Перейти к основному содержанию

ОГЭ

(C3) Функции и их свойства. Графики функций

Параболы

Задание 2773

Постройте график функции $$y=x^{2}-4\left | x \right |-x$$ и определите, при каких значениях а прямая $$y=а$$ имеет с графиком ровно три общие точки.

Ответ: $$\left \{ -2,25; 0 \right \}$$
Скрыть

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

Скрыть
$$\left\{\begin{matrix}x\geq0\Rightarrow y=x^{2}-4x-x=x^{2}-5x\\x\leq0\Rightarrow y=x^{2}+4x-x=x^{2}+3x\end{matrix}\right.$$  

1) $$y=x^{2}-5x$$ $$x_{0}=-\frac{-5}{2}=2,5$$ $$y_{0}=2,5^{2}-5\cdot2,5=-6,25$$

2) $$y=x^{2}+3x$$ $$x_{0}=-\frac{3}{2}=-1,5$$ $$y_{0}=(-1,5)^{2}+3\cdot(-1,5)=-2,25$$

Задание 2976

Постройте график функции $$y=|x^{2}-2x-3|$$ и определите, при каких значениях а прямая $$y=a$$ имеет с графиком три общие точки.

Ответ: 4
Скрыть

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

Скрыть

Текстовое решение временно отсутствует. Вы можете найти разбор в видео перед вариантом

Задание 3017

При каких значениях m вершины парабол $$y=-x^{2}+2mx+4$$ и $$y=x^{2}+4mx+2m$$ расположены по одну сторону от оси х?

Ответ: $$(0;0,5)$$
Скрыть

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

Задание 3101

Постройте график функции $$y=5-\frac{x^{4}-x^{3}}{x^{2}-x}$$ и определите, при каких значениях m прямая y = m имеет с графиком ровно две общие точки.

Ответ: $$m\in(-\infty;4)\cup(4;5)$$
Скрыть

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

Скрыть

$$y=5-\frac{x^{4}-x^{3}}{x^{2}-x}$$ $$x^{2}-x\neq0$$ $$\Leftrightarrow$$ $$x\neq1$$; $$x\neq0$$ $$y=5-\frac{x^{2}(x^{2}-x)}{x^{2}-x}=5-x^{2}$$

Задание 3994

Постройте график функции $$y=5-\frac{x^{4}-x^{3}}{x^{2}-x}$$ и определите, при каких значениях m прямая y = m имеет с графиком ровно две общие точки.

Ответ: $$(-\infty;4)\cup(4;5)$$
Скрыть

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

Скрыть

$$y=5-\frac{x^{4}-x^{3}}{x^{2}-x}$$

ОДЗ: $$x^{2}-x\neq0$$

$$\left\{\begin{matrix}x\neq0\\x\neq1\end{matrix}\right.$$

$$5-\frac{x^{4}-x^{3}}{x^{2}-x}=$$

$$=5-\frac{x^{2}(x^{2}-x)}{x^{2}-x}=5-x^{2}$$

$$y_{1}=5-x^{2}$$

То есть график первоначальной функции совпадает с графиком функции y1 при учете ОДЗ. Построим график y1 функции

Если прямая y=m проходит через оординаты 4 и 5, то получаем по одному пересечению, следовательно, их надо исключить, и тогда m будет принадлежать промежутку:

$$m\in(-\infty;4)\cup(4;5)$$

Задание 4058

Постройте график функции $$y=x^{2}-4|x|-x$$ и определите, при каких значениях m прямая y=m имеет с графиком не менее одной, но не более трёх общих точек.

Ответ: $$m\in[-6,25;-2,25]\cup[0;+\infty)$$
Скрыть

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

Скрыть

Если $$x\geq0\Rightarrow y=x^{2}-4x-x=x^{2}-5x$$

Если $$x<0\Rightarrow y=x^{2}+4x-x=x^{2}+3x$$

1) $$y=x^{2}-5x$$

$$x_{0}=-\frac{-5}{2}=2,5$$

$$y_{0}=2,5^{2}-5\cdot2,5=-6,25$$

2) $$y=x^{2}+3x$$

$$x_{0}=-\frac{3}{2}=-1,5$$

$$y_{0}=(-1,5)^{2}+3(-1,5)=-2,25$$

$$m=-6,25$$ - 1точка

$$m\in(-6,25;-2,25)$$ - 2 точки

$$m=-2,25$$ - 3 точки

$$m=0$$ -3 точки

$$m\in(0;+\infty)$$ - 2 точки $$\Rightarrow$$

$$m\in[-6,25;-2,25]\cup[0;+\infty)$$

Задание 4651

Постройте график функции $$y=x^{2}-4|x|-x$$ и определите, при каких значениях m прямая y=m имеет с графиком не менее одной, но не более трёх общих точек.

Ответ: $$[-6,25;-2,25];[0;+\infty)$$
Скрыть

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

Задание 4801

Постройте график функции $$y=|x^{2}-2|x|-3|$$ и определите, какое наибольшее число общих точек график данной функции может иметь с прямой, параллельной оси абсцисс.

