Перейти к основному содержанию

ОГЭ

(C5) Геометрическая задача на доказательство

Треугольники и их элементы

Задание 2671

На высоте AH треугольника ABC взята точка M. Докажите, что AB2–AC2=MB2–MC2.

Ответ:
Скрыть

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

Скрыть

$$AB^{2}-AC^{2}=MB^{2}-MC^{2}$$

1) из $$\bigtriangleup BMH$$ и $$\bigtriangleup CMH$$: $$MH^{2}=BM^{2}-BH^{2}=CM^{2}-CH^{2}$$ $$\Rightarrow$$ $$BM^{2}-CM^{2}=BH^{2}-CH^{2}$$

2)  из $$\bigtriangleup ABH$$ и $$\bigtriangleup AHC$$: $$AH^{2}=AB^{2}-BH^{2}=AC^{2}-CH^{2}$$ $$\Rightarrow$$ $$AB^{2}-AC^{2}=BH^{2}-CH^{2}$$

3) из 1 и 2 $$BM^{2}-CM^{2}=BH^{2}-CH^{2}=AB^{2}-AC^{2}$$ $$\Rightarrow$$ $$AB^{2}-AC^{2}=BM^{2}-CM^{2}$$

ч.т.д.

Задание 2775

В равнобедренном треугольнике АВС из концов основания АС проведены прямые, которые составляют с основанием равные углы и пересекаются в точке М. Докажите равенство треугольников АВМ и ВСМ.

Ответ:
Скрыть

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

Скрыть

1) $$\angle \alpha=\angle \beta$$ $$\Rightarrow$$ $$\bigtriangleup ACM$$ - равнобедренный $$\Rightarrow$$ $$AM=MC$$

2) $$\angle A=\angle C$$; $$AB=BC$$; $$AM=MC$$ $$\Rightarrow$$ $$\bigtriangleup ABM=\bigtriangleup BMC$$

 

ч.т.д.

Задание 2929

Докажите, что если в треугольнике две высоты равны, то он равнобедренный.

Ответ:
Скрыть

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

Скрыть

Решение временно отсутствует, можете найти его в моем видео-разборе ( вначале варианта )

Задание 3019

Докажите, что если медиана треугольника совпадает с его биссектрисой, то этот треугольник равнобедренный.

Ответ: ч.т.д.
Скрыть

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

Скрыть

AH - медиана и биссектриса $$\Rightarrow$$ $$\angle HAC=\angle HAB$$; BH=HC и АН - общая.

По теореме косинусов:

$$\left.\begin{matrix}\frac{AH}{\sin C}=\frac{HC}{\sin HAC}\\\frac{AH}{\sin B}=\frac{HB}{\sin BAH}\end{matrix}\right\}$$

$$\Rightarrow \sin C=\sin B\Rightarrow \angle C=\angle B$$

ч.т.д.

 

 

Задание 2972

Докажите, что если у треугольника равны две высоты, то этот треугольник равнобедренный.

Ответ:
Скрыть

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

Скрыть

$$CH=AM$$ $$\bigtriangleup BCH=\bigtriangleup AMB$$ ($$\angle B$$ - общий катеты равны) $$\Rightarrow$$ $$AB=BC$$ $$\Rightarrow$$ $$\bigtriangleup ABC$$ - равнобедренный.

ч. т. д.

 

Задание 3845

В треугольнике АВС с тупым углом АСВ проведены высоты АА1 и ВВ1. Докажите, что треугольники А1СВ1 и АСВ подобны.

Ответ:
Скрыть

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

Скрыть

$$\bigtriangleup A_{1}CB_{1}\sim \bigtriangleup ACB$$

$$\angle A_{1}CA=\angle B_{1}CB$$ вертикальные

т.к. $$\bigtriangleup A_{1}AC$$ И $$\bigtriangleup BB_{1}C$$ прямоугольные, то из равенства их острых угловони подобные 

$$\Rightarrow$$ $$\frac{A_{1}C}{CB_{1}}=\frac{AC}{CB}$$

$$\Rightarrow$$ $$\frac{A_{1}C}{AC}=\frac{CB_{1}}{CB}$$; $$\angle A_{1}CB_{1}=\angle ACB$$

$$\Rightarrow$$ $$\bigtriangleup ABC\sim \bigtriangleup A_{1}CB_{1}$$ по первому признаку

Задание 4330

В равностороннем треугольнике ABC точки Е, F, K — середины сторон АВ, ВС, СА соответственно. Докажите, что треугольник ЕFK — равносторонний.

Ответ:
Скрыть

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

Задание 4653

На медиане KF треугольника MKP отмечена точка E. Докажите, что если EM=EP, то KM=KP.

Ответ:
Скрыть

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

Скрыть

Построим чертеж:

1) ME=EP (по условию); MF=FP (KF - медиана) ; EF - общая. Тогда треугольники MEF и EFP равны по трем сторонам
2) Из равенства треугольников получаем, что смежные угла MFE и EFP равна между собой, а значит по 90 градусов.
3) Из равенства углов получаем, что EF и KF - высоты, но по условию они еще и медианы, значит треугольник KMP - равнобедренный, значит KM=KP

Задание 4803

Докажите, что сумма длин медиан треугольника меньше его периметра

Ответ:
Скрыть

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

Скрыть

На каждой стороне треугольника достроим параллелограмм, как показано на рисунке и введем обозначения: BC=a;AB=c;AC=b;CC1=mc;BB1=mb;AA1=ma

1) Рассмотрим параллелограм ACFB: AF - его диагональ (так как А1 - середина BC), тогда 2AA1=AF; по свойству длин сторон треугольника AF<AC+CF, но СF=AB, и тогда получаем 2ma<b+c или ma<0,5(b+c)(1)
2) Аналогично рассматривая два других параллелограма и треугольники CBE и BCD, получаем mс<0,5(a+b)(2) и mb<0,5(a+c)(3) соответственно.
3) Сложим неравенства 1,2 и 3 и получим : ma+mb+mc<0,5b+0,5c+0,5a+0,5b+0,5a+0,5c или ma+mb+mc<a+b+c
ч.т.д.

