Перейти к основному содержанию

ЕГЭ математика 2018. Разбор варианта Алекса Ларина № 201

Подробное решение 1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15 заданий тренировочного варианта ЕГЭ Ларина № 201 (alexlarin.com)

Подробное решение 16,17,18,19 заданий тренировочного варианта ЕГЭ Ларина № 201 (alexlarin.com)

Аналоги к этому заданию:

Задание 1

Шоколадка стоит 40 рублей. В воскресенье в супермаркете действует специальное предложение: заплатив за две шоколадки, покупатель получает три (одну – в подарок). Какое наибольшее количество шоколадок можно получить, потратив не более 320 рублей в воскресенье?

Ответ: 12
Скрыть

Мы можем купить: $$320\div 40=8$$
За это по акции: $$8\div 2=4$$
Всего тогда 12 шоколадок

Аналоги к этому заданию:

Задание 2

На графике показано изменение количества просмотров баттла Oxxxymiron vs Слава КПСС (Гнойный) на канале youTube c 00.30 14 августа по 23.30 27 августа 2017
года. По горизонтали указываются дни месяца, по вертикали – количество миллионов просмотров на данный день. По графику определите, сколько было просмотров этого баттла в течение второй недели после его появления в сети internet
Ответ: 8
Скрыть
21 августа - 12 млн.
27 августа - 20 млн.
Прирост: 20 - 12 = 8 млн.
Аналоги к этому заданию:

Задание 3

Найдите площадь треугольника, изображенного
на клетчатой бумаге с размером клетки 1 см ×1 см.
Ответ дайте в квадратных сантиметрах.
Ответ: 18
Скрыть
Площадь треугольника: $$S=\frac{1}{2}ah$$
$$S=\frac{1}{2}\cdot9\cdot4=18$$
Аналоги к этому заданию:

Задание 4

В соревнованиях по толканию ядра участвуют 6 спортсменов из Великобритании, 3 спортсмена из Франции, 6 спортсменов из Германии и 10 – из Италии. Порядок, в котором выступают спортсмены, определяется жребием. Найдите вероятность того, что спортсмен, выступающий последним, окажется из Франции.
 

Ответ: 0,12
Скрыть

Всего спортсменов: $$N=25$$, из Франции - $$n=3$$
Вероятность: $$P=\frac{n}{N}=\frac{3}{25}=0,12$$

Аналоги к этому заданию:

Задание 5

Найдите корень уравнения: $$5^{5x+12}=\frac{1}{125}$$

Ответ: -3
Скрыть

$$5^{5x+12}=\frac{1}{125}\Leftrightarrow $$
$$5^{5x+12}=5^{-3}\Leftrightarrow $$
$$5x+12=-3\Leftrightarrow $$
$$5x=-15\Leftrightarrow $$
$$x=-3$$

Аналоги к этому заданию:

Задание 6

В треугольнике ABC угол ACB равен 90°, угол B равен 18°, CD – медиана. Найдите угол ACD.
Ответ дайте в градусах.
Ответ: $$72^{\circ}$$
Скрыть

$$CD=AD=DB$$ (свойство медианы в прямоугольном треугольнике)

$$\angle DBC=\angle DCB=18^{\circ}$$

$$\angle ACD=90^{\circ}-\angle DCB=90^{\circ}-18^{\circ}=72^{\circ}$$

Аналоги к этому заданию:

Задание 7

На рисунке изображен график $$y={f}'(x)$$ – производной функции f (x), определенной на интервале (‐6; 5). Найдите точку экстремума функции f (x), принадлежащую отрезку [-5; 4]
 
Ответ: -2
Скрыть
Точка экстремума там, где производная равна 0. Т. к. нам дан график производной, то она равна 0 там, где пересекает ось Ох, т. е. в точке -2.
Аналоги к этому заданию:

Задание 8

Прямоугольный параллелепипед описан около цилиндра, радиус основания которого равен 4. Объем параллелепипеда равен 16. Найдите высоту цилиндра.
Ответ: 0,25
Скрыть

$$2r=a$$ - сторона основания $$\Rightarrow a=2\cdot 4=8$$

Площадь основания: $$S=a^{2}=8^{2}=64$$

Объем параллелепипеда: V=Sосн · h

$$16=64\cdot h\Leftrightarrow h=\frac{16}{64}=0,25$$

Аналоги к этому заданию:

