Перейти к основному содержанию

ОГЭ

(C6) Геометрическая задача повышенной сложности

Комбинация многоугольников и окружностей

Задание 3362

Окружность с центром на стороне AC равнобедренного треугольника ABC (AB=BC) касается сторон AB и BC, а сторону AC делит на три равные части. Найти радиус окружности, если площадь треугольника ABC равна $$9\sqrt{2}$$

Ответ: 2
Скрыть

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

Задание 4061

В прямоугольном треугольнике АВС с гипотенузой АВ, равной 10, на высоте СD как на диаметре построена окружность. Касательные к этой окружности, проходящие через точки А и В, пересекаются при продолжении в точке К. чему равны касательные к окружности, выходящие из точки К?

Ответ: $$\frac{10}{3}$$
Скрыть

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

Скрыть

1) Пусть $$HB=x\Rightarrow AH=10-x$$

по свойству касательных $$MB=HB=x$$

$$AH=AN=10-x$$; пусть $$OH=OC=r$$;

$$KN=KM=z$$

2) По свойству высоты прямоугольного треугольинка:

$$CH=\sqrt{AH\cdot HB}\Leftrightarrow(2r)^{2}=x(10-x)$$

$$\Leftrightarrow r^{2}=\frac{x(10-x)}{4}$$

3) $$S_{AKB}=p\cdot r$$, где

$$p=\frac{AK+KB+AB}{2}$$ 

$$S=\sqrt{p(p-AK)(P-KB)(p-AB)}$$

$$p=\frac{10+10-x+x+2z}{2}=10+z$$

$$S=\sqrt{(10+z)(10+z-10+x-x)(10+z-x-z)(10+z-10}=$$

$$=\sqrt{(10+z)\cdot x\cdot(10-x)\cdot z}$$

Тогда:

$$r=\frac{S}{p}=\frac{xz(10+z)(10-x)}{10+z}=\sqrt{\frac{xz(10-x)}{10+z}}$$

4) 2 из 3:

$$\sqrt{\frac{x(10-x)}{4}}=\sqrt{\frac{xz(10-x)}{10+z}}$$

$$\frac{1}{4}=\frac{z}{10+z}$$

$$10+z=4z\Leftrightarrow z=\frac{10}{3}$$

Задание 4993

В треугольнике АВС угол В равен 30°. Через точки А и В проведена окружность радиуса 2, касающаяся прямой АС в точке А. Через точки В и С проведена окружность радиуса 3, касающаяся прямой АС в точке С. Найдите длину стороны АС. 

Ответ: $$\sqrt{6}$$
Скрыть

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

Скрыть

1) $$O_{1}$$ - ценрт оружности $$R_{1}=2$$; $$O_{2}$$ - ценрт оружности $$R_{2}=3$$; $$\angle ABC=\alpha$$; $$\angle BAC=\beta$$;

2) $$\angle BO_{2}C=2\angle BCA=2\alpha$$; $$\angle AO_{1}B=2\angle BAC=2\beta$$;

3) $$AB=2R_{1}\sin\beta=4\sin\beta$$; $$BC=2R_{2}\sin\alpha=6\sin\alpha$$; (по теореме синусов) $$\frac{AB}{\sin\alpha}=\frac{BC}{\sin\beta}$$ (из $$\bigtriangleup ABC$$) $$\Rightarrow$$ $$\frac{4\sin\beta}{\sin\alpha}=\frac{6\sin\alpha}{\sin\beta}$$ $$\Leftrightarrow$$ $$4\sin^{2}\beta=6\sin^{2}\alpha$$ $$\Leftrightarrow$$ $$\frac{\sin\beta}{\sin\alpha}=\sqrt{\frac{3}{2}}$$

4) $$\frac{AC}{\sin\angle ABC}=\frac{AB}{\sin\angle ACB}$$ $$\Rightarrow$$ $$AC=\frac{AB}{\sin\angle ACB}\cdot\sin\angle ABC=$$ $$\frac{4\sin\beta}{\sin\alpha}\cdot\sin30^{\circ}=4\cdot\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{2}}\cdot\frac{1}{2}=\sqrt{6}$$

Задание 5322

Диагонали вписанного в окружность четырехугольника ABCD пересекаются в точке Е, причем AD·СЕ = DС·АЕ, BD = 6, $$\angle ADB = 22,5^{\circ}$$. Найдите площадь четырехугольника ABCD

