ЕГЭ математика 2017. Разбор варианта Алекса Ларина № 195
Подробный разбор 1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12 задания тренировочного варианта ЕГЭ № 195 Ларина
Задание 1
В физико‐математическом лицее Горгорода обучается 147 учеников. Известно, что число мальчиков составляет менее 83% от числа всех учащихся лицея. Какое наименьшее количество девочек может быть в этом лицее?
Если мальчиков менее 83%, то девочек более 17% (100-87). Найдем это количество:
То есть девочек больше чем 24,99, округлим до целого в большую сторону ( так как количество человек число натуральное) и получим 25.
Задание 2
| На рисунке показано изменение биржевой стоимости одной акции чтотодобывающей компании в первой половине апреля 2017 года. 7 апреля бизнесмен приобрёл 1000 акций этой компании. 10 апреля он продал три четверти купленных акций, а 13 апреля продал все оставшиеся. Сколько рублей потерял бизнесмен в результате этих операций? |  |
7 апреля акции стоили 340р/шт. Значит бизнесмен потратил на них: 340 * 1000 = 340 000 (руб)
10 апреля акции стоили 330р/шт. Значит бизнесмен получил с продажи трех четвертей (0,75*1000=750 акций): 330 * 750 = 247 500 (руб)
13 апреля акции стоили 310р/шт. Значит за оставшиеся 250 акций он получил: 310 * 250 = 77 500 (руб)
В итоге убыток составил: 340 000 - 247 500 - 77 500 = 15 000 (руб)
Задание 3
| На рисунке клетка имеет размер 1 см х 1 см. Известно, что точка G удалена от точек А, В и С на одинаковое расстояние. Найдите это расстояние. Ответ приведите в сантиметрах. |
|
Если точка G равноудалена от вершин, то для треугольника ABC она - центр описанной окружности. Треугольник у нас прямоугольный ( прямой угол С). А центр описанной окружности вокруг прямоугольного треугольника лежит на середине его гипотенузы. Найдем AB по теореме Пифагора если AC = 8 см (8 клеток) и BC = 6 см (6 клеток): $$\sqrt{8^{2}+6^{2}}=\sqrt{100}=10$$
Значит, половина гипотенузы, и радиус описанной окружности равны 10/2 = 5
Задание 4
На окружности отмечены 6 красных и 1 синяя точка. Определите, каких многоугольников больше: тех, у которых все вершины красные, или тех, у которых одна из вершин синяя. В ответе укажите, на сколько одних больше, чем других.
Для решения подобной задачи нам понадобится вспомнить, что такое сочетание из комбинаторики. Пусть у вас есть три числа, если вам не важен порядок размещения этих чисел, то возможных комбинаций этих чисел будет всего одна, то есть 123, 132 или 231 - это одинаковые множества. Так вот, чтобы определить количество таких комбинаций используют формулу:
$$C_{m}^{n}=\frac{m!}{n!(m-n)!}$$
Найдем количество треугольников, которые можно построить ТОЛЬКО из красных точек. В треугольнике три вершины, значит брать мы будем три точки, красных всего 6. Значит имеем:
$$C_{6}^{3}=\frac{6!}{3!(6-3)!}=\frac{1*2*3*4*5*6}{1*2*3*3!}=20$$
Аналогично найдем четырехугольники, пятиугольники:
$$C_{6}^{4}=\frac{6!}{4!(6-4)!}=\frac{1*2*3*4*5*6}{1*2*3*4*2!}=15$$
$$C_{6}^{5}=\frac{6!}{5!(6-5)!}=\frac{1*2*3*4*5*6}{1*2*3*4*5*1!}=6$$
Плюс есть еще 1 шестиугольник. В итоге получаем всего фигур ТОЛЬКО из красных: 20+15+6+1=42
Теперь разберемся с вариантом фигур с одной красной точкой. Возьмем треугольник. Если в нем одна синяя точка, то остается две вершины (то есть n=2), где можно использовать красную точку. А самих красных точек 6 (m=6). Значит треугольников, в которых есть синяя всего:
$$C_{6}^{2}=\frac{6!}{2!(6-2)!}=\frac{1*2*3*4*5*6}{1*2*4!}=\frac{1*2*3*4*5*6}{1*2*1*2*3*4}=15$$
Аналогично, для четырехугольников:
$$C_{6}^{3}=\frac{6!}{3!(6-3)!}=\frac{1*2*3*4*5*6}{1*2*3*3!}=\frac{1*2*3*4*5*6}{1*2*3*1*2*3*}=20$$
Пятиугольников:
$$C_{6}^{4}=\frac{6!}{4!(6-4)!}=\frac{1*2*3*4*5*6}{1*2*3*4*2!}=\frac{1*2*3*4*5*6}{1*2*3*4*1*2}=15$$
Шестиугольников:
$$C_{6}^{5}=\frac{6!}{5!(6-5)!}=\frac{1*2*3*4*5*6}{1*2*3*4*5*1!}=\frac{1*2*3*4*5*6}{1*2*3*4*5*1}=6$$
Плюс есть еще 1 семиугольник. Всего таких фигур:15+20+15+6+1=57
В итоге разница: 57 - 42 = 15
Задание 5
Найдите корень уравнения $$1000^{x+1}=\sqrt{0.001}$$
$$1000^{x+1}=\sqrt{0.001} \Leftrightarrow 10^{3(x+1)}=10^{0.5(-3)}\Leftrightarrow $$ $$3x+3=-1.5\Leftrightarrow 3x=-4.5\Leftrightarrow x=-1.5$$
Задание 6
| В трапеции АВСD (АВ||СD) угол АBС равен 130°. Окружность с центром в точке В проходит через точки А, D и С. Найдите величину угла ADC. Ответ дайте в градусах. |
|
∠ ABC - центральный, а значит дуга AC, на которую он опирается, равна его величине, то есть 130°. Значит дуга CA (противоположная) равна: 360° - 130° = 230°. ∠ ADC опирается на эту дугу и он вписанный, значит равен половине величины дуги на которую он опирается, то есть 230°/2 = 115°
Задание 7
К графику функции у = f (x) в точке с абсциссой х0 проведена касательная, которая перпендикулярна прямой, проходящей через точки (4; 3) и (3; ‐1) этого графика. Найдите f / (x0).
Пусть прямая, проходящая через точки (4; 3) и (3; ‐1) задается формулой y = k1x+b. Найдем k1, подставив имеющиеся координаты в уравнение прямой:
$$\left\{\begin{matrix}3=4*k_{1}+b\\ -1=3*k_{1}+b\end{matrix}\right.$$ Найдем $$k_{1}$$. Решив систему получим, что $$k_{1}=4$$ Далее воспользуемся свойством: если k1 и k2 угловые коэффициенты двух линейных функций, то их графики буду перпендикулярны в том случае, когда k1k2=-1. Получаем, что k2=-1/k1=-1/4=-0.25. А значение производной в точке и есть величина углового коэффициента.
Задание 8
| В шар вписан конус так, что центр основания конуса совпадает с центром шара. Найдите площадь боковой поверхности конуса, если известно, что площадь поверхности шара равна $$10\sqrt{2}$$ |  |
|
Площадь поверхности шара: $$S_1=4\pi R^{2}$$ Площадь боковой поверхности конуса: $$S=\pi R*l$$, где R - радиус шара, а в нашем случае и основания конуса, а l - образующая конуса OA=OB=R Значит $$BA = \sqrt{OA^{2}+OB^{2}}=R\sqrt{2}$$. То есть $$l=R\sqrt{2}$$. Значит площадь боковой поверхности конуса: $$S=\pi R*R\sqrt{2}=\pi R^{2}\sqrt{2}=\frac{S_{1}\sqrt{2}}{4}=$$ $$\frac{S_{1}\sqrt{2}}{4}=\frac{10*\sqrt{2}\sqrt{2}}{4}=5$$ |
|
Задание 9
Вычислите $$tg \alpha $$, если известно, что $$\cos 2\alpha =0.6$$ и $$\frac{3\pi }{4}< \alpha < \pi $$
Воспользуемся формулой косинуса двойного угла: $$\cos 2\alpha =2\cos^{2}\alpha-1=0.6$$
С учетом того, что $$\alpha$$ - угол второй четверти, то косинус у него отрицательный, а синус положительный.
