Перейти к основному содержанию

ОГЭ

(C5) Геометрическая задача на доказательство

Окружности и их элементы

 
Аналоги к этому заданию:

Задание 11691

Окружности с центрами в точках Р и Q пересекаются в точках К и L, причём точки Р и Q лежат по одну сторону от прямой KL. Докажите, что PQ$$\perp$$KL .

Ответ:
 
Аналоги к этому заданию:

Задание 11669

Окружности с центрами в точках Е и F пересекаются в точках С и D, причём точки Е и F лежат по одну сторону от прямой CD. Докажите, что CD$$\perp$$EF.

Ответ:
Аналоги к этому заданию:

Задание 10364

Диагонали четырёхугольника ABCD, вершины которого расположены на окружности, пересекаются в точке M. Известно, $$\angle ABC=72^{\circ}$$, $$\angle BCD=102^{\circ}$$ , $$\angle AMD=110^{\circ}$$. Найдите ACD .

Ответ: 52
 
Аналоги к этому заданию:

Задание 10245

В окружности с центром проведены две равные хорды O KL и MN . На эти хорды опущены перпендикуляры OH и OS . Докажите, что OH и равны.

Ответ:
 
Аналоги к этому заданию:

Задание 9979

Окружности с центрами в точках О и Q не имеют общих точек, и окружности не лежат одна внутри другой. Внутренняя общая касательная к этим окружностям делит отрезок, соединяющий их центры, в отношении а:b. Докажите, что радиусы этих окружностей относятся как а:b.

Ответ:
 
Аналоги к этому заданию:

Задание 9925

Окружности с центрами E и F пересекаются в точках C и D, причём точки E и F лежат по одну сторону от прямой CD. Докажите, что CD перпендикулярна EF .

Ответ:
Аналоги к этому заданию:

Задание 5556

Окружности с центрами в точках O1 и O2 не имеют общих точек. Внутренняя общая касатель‐ ная к этим окружностям делит отрезок, соединяющий их центры, в отношении m:n. Докажите, что диаметры этих окружностей относятся как m:n

Ответ: ч.т.д.
Скрыть

1) Пусть касательная $$a$$ касается окружностей с центрами $$O_{1}$$ и $$O_{2}$$ в $$A$$ и $$B$$ соответственно, тогда : $$O_{1}A\perp a$$ и $$O_{2}B\perp a$$ (радиусы в точку касания)

2) $$AB\cap O_{1}O_{2}=C$$; $$\angle ACO_{1}=\angle O_{2}CB$$ (вертикальные) $$\Rightarrow$$ $$\bigtriangleup ACO_{1}\sim\bigtriangleup O_{2}CB$$ (по двум углам) $$\Rightarrow$$ $$\frac{O_{1}C}{CO_{2}}=\frac{AC}{CB}=\frac{O_{1}A}{O_{2}B}=\frac{m}{n}$$ $$\Rightarrow$$ $$\frac{d_{1}}{d_{2}}=\frac{m}{n}$$, где $$d_{1}$$, $$d_{2}$$ - диаметры

Аналоги к этому заданию:

Задание 5555

В окружности через середину O хорды AC проведена хорда BD так, что дуги AB и CD равны. Докажите, что O — середина хорды BD.

Ответ: $$OB=OD$$
Скрыть

1) $$\angle BAC=\angle BDC$$ (вписанные и опираются на одну дугу)

2) $$AB=CD$$ (т.к. $$\smile AB=\smile CD$$); $$OA=OC$$ $$\Rightarrow$$ $$\bigtriangleup OAB=\bigtriangleup COD$$ (по двум сторонам и углу между ними) $$\Rightarrow$$ $$OB=OD$$

Аналоги к этому заданию:

Задание 5554

В окружности с центром O проведены две равные хорды KL и MN. На эти хорды опущены перпендикуляры OH и OS. Докажите, что OH и OS равны.

Ответ:
Аналоги к этому заданию:

Задание 5553

Окружности с центрами в точках I и J пересекаются в точках A и B, причём точки I и J лежат по одну сторону от прямой AB. Докажите, что отрезки AB и IJ перпендикулярны

Ответ: $$IJ\perp AB$$
Скрыть

1) Пусть $$AB\cap IJ=H$$  

2) $$IA=IB$$ - радиусы; $$JA=JB$$ - радиусы; $$IJ$$ - общая $$\Rightarrow$$ $$\bigtriangleup IAJ=\bigtriangleup IJB$$ $$\Rightarrow$$ $$\angle AIJ=\angle BIJ$$ $$\Rightarrow$$ $$IJ$$ - биссектриса

3) $$IA=IB$$ $$\Rightarrow$$ $$\bigtriangleup IAB$$ - равнобедренный $$\Rightarrow$$ $$IJ$$ - высота $$\Rightarrow$$ $$IJ\perp AB$$

Аналоги к этому заданию:

Задание 5552

В окружности с центром О проведены две хорды АВ и CD так, что центральные углы АОВ и СОD равны. На эти хорды опущены перпендикуляры ОК и OL. Докажите, что ОК и OL равны.

Ответ: $$OL=OK$$
Скрыть

1) $$OA=OB=OD=OC$$ - радиусы $$\angle AOB=\angle COD$$ $$\Rightarrow$$ $$\bigtriangleup OAB=\bigtriangleup COD$$

2) из п.1: $$\angle OAK=\angle ODL$$, $$OD=OA$$; $$\angle OLD=\angle OKA=90^{\circ}$$ $$\Rightarrow$$ $$\bigtriangleup OLD=\bigtriangleup OAK$$ (по гипотенузе и острому углу) $$\Rightarrow$$ $$OL=OK$$