Ответ: $$9\sqrt{2}$$
Скрыть

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

Скрыть

1) AD*CE=CD*AE, тогда $$\frac{AD}{CD}=\frac{AE}{CE} \Leftrightarrow$$ DB - биссектриса в треугольнике ADC. Тогда $$\angle BDA = \angle CDB$$ , но $$\angle BDA = \angle BCA$$ и $$\angle CDB = \angle BAC$$ (как вписанные), следовательно $$\angle BCA = angle BAC$$ , тогда треугольник ABC - равнобедренный

2)Построим продолжение DС за точка C и отложим из B отрезок BF = DB так, что $$F \in DC$$. Тогда треугольник DBF - равнобедренный. Так как AB = BC, DB = BF и из равнобедренности DBF $$\angle BDF = \angle BFD$$, но и $$\angle BDA = \angle CDB$$, тогда $$\angle BDA=\angle BFD$$. $$\angle BAD + \angle DCB = 180$$ по свойству вписанного четырехугольника, но и $$\angle BCF + \angle DCB = 180$$ по свойству смежных углов, тогда $$\angle BAD = \angle BCF$$ и, следовательно, треугольники ABD и BCF равны, следовательно, $$S_{ADF}=S_{ABCD}$$

3)$$\angle DBF = 180 - 2*22.5 = 135$$ (из треугольника DBF), $$S_{DBF}=\frac{1}{2}DB*DF*\sin DBF$$, то есть $$S_{DBF}=0,5*6*6*\frac{\sqrt{2}}{2}=9\sqrt{2}$$

Задание 5621

Основание AC равнобедренного треугольника ABC равно 12. Окружность радиуса 8 с центром вне этого треугольника касается продолжений боковых сторон треугольника и касается основания AC в его середине . Найдите радиус окружности, вписанной в треугольник ABC.

Ответ:

Задание 5622

В параллелограмме ABCD проведена диагональ AC. Точка O является центром окружности, вписанной в треугольник ABC. Расстояния от точки O до точки A и прямых AD и AC соответ‐ ственно равны 5, 4 и 3. Найдите площадь параллелограмма ABCD.

Ответ:

Задание 5623

Высоты остроугольного треугольника ABC, проведённые из точек B и C, продолжили до пе‐ ресечения с описанной окружностью в точках B1 и C1 . Оказалось, что отрезок B1C1 проходит через центр описанной окружности. Найдите угол BAC.

Ответ:

Задание 5624

В выпуклом четырёхугольнике NPQM диагональ NQ является биссектрисой угла PNM и пересекается с диагональю PM в точке S. Найдите NS, если известно, что около четырёхугольника NPQM можно описать окружность, PQ = 14, SQ = 4 .

Ответ:

Задание 5625

Из вершины прямого угла C треугольника ABC проведена высота CP. Радиус окружности, вписанной в треугольник BCP, равен 96, тангенс угла BAC равен $$\frac{8}{15}$$. Найдите радиус окружности, вписанной в треугольник ABC.

Ответ:

Задание 5626

На стороне AB треугольника ABC взята точка D так, что окружность, проходящая через точки A, C и D, касается прямой BC. Найдите AD, если AC = 40, BC = 34 и CD = 20.

Ответ:

Задание 5627

Диагонали четырёхугольника ABCD, вершины которого расположены на окружности, пересекаются в точке M. Известно, что ABC= 72°, BCD= 102°, AMD= 110°. Найдите $$\angle ACD$$.

Ответ:

Задание 5628

Длина катета AC прямоугольного треугольника ABC равна 8 см. Окружность с диаметром AC пересекает гипотенузу AB в точке M. Найдите площадь треугольника ABC, если известно, что AM:MB=16:9.

Ответ:

Задание 5629

На каждой из двух окружностей с радиусами 3 и 4 лежат по три вершины ромба. Найдите его сторону.

Ответ:

Задание 5630

Медиана BM треугольника ABC является диаметром окружности, пересекающей сторону BC в её середине. Длина стороны AC равна 4. Найдите радиус описанной окружности треугольника ABC.

Ответ:

Задание 5631

Четырёхугольник ABCD со сторонами AB = 25 и CD = 16 вписан в окружность. Диагонали AC и BD пересекаются в точке K, причём ∠AKB=60°. Найдите радиус окружности, описанной около этого четырёхугольника.

Ответ: