ЕГЭ математика 2017. Разбор варианта Алекса Ларина № 191
Задание 1
Аспирант Егор планирует распечатать автореферат диссертации объемом 28 страниц. Известно, что из одного листа бумаги формата А4 получается 4 печатные страницы. Какое наименьшее количество пачек бумаги формата А4 должен купить Егор, чтобы ее хватило на распечатывание 150 экземпляров автореферата? Известно, что в одной пачке бумаги содержится 500 листов.
- 150 экземпляров в страницах : 150 * 28 = 4200
- В страницах А4 : 4200 / 4 = 1050
- В пачках бумаги: 1050 / 500 = 2.1
- Округлим до большего: 3
Задание 2
| На графике показано изменение температуры воздуха на протяжении трёх суток. По горизонтали указывается дата и время, по вертикали – значение температуры в градусах Цельсия. Определите по графику наименьшую температуру воздуха 27 апреля. Ответ дайте в градусах Цельсия. |  |
| Нам необходимо 27 апреля. Находим на графике эту дату( выделена желтым) и затем находим наименьшуюю температуру. Цена деления шкалы равна 1, поэтому температура будет -7 |  |
Задание 3
| Найдите площадь фигуры, изображённой на рисунке (каждая клетка имеет площадь, равную единице). |
|
|
Для того, чтобы найти площадь, поместим треугольник в квадрат. Найдем площадь данного квадрата и вычтем из нее площади прямоугольных треугольников( отмечены галочками). Площадь квадрата - сторона на сторону. Площадь прямоугольного треугольника - половина произведения его катетов. 5*4 – 0,5*1*5 – 0,5 *3*4 – 0,5 * 4*1 = 9,5 |
|
Задание 4
Вероятность, что два случайно взятых лотерейных билета окажутся выигрышными, составляет 0,04. Какова вероятность, что хотя бы один из двух билетов окажется выигрышным?
Пусть P - вероятность выигрышного билета. Так как билеты одинаковые, то и вероятности у них одинаковые. Следовательно, вероятность двух выигрышных билетов вычисляется как: P * P = 0.04. Отсюда найдем P = 0.2 - вероятность найти выиграшный билет. Следовательно, вероятность получить невыигрышный : 1-0,2=0,8. Тогда вероятность получить два невыигрышный: 0,8*0,8=0,64. Следовательно, вероятность получить хотя бы один выигрышный: 1-0,64=0,36
Задание 5
Решите уравнение $$ \sqrt{-x^{2}}=x-x^{2} $$ .Если корней несколько, то в ответе укажите больший корень.
$$ \sqrt{-x^2}=x-x^2\ $$
$$ -x^2=x^2-2x^3+x^4 $$
$$ 2x^2-2x^3+x^4=0 $$
$$ x^2\left(2-2x+x^2\right)=0 $$
$$ x=0 $$ или $$ 2-2x+x^2 = 0 $$ у него решений нет
Задание 6
| Найдите радиус окружности, описанной около треугольника АВС, если известно, что ∠С = 90°, ВС=6, 32cos B = 2/3. |
|
AB = BC / cos B = 6 * 3 / 2 = 9
Радиус описанной окружности вокруг прямоугольного треугольника равен половине гипотенузы. Получаем 9 / 2 = 4,5
Задание 7
| На графике производной функции у = f ' / (x) отмечены семь точек: х1,…, х7. Найдите все отмеченные точки, в которых функция f (x) возрастает. В ответе укажите количество этих точек. |
|
| Так как дан график производной, то мы будем искать точки над осью OX (функция возрастает, производная положительна) |
|
Задание 8
| Дана правильная шестиугольная призма ABCDEFA1B1C1D1E1F1, площадь основания которой равна 12, а боковое ребро равно 6. Найдите объем многогранника с вершинами в точках AB1C1D1E1F1. |
|
Рассмотрим новое основание. Оно представляет из себя пятиугольник. Площадь этого пятиугольника составляет 5/6 от площади шестиугольника, поэтому: площадь основания нового: 12 * 5/6=10
Объем пирамиды вычисляется как одна третья основания на высоту: объем = 1/3 * 6*10 = 20
Задание 9
Найдите значение выражения
$$\log^{3}_{\sqrt{3}}{{\frac{1}{3}}^3}$$
Рассмотрим сам логарифм:
$$ \log_{\sqrt{3}}{{\frac{1}{3}}^3}=\log_{3^{1/2}}{3^{-3}}=\frac{1}{\frac{1}{2}}*\left(-3\right)\log_33=-6 $$
Так как он был в третьей степени, то возведем -6 в нее и получим -216
Задание 10
Расстояние h(t) =gt2/2, пройденное свободно падающим телом, вычисляется по формуле: где g = 10 м/с2 (ускорение свободного падения), t – время в секундах. На каком расстоянии от земли (в метрах) будет находиться тело, падающее с высоты 100 м, через 4 с после начала падения?
Найдем расстояние, пройденное телом за 4 секунды : $$ \frac {10*4^{2}}{2} = 80 $$
Получается, что расстояние до земли будет : 100 - 80 = 20
Задание 11
Барсик съедает миску корма за 40 секунд, а Мурка такую же миску корма съедает за 1 минуту. Утром к миске с кормом подошел Барсик и начал есть, а через 10 секунд к этой же миске прибежала Мурка и стала помогать Барсику. Спустя 10 секунд после этого Мурка прогнала Барсика и продолжила доедать корм одна. Определите, за какое время была съедена миска корма? Ответ дайте в секундах.
Пусть скорость поедания Барсиком V1 , а Муркой V2. Учтем, что 40 секунд = 2/3 минуты, а всю миску примем за 1. Тогда V1=1/(2/3)=1,5 миски/минута, а V2=1/1=1 миски/минуты. Барсик ел 10 секунд, то есть 1/6 минуты один, потом столько же с Муркой, следовательно на пару они съели: $$ 1.5*\frac{1}{6}+\left(1.5+1\right)*\frac{1}{6}=\frac{2}{3} $$миски Оставшуюся часть Мурка ела одна и затратила на это $$ \frac{1-\frac{2}{3}}{1}=\frac{1}{3} $$ минуты , то есть 20 секунд Следовательно, общее время: 10 + 10 + 20 = 40 секунд
Задание 12
Найти наибольшее значение функции f(x) = cos πx - 6x на отрезке [-2/3 ; 1]
Производная данной функции равна:
$$ f^{'}\left(x\right)=-\pi{}*\sin{\pi{}x}-6 $$
С учетом того, что sin x принадлежит промежутку [-1;1], данная производная имеет максимальное значение -π*(-1)-6=π-6. Данное значение отрицательное, значит функция убывает на всей области определения. Значит ее максимальное значение в начале промежутка.
$$ f\left(-2/3\right)=\cos{\pi{}(-\frac{2}{3})}-6*\left(-\frac{2}{3}\right)=-0.5+4=3.5 $$
Задание 13
Дано уравнение $$\sqrt{1-\sin ^{2}x}=\sin x$$.
a) Решите уравнение.
б) Найдите корни этого уравнения, принадлежащие отрезку $$\left [\frac{5\pi}{2};4\pi \right ]$$
$$ \sqrt{1-\sin ^{2}x}=\sin x \Leftrightarrow \left\{\begin{matrix}\sqrt{1-\sin ^{2}x}\geq 0\\ \sin x\geq 0\\\ 1-\sin ^{2}x=\sin ^{2} x\end{matrix}\right.$$
$$\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} 1-\sin ^{2}x\geq 0\\ \sin x\geq 0\\\ 1-\sin ^{2}x=\sin ^{2} x\end{matrix}\right.$$
$$\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix}\sin ^2 x\leq 1\\ \sin x\geq 0\\\ 1=2\sin ^{2} x\end{matrix}\right.$$
$$\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix}\sin ^{2}x\leq 1\\ \sin x\geq 0\\\ \sin x = \pm \frac{\sqrt{2}}{2}\end{matrix}\right.$$
$$\Leftrightarrow \sin x = \frac{\sqrt{2}}{2}$$
$$\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix}\ x=\frac{\pi}{4}+2\pi n , n\in Z\\ x=\frac{3\pi}{4}+2\pi n n\in Z\end{matrix}\right.$$