Перейти к основному содержанию

ОГЭ

(C5) Геометрическая задача на доказательство

Четырёхугольники и их элементы

 
Аналоги к этому заданию:

Задание 11583

В трапеции ABCD с основаниями AD и ВС диагонали пересекаются в точке О. Докажите, что площади треугольников АОВ и COD равны.

Ответ:
 
Аналоги к этому заданию:

Задание 11561

В трапеции ABCD с основаниями AD и ВС диагонали пересекаются в точке Р, Докажите, что площади треугольников АРВ и CPD равны.

Ответ:
 
Аналоги к этому заданию:

Задание 11540

Биссектрисы углов A и D параллелограмма пересекаются в точке E стороны BC. Докажите, что BE=EC.

Ответ: ч.т.д.
Скрыть

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

 
Аналоги к этому заданию:

Задание 11517

В параллелограмме KLMN точка E – середина стороны KN . Известно, что EL=EM. Докажите, что данный параллелограмм – прямоугольник.

Ответ: ч.т.д.
Скрыть

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

 
Аналоги к этому заданию:

Задание 11402

Известно, что около четырёхугольника ABCD можно описать окружность и что продолжения сторон АВ и CD четырёхугольника пересекаются в точке М. Докажите, что треугольники МВС и MDA подобны.

Ответ:
 
Аналоги к этому заданию:

Задание 11359

Известно, что около четырёхугольника ABCD можно описать окружность и что продолжения сторон AD и ВС четырёхугольника пересекаются в точке К. Докажите, что треугольники КАВ и KCD подобны.

Ответ:
 
Аналоги к этому заданию:

Задание 11323

Сторона AD параллелограмма ABCD вдвое больше стороны АВ. Точка G — середина стороны AD. Докажите, что BG — биссектриса угла АВС.

Ответ:
 
Аналоги к этому заданию:

Задание 11237

Точка Е — середина боковой стороны АВ трапеции ABCD. Докажите, что сумма площадей треугольников ВСЕ и ADE равна половине площади трапеции.

Ответ: ч.т.д.
Скрыть

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

 
Аналоги к этому заданию:

Задание 11172

Точка К – середина боковой стороны СD трапеции АВСD. Докажите, что площадь треугольника АВК равна сумме площадей треугольников ВСК и АКD.
Ответ: ч.т.д.
Скрыть

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

Скрыть
   Необходимо доказать, что SΔABK = SΔBCK + SΔAKD. Трапецию ABCD, поделили на 3 этих треугольника. Значит каждая из сторон равенства будет равна . Достаточно доказать, что: SΔABK = 0,5SABCD
   Продолжим прямую BK до пересечения с прямой AD в точке M. Рассмотрим ΔBCK и ΔKMD. Стороны СK = KD по условию, углы при вершине К равны как вертикальные. ∠BCK = ∠KDM как внутренне накрест лежащие, при двух параллельных прямых: ВС, AD и секущей СD. Значит ΔBCK = ΔKMD (по стороне и прилежащим углам).
   Если ΔBCK = ΔKMD, то SABCD = SΔABM. Так же из равенства треугольников следует BK = KM, значит AK медиана, тогда: SΔABK = SΔAKM
   Отсюда: $$S_{\Delta ABK}=\frac{1}{2}S_{\Delta ABM}=$$$$\frac{1}{2}S_{ABCD}=S_{\Delta BCK}+S_{\Delta AKS}$$
Аналоги к этому заданию:

Задание 10984

Основания ВС и AD трапеции ABCD равны соответственно 5 и 45, $$BD=15$$. Докажите, что треугольники CBD и BDA подобны.

Ответ:
Скрыть

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

Скрыть

1)$$\angle CBD=\angle BDA$$ (накрест лежащие при $$BC\parallel AD$$)

2) Рассмотрим $$\triangle BCD$$ и $$\triangle BDA$$ (в числителе сторона $$\triangle BCD$$, в знаменателе $$\triangle BDA$$): $$\frac{BC}{BD}=\frac{5}{15}=\frac{1}{3}; \frac{BD}{AD}=\frac{15}{45}=\frac{1}{3}\to \frac{BC}{BD}=\frac{BD}{AD}$$. С учетом 1 пункта: $$\triangle BCD\approx \triangle BDA$$

 
Аналоги к этому заданию:

Задание 10467

Точка Е — середина боковой стороны АВ трапеции ABCD. Докажите, что площадь треугольника ECD равна половине площади трапеции.