Задание 9

Найдите значение выражения: $$\frac{38\cos 153^{\circ}}{\cos 27^{\circ}}$$

Ответ: -38
Скрыть

$$\frac{38\cos 153^{\circ}}{\cos 27^{\circ}}=\frac{38\cos(180^{\circ}-27^{\circ})}{\cos 27^{\circ}}=\frac{38 (-\cos 27^{\circ})}{\cos 27^{\circ}}=-38$$

Аналоги к этому заданию:

Задание 10

В боковой стенке высокого цилиндрического бака у самого дна закреплeн кран. После его открытия вода начинает вытекать из бака, при этом высота столба воды в нeм, выраженная в метрах, меняется по закону $$h(t)=at^{2}+bt+H_{0}$$, где $$H_{0}=9$$ м – начальный уровень воды, $$a=\frac{1}{196}$$ м/мин2 и $$b=-\frac{3}{7}$$ м/мин – постоянные, t – время в минутах, прошедшее с момента открытия крана. В течение какого времени вода будет вытекать из бака? Ответ приведите в минутах.

Ответ: 42
Скрыть

Раз вода вытекла, то: $$h(t)=0$$
$$\frac{1}{196}t^{2}-\frac{3}{7}t+9=0$$
$$t^{2}-84t+1764=0$$
$$(t-42)^{2}=0\Rightarrow t=42$$

Аналоги к этому заданию:

Задание 11

Катер в 11:00 вышел из пункта А в пункт В, расположенный в 30 км от А. Пробыв в пункте В 2 часа 40 минут, катер отправился назад и вернулся в пункт А в 19:00 того же дня. Определите (в км/ч) собственную скорость катера, если известно, что скорость течения реки 3 км/ч.

Ответ: 12
Скрыть

Пусть х - скорость катера в стоячей воде, путь был с 1100 до 1900 (8 часов) и стоял 2 часа 40 минут ($$2\frac{2}{3}$$), тогда: время по течению - $$\frac{30}{x+3}$$;

время против течения - $$\frac{30}{x-3}$$;

время в движении - $$8-2\frac{2}{3}=5\frac{1}{3}=\frac{16}{3}$$

$$\frac{30}{x+3}+\frac{30}{x-3}=\frac{16}{3}\Leftrightarrow \frac{30x-96+30x+90}{x^{2}-9}=\frac{16}{3}$$

$$60x\cdot 3=16x^{2}-144\Leftrightarrow 16x^{2}-180x-144=0$$

$$4x^{2}-45x-36=0$$

D=$$2025+576=2601=51^{2}$$

$$x_{1}=\frac{45+51}{8}=12$$

$$x_{2}=\frac{45-51}{8}$$ - отрицательной скорость быть не может

Аналоги к этому заданию:

Задание 12

Найдите точку максимума функции: $$y=-\frac{x^{2}+324}{x}$$

Ответ: 18
Скрыть

$$y=-\frac{x^{2}+324}{x}$$

$${y}'=-\frac{{(x^{2}+324)}'\cdot x-{x}'(x^{2}+324)}{x^{2}}=-\frac{2x\cdot x-x^{2}-324}{x^{2}}=-\frac{x^{2}-324}{x^{2}}=\frac{324-x^{2}}{x^{2}}=0$$

$$x=\pm 18$$

$$x\neq 0$$

Точка минимума: -18

Точка максимума: 18


Аналоги к этому заданию:

Задание 13

Дано уравнение: $$4^{\sin x\cdot \cos x}=2^{\cos 2x}$$
А) Решите уравнение.
Б) Укажите корни этого уравнения, принадлежащие отрезку: $$\left [ \frac{13\pi }{6}; \frac{7\pi }{2} \right ]$$.

Ответ: А) $$\frac{\pi }{8}+\frac{\pi n}{2} , n\in z$$; Б) $$\left \{ \frac{21\pi }{8}; \frac{25\pi }{8} \right \}$$
Скрыть

А) $$4^{\sin x\cdot \cos x}=2^{\cos 2x}$$ $$(2^{2})^{\sin x\cdot \cos x}=2^{\cos 2x}$$ $$2^{2\sin x\cdot \cos x}=2^{\cos 2x}$$ $$2\sin x\cdot \cos x=\cos 2x\Leftrightarrow \sin 2x=\cos 2x$$ $$\begin{vmatrix}\cos 2x\neq 0\Leftrightarrow 2x\neq \frac{\pi }{2}+\pi k (k\in z)\Leftrightarrow x\neq \frac{\pi }{4}+\frac{\pi k}{2}(k\in z)\end{vmatrix}$$ $$\sin 2x=\cos 2x |\div \cos 2x$$ $$\tan 2x=1\Leftrightarrow 2x=\frac{\pi }{4}+\pi n, n\in z\Leftrightarrow$$ $$\Leftrightarrow x=\frac{\pi }{8}+\frac{\pi n}{2}, n\in z$$.

