Перейти к основному содержанию

ЕГЭ математика 2017. Разбор варианта Алекса Ларина № 196



Подробный разбор 1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12 задания тренировочного варианта ЕГЭ № 196 Ларина

Подробный разбор 13,14,15,16,17,18,19 задания тренировочного варианта ЕГЭ № 196 Ларина

 
Аналоги к этому заданию:

Задание 1

Диагональ экрана телевизора “Sony KD‐65” равна 165 сантиметров. Выразите диагональ экрана этого телевизора в дюймах, если известно, что в одном дюйме 2,54 см. Результат округлите до целого числа дюймов.

Ответ: 65
Скрыть

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

Скрыть

165/2.54 ≈ 64.96 ≈ 65

 
Аналоги к этому заданию:

Задание 2

На графике точками отмечена цена (в рублях) одного литра подсолнечного масла «Злато» в одном из супермаркетов Липецка течение первых 12 дней июля. Для наглядности точки соединены отрезками. Определите размах цен (в рублях) на подсолнечное масло «Злато» за указанный период.

Ответ: 20
Скрыть

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

Скрыть

Максимальная цена - 80 рублей (3 числа), а минимальная - 60 рублей (12 числа). Получаем размах цен: 80-60 = 20 рублей

 
Аналоги к этому заданию:

Задание 3

Клетка имеет размер 1 см * 1 см. Найдите площадь (в квадратных сантиметрах) закрашенной фигуры, изображенной на рисунке.

Ответ: 12
Скрыть

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

Скрыть

Достроим треугольники и введем обозначения как показано на рисунке. 

SABC = 0.5 * AC * BO = 0.5 * 8 * 2 = 8

SRHZ= 0.5 * 6 * 1 = 3

SALC = 0.5 * 8 * 4 = 16

SRMZ = 0.5 * 6 * 3 = 9

Sзакрашенной = 8 + 16 - 3 - 9 = 12

 
Аналоги к этому заданию:

Задание 4

В финале чемпионата мира по художественной гимнастике должны выступить 9 спортсменок: три россиянки, по две гимнастки из Болгарии, Греции и Испании. Перед началом выступления спортсменок жеребьевкой распределяют на три группы А, Б и В по три человека в каждой. Найдите вероятность того, что обе испанки окажутся в одной группе.

Ответ: 0.25
Скрыть

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

Скрыть

Рассмотрим случай, что обе испанки попадут в первую группу. Вероятность того, что одна испанка попадет в первую группу :

всего у нас 9 жребиев: 111 222 333 (по три в каждую группу)

Значит, вероятность того, что первая испанка попадет в первую группу = 3 / 9 (три жребия из девяти). Но, тогда осталось в первую группу 2 жребия, а всего жребиев 8. Значит, вероятность того, что вторая попадет в первую группу = 2 / 8 = 1 / 4.

Вероятность того, что обе попадут в первую получается путем перемножения вероятности попадания каждой: $$\frac{1}{3}*\frac{1}{4}=\frac{1}{12}$$. Но это вероятность, что попадут в первую, а таких групп всего три. Значит полученную вероятность умножим на 3: $$\frac{1}{12}*3=0.25$$

 
Аналоги к этому заданию:

Задание 5

Найдите корень уравнения $$ \arccos x= \frac{2\pi }{3}$$

Ответ: -0.5
Скрыть

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

Скрыть

Для того, чтобы решить данное уравнение $$ \arccos x= \frac{2\pi }{3}$$, нам, фактически, надо указать абсциссу, которой соответствует точка $$\frac{2\pi }{3}$$ на единичной окружности. У этой точки координаты $$(-\frac{1}{2};\frac{\sqrt{3}}{2})$$ $$ x = - \frac{1}{2} $$

 
Аналоги к этому заданию:

Задание 6

Трапеция АВСD вписана в окружность с диаметром АD. Найдите высоту трапеции, если радиус окружности равен 10, а боковая сторона трапеции равна 12.

 

Ответ: 9.6
Скрыть

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

Скрыть

Достроим треугольник OCD: OC = OD = 10 - радиусы, OH, CN  - высоты. HD = 6 (OH - высота, биссектриса и медиана), отсюда по теореме Пифагора OH = $$\sqrt{OD^{2}-HD^{2}}=8$$.Тогда, используя формулу площади треугольника, получаем:

$$\frac{1}{2} OH*CD = \frac{1}{2} CN*OD$$

$$CN=\frac{OH*CD}{OD}=\frac{8*12}{10}=9.6$$

 
Аналоги к этому заданию:

Задание 7

Функция у = f (x) определена на отрезке [‐4; 4]. На рисунке приведен график её производной. Найдите промежутки убывания функции. В ответе укажите сумму всех целых x, входящих в эти промежутки.

Ответ: 3
Скрыть

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

Скрыть

Функция убывает, когда производная отрицательная. То есть мы смотрим, где график производной лежит под осью оХ, и выбираем оттуда целые значения Х (в задании надо сумму целых чисел). Важно выбрать значения, где производная равна 0, так как считается, что если функция определена в точках максимума или минимума, то эти точки входят в промежутки возрастания и убывания. Получаем точки -2; -1; 0 ; 1 ; 2 ;3

-2-1+0+1+2+3=3

 
Аналоги к этому заданию:

Задание 8

В равносторонний конус (диаметр основания конуса равен длине его образующей) вписан шар. Найдите отношение объема конуса к объему шара.

 

Ответ: 2.25
Скрыть

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

Скрыть

Объем конуса вычисляется по формуле:

$$V_{1}=\frac{1}{3}S*h=\frac{1}{3}\pi HB^{2}*AH$$

Объем шара вычисляется по формуле:

$$V_{2}=\frac{4}{3}\pi R^{3}=\frac{4}{3}\pi OH^{3}$$

Дан равносторонний конус, то есть в осевом сечении будет равносторонний треугольник. Пусть AB = x, тогда HB = 0,5x и по теореме Пифагора из треугольника AHB: $$AH = \frac{\sqrt{3}}{2}x$$. OH - радиус вписанной в правильный треугольник окружности, и он равен 1/3 от высоты: $$OH = \frac{1}{3}AH = \frac{\sqrt{3}}{6}x$$

Значит объем конуса равен:

$$V_{1}=\frac{1}{3}S*h=\frac{1}{3}\pi (0.5x)^{2}* \frac{\sqrt{3}}{2}x$$

Объем шара равен:

$$V_{2}=\frac{4}{3}\pi R^{3}=\frac{4}{3}\pi (\frac{\sqrt{3}}{6}x)^{3}$$

Тогда:

$$\frac{V_{1}}{V_{2}}=\frac{\frac{1}{3}\pi (0.5x)^{2}* \frac{\sqrt{3}}{2}x}{\frac{4}{3}\pi (\frac{\sqrt{3}}{6}x)^{3}}$$

$$\frac{V_{1}}{V_{2}}=\frac{0.25x^{3}* \frac{\sqrt{3}}{2}}{ 4(\frac{\sqrt{3}}{6}x)^{3}}=2.25$$

 
Аналоги к этому заданию:

Задание 9

Найдите значение выражения $$(\frac{9^{\frac{1}{6}}*9^{\frac{1}{9}}}{\sqrt[18]{9}})^{9}$$

Ответ: 81
Скрыть

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

Скрыть

$$(\frac{9^{\frac{1}{6}}*9^{\frac{1}{9}}}{\sqrt[18]{9}})^{9}=(\frac{9^{\frac{1}{6}+\frac{1}{9}}}{9^{\frac{1}{18}}})^{9}=(9^{\frac{1}{6}+\frac{1}{9}-\frac{1}{18}})^{9}=9^{2}=81$$

 
Аналоги к этому заданию:

Задание 10

Перевести температуру из шкалы Цельсия в шкалу Фаренгейта позволяет формула F = 1,8∙ C + 32, где С – градусы Цельсия, F – градусы Фаренгейта. Какая температура по шкале Цельсия соответствует 95о по шкале Фаренгейта?

Ответ: 35
Скрыть

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

Скрыть

Подставим в формулу значение по Фаренгейту: 95 = 1.8C + 32 и найдем отсюда С=(95-32)/1,8=35

 
Аналоги к этому заданию:

Задание 11

Из городов A и B навстречу друг другу выехали мотоциклист и велосипедист. Мотоциклист приехал в B на 3 часа раньше, чем велосипедист приехал в A, а встретились они через 48 минут после выезда. Сколько часов затратил на путь из B в A велосипедист?

Ответ: 4
Скрыть

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

Скрыть

Пусть x - скорость мотоциклиста, а у - скорость велосипедиста. Пусть расстояние равно 1, минуты представим в виде часа (48/60) тогда: $$\left\{\begin{matrix} \frac{1}{y}-\frac{1}{x}=3 \\ \frac{1}{x+y}=\frac{48}{60}=\frac{4}{5} \end{matrix}\right.$$

Выразим во втором x через у:$$ x = \frac{5-4y}{4}$$ и поставим в первое: $$\frac{1}{y}-\frac{1}{\frac{5-4y}{4}}=3$$

$$\frac{1}{y}-\frac{4}{5-4y}=3$$

Приведем к общему знаменателю и найдем y: $$5-4y-4y=15y-12y^{2}$$ $$12y^{2}-23y+5=0$$

$$y_{1}=\frac{1}{4} ; y_{2}=\frac{5}{3} $$

Если подставим в x второй у, то x получится отрицательным, что нас не устраивает. Значит остается скорость велосипедиста 1/4. Значит время его будет равно : $$ \frac{1}{\frac{1}{4}} = 4$$

 
Аналоги к этому заданию:

Задание 12

Найдите наименьшее значение функции $$f(x)=\frac{\sqrt{3}\pi }{6}-\cos x -\frac{\sqrt{3}}{2}x$$

Ответ: 0.5
Скрыть

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

Скрыть

Найдем производную этой функции: $$f'(x)=\sin x -\frac{\sqrt{3}}{2}$$

Приравняем к нулю: $$f'(x)=\sin x -\frac{\sqrt{3}}{2}=0$$

Тогда получим корни $$ x_{1}= \frac{\pi}{3}+2\pi n $$; $$ x_{2}= \frac{2\pi}{3}+2 \pi n$$

Отметим на координатной прямой данные точки и расставим знаки производной, получим, что точка минимума $$x_{1}$$ на данном промежутке соответствует $$\frac{\pi}{3}$$

Найдем значение функции в этой точке: $$f(\frac{\pi}{3})=\frac{\sqrt{3}\pi }{6}-\cos \frac{\pi}{3} -\frac{\sqrt{3}}{2}\frac{\pi}{3} =-\cos \frac{\pi }{3}=-0.5$$

 
Аналоги к этому заданию:

Задание 13

Дано уравнение $$2ctg^2x+\frac{3}{\sin x}=0$$.

а) Решите уравнение.
б) Найдите корни этого уравнения, принадлежащие отрезку $$[16\pi;18\pi]$$.
Ответ: а) $$-\frac{\pi}{6}+2\pi n, -\frac{5\pi}{6}+2\pi n, n\in Z$$; б) $$\frac{103\pi}{6};\frac{107\pi}{6}$$.
 
Аналоги к этому заданию:

Задание 14

В основании пирамиды $$PABC$$ лежит равнобедренный треугольник $$ABC$$ $$(AC=BC)$$. Все боковые ребра пирамиды попарно равны. Точка $$K$$ – середина $$AB$$. В эту пирамиду вписана сфера.