Ответ: ч.т.д.
Скрыть

Рассмотрим треугольники ECB и DEA. Пусть BC=b, AB=a, h - высота трапеции, проведенная через Е. Тогда точка Е делит высоту на два равных отрезка $$\frac{h}{2}$$. Следовательно:

$$S_{ABCD}=\frac{a+b}{2}h$$
$$S_{ECB}=\frac{1}{2}b\cdot \frac{h}{2}$$
$$S_{DEA}=\frac{1}{2}a\cdot \frac{h}{2}$$

Тогда $$S_{ECD}=\frac{a+b}{2}h-\frac{1}{2}h(\frac{a}{2}+\frac{b}{2})=$$$$\frac{a+b}{4}h=\frac{S_{ABCD}}{2}$$

 
Аналоги к этому заданию:

Задание 10426

Биссектрисы углов A и B трапеции ABCD пересекаются в точке K , лежащей на стороне CD. Докажите, что точка K равноудалена от прямых AB, BC и AD.

Ответ: ч.т.д.
 
Аналоги к этому заданию:

Задание 10363

Дан правильный шестиугольник. Докажите, что если его вершины последовательно соединить отрезками через одну, то получится равносторонний треугольник.

Ответ: ч.т.д.
 
Аналоги к этому заданию:

Задание 10330

Дан правильный восьмиугольник. Докажите, что если его вершины последовательно соединить отрезками через одну, то получится квадрат.

Ответ: ч.т.д.
 
Аналоги к этому заданию:

Задание 8829

Сторона AB параллелограмма ABCD вдвое больше стороны AD. Точка К — середина стороны AB. Докажите, что DK — биссектриса угла ADC.
Ответ: ч.т.д.
Скрыть

Проведём FK параллельно AD (см. рисунок). Тогда AD = AK = KB. Следовательно, параллелограмм AKFD является ромбом. Диагональ DK ромба AKFD делит угол ADC пополам.

Аналоги к этому заданию:

Задание 6648

Основания BC и AD трапеции ABCD равны соответственно 4 и 64, BD=16. Докажите, что треугольники CBD и BDA подобны.

Ответ:
Скрыть

     1) $$\angle CBD=\angle BDA$$(накрест лежащие)

     2) $$\frac{BD}{AD}=\frac{BC}{BD}$$. С учетом п.1 получим, что $$\Delta BCD\sim \Delta BDA$$

Аналоги к этому заданию:

Задание 5597

На средней линии трапеции ABCD с основаниями AD и BC выбрали произвольную точку E. Докажите, что сумма площадей треугольников BEC и AED равна половине площади трапеции.

Ответ:
Аналоги к этому заданию:

Задание 5596

Через точку O пересечения диагоналей параллелограмма ABCD проведена прямая, пересекающая стороны AB и CD в точках P и T соответственно. Докажите, что BP = DT.

Ответ:
Аналоги к этому заданию:

Задание 5595

В трапеции ABCD с основаниями AD и BC диагонали пересекаются в точке O. Докажите, что площади треугольников AOB и COD равны.

Ответ:
Аналоги к этому заданию:

Задание 5594

В выпуклом четырёхугольнике ABCD углы BCA и BDA авны. Докажите, что углы ABD и ACD также равны.

Ответ:
Аналоги к этому заданию:

Задание 5593

Основания BC и AD трапеции ABCD равны соответственно 5 и 20, BD = 10. Докажите, что треугольники CBD и ADB подобны.

Ответ:
Аналоги к этому заданию:

Задание 5592

Известно, что около четырёхугольника ABCD можно описать окружность и что продолжения сторон AB и CD четырёхугольника пересекаются в точке M. Докажите, что треугольники MBC и MDA подобны.