Значит: $$cos \alpha = -\sqrt{\frac{\cos 2\alpha+1}{2}}=-\sqrt{\frac{0.6+1}{2}}=-\sqrt{0.8} $$
Воспользуемся основным тригонометрическим тождеством: $$sin \alpha = \sqrt{1-\cos^{2}\alpha}=\sqrt{0.2}$$
Значит тангенс будет равен: $$tan \alpha = \frac{\sin \alpha}{\cos \alpha}= \frac{\sqrt{0.2}}{-\sqrt{0.8}}=-\frac{1}{2}=-0.5$$
Задание 10
Кинетическая энергия тела, имеющего массу m (кг) и скорость v (м/с) равна
$$E=\frac{mV^{2}}{2}$$ Дж
Какую наименьшую начальную скорость должна иметь пуля массой 9 граммов, чтобы при прохождении через неподвижную мишень передать ей энергию не меньше 810 Дж, уменьшив при этом свою скорость не более, чем в три раза? (Считать, что в процессе полёта пули потери энергии не происходит). Ответ дайте в м/с.
Пусть V - первоначальная скорость, тогда V/3 - скорость после прохождения мишени. Учитываем, что масса в формуле в кг, значит $$9$$ гр $$= 9 * 10^{-3}$$ кг. Поручаем
$$\frac{mV^{2}}{2}=810+\frac{m*(v/3)^{2}}{2}$$
$$\frac{mV^{2}}{2} - \frac{m*(v)^{2}}{2}*\frac{1}{9} = 810$$
$$\frac{mV^{2}}{2}*\frac{8}{9}=810$$
$$mV^{2}=\frac{810*2*9}{8}=\frac{81*9*10}{4}$$
$$V=\sqrt{\frac{81*9*10}{4*m}}=\sqrt{\frac{81*9*10}{4*9*10^{-3}}}=\sqrt{\frac{81*10^{4}}{4}}=\frac{9*100}{2}=450$$
Задание 11
На весенних каникулах 11‐классник Вася должен был решить 560 тренировочных задач для подготовки к ЕГЭ. 18 марта в последний учебный день Вася решил 5 задач. Далее ежедневно он решал на одно и то же количество задач больше по сравнению с предыдущим днем. Определите, сколько задач Вася решил 2 апреля в последний день каникул.
В задаче будем использовать формулу суммы арифметической прогрессии: $$ S_{n}=\frac{a_{1}+a_{n}}{2}*n$$ Первый день - 18 марта, это первый член арифметической прогрессии, то есть $$a_{1}=5$$. 2 апреля получается 16 день. То есть мы получаем $$ S_{16}=\frac{a_{1}+a_{16}}{2}*16$$ $$560=\frac{5+a_{16}}{2}*16$$ $$ 560=(5+a_{16})*8$$ $$ 70=5+a_{16}$$ $$ 65=a_{16}$$
Задание 12
Найдите точку минимума функции $$\sqrt[3]{(x+5)^{2}}-\sqrt[3]{(x+5)^{5}}$$
Найдем производную этой функции. Представим, что
$$\sqrt[3]{(x+5)^{2}}=(x+5)^{\frac{2}{3}}$$
$$ \sqrt[3]{(x+5)^{5}}=(x+5)^{\frac{5}{3}}$$
Тогда $$f_{'}(x)=\frac{2}{3}*(x+5)^{-\frac{1}{3}}-\frac{5}{3}*(x+5)^{\frac{2}{3}}=0$$
$$0=\frac{1}{3}*(2(x+5)^{-\frac{1}{3}}-5*(x+5)^{\frac{2}{3}})$$
$$0=2(x+5)^{-\frac{1}{3}}-5*(x+5)^{\frac{2}{3}}$$ Вынесем $$(x+5)^{-\frac{1}{3}}$$ за скобки:
$$(x+5)^{-\frac{1}{3}}(2-5*(x+5))=0$$
Получаем, что x = -4.6 и x = -5.
Если начертить координатную прямую и расставить на ней знаки производной, то увидим, что на промежутках (-∞;-5] и [-4.6;+∞) производная отрицательна, а на промежутке [-5;-4.6] - положительна. Значит x = -5 точка минимума