Задание 4871

На высоте AD треугольника ABC взята точка N. Докажите, что AB2 - AC2 = NB2 - NC2 .

Ответ:
Скрыть

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

Скрыть

1)По теореме Пифагора из $$\bigtriangleup ABD ; \bigtriangleup ADC$$:
$$\left\{\begin{matrix}AB^{2}=DB^{2}+DA^{2}\\AC^{2}=DC^{2}+DA^{2}\end{matrix}\right.$$
Вычтем из первого второе и получим: $$AB^{2}-AC^{2}=DB^{2}-DC^{2}$$
2)По теореме Пифагора из $$\bigtriangleup BND ; \bigtriangleup CND$$:
$$\left\{\begin{matrix}NB^{2}=DB^{2}+DN^{2}\\NC^{2}=DC^{2}+DN^{2}\end{matrix}\right.$$
Вычтем из первого второе и получим: $$NB^{2}-NC^{2}=DB^{2}-DC^{2}$$
3)Из равенств пунктов 1 и 2 получаем: $$AB^{2}-AC^{2}=NB^{2}-NC^{2}$$

Задание 5041

 В треугольнике АВС угол АСВ тупой, $$BO\perp AC$$, $$OF\perp AB$$, $$OD\perp BC$$. Докажите, что $$\angle ACB=\angle DFB$$. 

Ответ:
Скрыть

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

Скрыть

Пусть $$\angle A=\alpha$$; $$\angle B=\beta$$ $$\Rightarrow$$ $$\angle ACB=180-\angle\alpha-\angle\beta$$

1) $$\angle BCO=180-\angle C=\alpha+\beta$$ $$\Rightarrow$$ из $$\bigtriangleup OCB$$: $$\angle CBO=90^{\circ}-\angle BCO=90^{\circ}-\alpha-\beta$$

2) $$\bigtriangleup ODN\sim\bigtriangleup FNB$$ (прямоугольные); $$\angle DNO=\angle FNB$$ (как вертикал.); $$\Rightarrow$$ $$\frac{ON}{NB}=\frac{DN}{FN}$$ $$\Rightarrow$$ $$\frac{ON}{DN}=\frac{NB}{NF}$$ $$\Rightarrow$$ $$\angle DFN=\angle NBO=90^{\circ}-\alpha-\beta$$ $$\Rightarrow$$ $$\angle DFB=90^{\circ}+90^{\circ}-\alpha-\beta=180^{\circ}-\alpha-\beta=\angle ACB$$ 

ч.т.д.

Задание 5088

Докажите, что если в треугольнике два угла равны, то он равнобедренный.  

Ответ:
Скрыть

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

Скрыть

Пусть $$BH\perp AC$$ $$\Rightarrow$$ $$\bigtriangleup ABH\sim\bigtriangleup BHC$$ по 2 углам, но т.к. $$BH$$ - общая ,то $$\bigtriangleup ABH=\bigtriangleup BHC$$ $$\Rightarrow$$ $$AB=BC$$

ч.т.д.

Задание 5175

Докажите, что в прямоугольном треугольнике сумма катетов равна сумме диаметров вписанной и описанной окружностей.

Ответ:
Скрыть

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

Задание 5557

В остроугольном треугольнике ABC проведены высоты AA1и BB1. Докажите, что углы AA1B1 и ABB1 равны

Ответ: ч.т.д.
Скрыть

1) Пусть $$AA_{1}\cap BB_{1}=M$$, тогда $$\angle B_{1}MA=\angle A_{1}MB$$ (вертикальные)

2) $$\angle AB_{1}M=\angle MA_{1}B=90^{\circ}$$ $$\Rightarrow$$ $$\bigtriangleup AMB_{1}\sim\bigtriangleup A_{1}MB$$ $$\Rightarrow$$ $$\frac{B_{1}M}{A_{1}M}=\frac{AM}{MB}$$ ($$\ast$$)

3) $$\angle B_{1}MA_{1}=\angle AMB$$ (вертикальные), с учетом ($$\ast$$) $$\bigtriangleup B_{1}MA_{1}\sim\bigtriangleup AMB$$ $$\Rightarrow$$ $$\angle B_{1}A_{1}M=\angle MBA$$

Задание 5559

Докажите, что медиана треугольника делит его на два треугольника, площади которых равны между собой.

Ответ: ч.т.д.
Скрыть

1) Пусть дан $$\bigtriangleup ABC$$, $$CM$$ - медиана $$\Rightarrow$$ $$AM=MB$$ ($$\star$$)

2) Пусть $$CH\perp AB$$, тогда $$S_{AMC}=\frac{1}{2}AM\cdot CH$$; $$S_{CMB}=\frac{1}{2}MB\cdot CH$$ с учетом ($$\star$$): $$S_{AMC}=S_{CMB}$$