Ответ:
Аналоги к этому заданию:

Задание 5591

Внутри параллелограмма ABCD выбрали произвольную точку E. Докажите, что сумма площадей треугольников BEC и AED равна половине площади параллелограмма.

Ответ:
Аналоги к этому заданию:

Задание 5590

Точка E — середина боковой стороны AB трапеции ABCD. Докажите, что площадь треугольника ECD равна половине площади трапеции.

Ответ:
Аналоги к этому заданию:

Задание 5589

В параллелограмме ABCD диагонали AC и BD пересекаются в точке K. Докажите, что площадь параллелограмма ABCD в четыре раза больше площади треугольника AKD.

Ответ:
Аналоги к этому заданию:

Задание 5588

В параллелограмме ABCD проведены высоты BH и BE к сторонам AD и CD соответственно, при этом BH = BE. Докажите, что ABCD — ромб.

Ответ:
Аналоги к этому заданию:

Задание 5587

Три стороны параллелограмма равны. Докажите, что отрезок с концами в серединах противоположных сторон параллелограмма равен четверти его периметра.

Ответ:
Аналоги к этому заданию:

Задание 5586

Дана равнобедренная трапеция ABCD . Точка M лежит на основании AD и равноудалена от концов другого основания. Докажите, что M — середина основания AD.

Ответ:
Аналоги к этому заданию:

Задание 5585

Середины сторон параллелограмма являются вершинами ромба. Докажите, что данный параллелограмм — прямоугольник.

Ответ:
Аналоги к этому заданию:

Задание 5584

В параллелограмме проведены биссектрисы противоположных углов. Докажите, что отрезки биссектрис, заключенные внутри параллелограмма, равны.

Ответ:
Аналоги к этому заданию:

Задание 5583

Два квадрата имеют общую вершину. Докажите, что отмеченные на рисунке отрезки AB и CE равны.

Ответ:
Аналоги к этому заданию:

Задание 5582

В параллелограмме ABCD проведены высоты BE и BF. Докажите, что треугольник ABE подобен треугольнику CBF .

Ответ:
Аналоги к этому заданию:

Задание 5581

В параллелограмме ABCD точка E — середина стороны AB. Известно, что EC=ED. Докажите, что данный параллелограмм — прямоугольник.

Ответ:
Аналоги к этому заданию:

Задание 5580

Дан правильный шестиугольник. Докажите, что если последовательно соединить отрезками середины его сторон, то получится правильный шестиугольник.

Ответ:
Аналоги к этому заданию:

Задание 5579

Дан правильный восьмиугольник. Докажите, что если его вершины последовательно соединить отрезками через одну, то получится квадрат.

Ответ:
Аналоги к этому заданию:

Задание 5578

В параллелограмме АВСD точки E, F, K и М лежат на его сторонах, как показано на рисунке, причём АЕ = CK, BF = DM. Докажите, что EFKM — параллелограмм.

Ответ:
Аналоги к этому заданию:

Задание 5577

Докажите, что отрезок, соединяющий середины оснований трапеции, делит её на две равные по площади части.

Ответ:
Аналоги к этому заданию:

Задание 5576

Точка K — середина боковой стороны CD трапеции ABCD. Докажите, что площадь треугольника KAB равна половине площади трапеции.

Ответ:
Аналоги к этому заданию:

Задание 5575

Биссектрисы углов C и D трапеции ABCD пересекаются в точке P, лежащей на стороне AB. Докажите, что точка P равноудалена от прямых BC, CD и AD.

Ответ:
Аналоги к этому заданию:

Задание 5574

Сторона BC параллелограмма ABCD вдвое больше стороны CD. Точка L — середина сторо‐ ны BC. Докажите, что DL — биссектриса угла CDA.

Ответ:
Аналоги к этому заданию:

Задание 5573

В параллелограмме АВСD проведены перпендикуляры ВЕ и DF к диагонали АС (см. рисунок). Докажите, что ВFDЕ — параллелограмм

Ответ: