=\frac{-1+7}{4}=\frac{3}{2}$$

$$x_{2}<0$$

6) $$\Rightarrow$$: $$QL=\frac{QK}{\frac{3}{2}}=\frac{12\cdot2}{3}=8$$ $$\Rightarrow$$

$$KL=QK-QL=12-8=4$$