Б) Отметим полученные корни на единичной окружности и отрезок, на котором нужно найти. В него входят два корня

($$\frac{5\pi }{8}+2\pi n; \frac{9\pi }{8}+2\pi n, n\in z$$):

$$\frac{5\pi }{2}+\frac{\pi }{8}=\frac{21\pi }{8}$$

$$3\pi +\frac{\pi }{8}=\frac{25\pi }{8}$$

 

 

Аналоги к этому заданию:

Задание 14

В кубе ABCDA1B1C1D1 точка М лежит на ребре ВВ1 так, что ВМ:В1М=1:3.
Через точки М и С1 параллельно BD1 проведена плоскость β.
А) Докажите, что плоскость β проходит через середину ребра АА1.
Б) Найдите площадь сечения куба плоскостью β, если известно, что АВ=12.

Ответ:
Скрыть

Дано: ABCDA1B1C1D1 - куб. $$M\in BB_{1}$$, BM:MB1=1:3. $$MC_{1}\in\beta $$; $$\beta \parallel BD_{1}$$.

Доказать: $$\beta\cap AA_{1}=L$$, AL=LA1

Найти: Sсечения, если АВ=12.

 

Доказательство: 1) М и С1 лежат в (ВВ1С1) $$\Rightarrow$$ соединим.

2) Достроим (ВВ1D1); $$\beta \parallel BD_{1}$$ $$\Rightarrow$$ МО (линия пересечения $$\beta$$ и ВВ1D1 параллельны

3) С1О строим ( С1 и О в (A1B1C1) лежат) до пересечения с B1A1; $$C_{1}O\cap B_{1}A_{1}=K$$

4) K и M в ( A1B1В) $$\Rightarrow$$ соединим; $$KM\cap A_{1}A=L$$.

5) Рассмотрим $$\bigtriangleup BB_{1}D_{1}$$ и $$\bigtriangleup MB_{1}O$$ - они подобны и $$\frac{MB_{1}}{BB_{1}}=\frac{3}{4}$$ $$\Rightarrow \frac{B_{1}O}{B_{1}D_{1}}=\frac{3}{4}$$ и $$\frac{B_{1}O}{OD_{1}}=\frac{3}{1}$$  
6) Рассмотрим A1B1C1D: $$\bigtriangleup KOB_{1}$$ подобен $$\bigtriangleup C_{1}OD_{1}$$ ( из $$KB_{1}\parallel C_{1}D_{1}$$ и накрестлежащие равны $$\Rightarrow$$ первый признак подобия) $$\Rightarrow$$ $$\frac{B_{1}O}{OD_{1}}=\frac{KB_{1}}{C_{1}D_{1}}=\frac{3}{1}$$ $$\Rightarrow$$ $$\frac{KB_{1}}{A_{1}B_{1}}=\frac{3}{1}$$  

7) Рассмотрми АВВ1А1: $$\frac{KB_{1}}{A_{1}B_{1}}=\frac{3}{1}$$ $$\Rightarrow$$ пусть $$A_{1}B_{1}=4x$$ $$\Rightarrow$$ $$B_{1}K=12x$$ $$\Rightarrow$$ $$A_{1}K=8x$$.  $$\bigtriangleup KB_{1}M$$ и $$\bigtriangleup KA_{1}L$$ подобные (прямоугольные и общий острый угол)  $$\Rightarrow$$ $$\frac{B_{1}M}{A_{1}L}=\frac{B_{1}K}{A_{1}K}$$ $$\Leftrightarrow \frac{3x}{A_{1}L}=\frac{12x}{8x}$$ $$\Rightarrow A_{1}L=\frac{3x\cdot 8x}{12x}=2x$$ $$\Rightarrow \frac{A_{1}L}{A_{1}A}=\frac{2x}{4x}=\frac{1}{2}$$

ч.т.д.

 

Решение:

1) введем ортогональную ссистему координат X0YZ. $$\vec{n}$$ - нормаль вектор (А1В1С1) - ось 0Z $$\Rightarrow$$ $$\vec{n}\left \{ 0; 0; 1 \right \}$$.