а) Докажите, что точка касания сферы с гранью $$APB$$ лежит на прямой $$PK$$.
б) Найдите радиус сферы, если известно, что $$AB=6$$, $$BC=5$$, $$KP=4$$.
Ответ: $$\frac{15\sqrt{39}}{48+25\sqrt{3}}$$.
 
Аналоги к этому заданию:

Задание 15

Решите неравенство $$\frac{\log_2(|x|-1)\log_2(\frac{|x|-1}{16})+3}{\sqrt{\log_2(7-|x+4|)}}\geq 0.$$

Ответ: $$(-10;-9]\cup[-3;-1)\cup (1;2)$$.
 
Аналоги к этому заданию:

Задание 16

Дан квадрат $$ABCD$$. На сторонах $$AB$$ и $$BC$$ внешним и внутренним образом соответственно построены равносторонние треугольники $$ABK$$ и $$BCP$$.

а) Докажите, что точка $$P$$ лежит на прямой $$DK$$.
б) Найдите площадь четырехугольника $$PKBC$$, если известно, что $$AB=2$$.
Ответ: $$\sqrt3+2$$.
 
Аналоги к этому заданию:

Задание 17

Роман Абрамович внес в банк «Альфа» S тысяч рублей (S – целое число) под 10% годовых сроком на три года. Одновременно с ним Абрам Романович внес в банк «Бетта» такую же сумму на год под 15% годовых с возможностью пролонгировать (продлить) вклад на второй год под 10% годовых, а на третий – под 5% годовых. Найдите наименьшее значение S, при котором суммы на счетах Романа Абрамовича и Абрама Романовича спустя три года будут отличаться более, чем на 300 тысяч рублей.

Ответ: 109091
 
Аналоги к этому заданию:

Задание 18

Найдите все значения параметра $$a$$, при каждом из которых уравнение $$\log^2_x(2ax+1-a^2)-2\log_x(2ax+1-a^2)=0$$ имеет более двух корней.

Ответ: $${0}\cup (1;2)\cup (2;+\infty)$$.
 
Аналоги к этому заданию:

Задание 19

Василий Кузякин возвращался из санатория домой на поезде. На перроне одной из ж/д станций продавали варёных раков: больших – по 200 руб. за штуку, средних – по 150 руб. за штуку и маленьких – по 100 руб. за штуку. Василий решил потратить на покупку раков последние пять тысяч рублей. Для себя он определил, что непременно купит и больших, и средних, и маленьких, причём их количества не будут отличаться более, чем на 2.

a) Сможет ли Василий при таких условиях купить раков ровно на 5000 рублей?
б) Сможет ли Василий при таких условиях купить 14 больших раков?
в) Какое наибольшее число раков сможет купить Василий при таких условиях?
Ответ: а) да; б) нет; в) 34.
Скрыть

a) Пусть Василий купил $$x$$ штук больших раков, $$y$$ штук средних и $$z$$ штук маленьких. Тогда $$200x+150y+100z=5000$$ или 4x+3y+2z=100. При этом $$|x-y|\leq 2,|x-z|\leq 2, |z-y|\leq 2.$$ Значения $$x=11,y=12,z=10$$ удовлетворяют указанным требованиям. Да, Василий может купить раков при указанных условиях ровно на 5000 рублей.

б) Допустим, Василий сможет купить 14 больших раков при указанных условиях. Тогда $$3y+2z\leq 44$$, откуда $$y\leq \frac{44-2z}{3}$$. С учетом того, что $$y\geq z-2$$, получаем: $$z-2\leq \frac{44-2z}{3}$$; $$z\leq 10$$. Видим, что $$z$$ будет отличаться от $$x$$ более чем на 2, а это противоречит условию. Нет, Василий не сможет купить 14 раков при заданных условиях.

в) Имеем $$4x+3y+2z\leq 100.$$ С учетом $$z-x\leq 2,$$ получаем $$3x+3y+3z\leq 102;$$ $$x+y+z\leq 34;$$ Василий может купить 10 больших раков и по 12 средних и мелких, тогда общее количество раков будет максимальным, равным 34.