Ответ: 6
Скрыть

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

Скрыть

Сначала необходимо раскрыть первый модуль:

1)Если подмодульное выражение больше или равно нулю: $$\left\{\begin{matrix}x\geq 0\\ y=|x^{2}-2x-3|\end{matrix}\right.$$

Рассмотрим, когда подмодульное второе равно нулю: $$x_{1}=3 ; x_{2}=-1$$. Получаем, что на промежутках $$(-\infty ;-1)\cup (3;+\infty)$$ оно положительное, а при $$x\in (-1;3)$$ отрицательное. То есть мы получаем при $$x\geq 0$$: $$\begin{cases}y=x^{2}-2x-3 & \text{ if } x\in (-\infty ;-1)\cup (3;+\infty) \\ y=-x^{2}+2x+3 & \text{ if } x\in (-1;3)\end{cases}$$

В точках -1 и 3 значения будут одинаковы, потому нет разницы к какой части их присоединить

2)Если подмодульное выражение меньше нуля: $$\left\{\begin{matrix}x< 0\\ y=|x^{2}+2x-3|\end{matrix}\right.$$

Рассмотрим, когда подмодульное второе равно нулю: $$x_{1}=-3 ; x_{2}=1$$. Получаем, что на промежутках $$(-\infty ;-3)\cup (1;+\infty)$$ оно положительное, а при $$x\in (-3;1)$$ отрицательное. То есть мы получаем при $$x< 0$$: $$\begin{cases}y=x^{2}+2x-3 & \text{ if } x\in (-\infty ;-3)\cup (1;+\infty) \\ y=-x^{2}-2x+3 & \text{ if } x\in (-3;1)\end{cases}$$

В точках -3 и 1 значения будут одинаковы, потому нет разницы к какой части их присоединить

Далее необходимо построить графики четырех представленных парабол и оставить только те их части, которые даются по промежуткам:

Как видим по графику наибольшее количество общих точек составит 6 штук ($$y\in (3;4)$$)

Задание 4896

Постройте график функции $$y=2x|x|+x^{2}-6x$$ и определите, при каких значениях m прямая $$y=m$$ имеет с графиком более двух общих точек. 

Ответ: $$m \in (-3;9)$$
Скрыть

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

Скрыть
Рассмотрим два раскрытия модуля:
$$1) \left\{\begin{matrix}x\geq 0\\ y=3x^{2}-6x\end{matrix}\right.$$
$$2) \left\{\begin{matrix}x< 0\\ y=-x^{2}-6x\end{matrix}\right.$$
В случае 1 дана парабола, ветви которой направлены вверх. Вершина параболы: $$x_{0}=-\frac{b}{2a}=1$$, тогда $$y_{0}=3*1^{2}-6*1=-3$$
В случае 2 дана парабола, ветви которой направлены вниз. Вершина параболы: $$x_{0}=-\frac{b}{2a}=-3$$, тогда $$y_{0}=-*(-3)^{2}-6*(-3)=9$$
При построении следует учитывать ограничения парабол: в первом случае берется часть параболы соответствующая абсциссам больше или равно 0, во втором, строго меньше:
Прямая $$y=m$$ - это прямая, параллельная оси Ох, продящая через ординату m. Более двух пересечений с графиком нашей функции она будет иметь при условии $$m \in (-3;9)$$

Задание 4990

Постройте график функции $$\frac{(x^{2}+x)\cdot|x|}{x+1}$$ и определите, при каких значениях а прямая $$y=a$$  не имеет с графиком ни одной общей точки. 

Ответ: -1
Скрыть

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

Скрыть
ОДЗ: $$x+1\neq0$$; $$x\neq1$$
Упростим данное выражение:
$$\frac{(x^{2}+x)|x|}{x+1}=\frac{x(x+1)|x|}{x+1}=x|x|$$
То есть получаем, что график изначальной функции и график $$y=|x|\cdot x$$ одинаковы, если в полученной учитывать значения из ОДЗ. Расскроем модуль и построим график:
$$\left\{\begin{matrix}\left\{\begin{matrix}x\geq0\\y=x^{2}\end{matrix}\right.\\\left\{\begin{matrix}x<0\\y=-x^{2}\end{matrix}\right.\end{matrix}\right.$$
Прямая $$y=a$$ - прямая параллельная оси Ox и проходящая через ординату $$a$$. Как видим, данная прямая не будет иметь с графиком общих точек только в случае, если $$a=-1$$

Задание 5126

Постройте график функции $$y=\left\{\begin{matrix}2x-x^{2},x\geq0\\-4x-x^{2},x<0\end{matrix}\right.$$ и определите, при каких значениях m прямая y=m имеет с графиком ровно три общие точки.

Ответ: 0;1
Скрыть

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

Задание 5173

Постройте график функции $$y=\frac{(x^{2}+6,25)(x-1)}{1-x}$$ и определите, при каких значениях k прямая y=kx имеет с графиком ровно одну общую точку.

Ответ: -7,25 ; -5 ; 5
Скрыть

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

Скрыть
ОДЗ: $$1-x \neq 0 \Leftrightarrow x \neq 1$$
$$y=\frac{(x^{2}+6,25)(x-1)}{1-x}=$$$$-x^{2}-6,25$$
Начертим полученный график, с учетом ОДЗ (черным цветом): учитываем, что точка с абсциссой 1 пустая ($$y=-1^{2}-6,25=-7,25$$)
Прямая y=kx будем иметь с графиком одну общую точку в трех случаях - два случая, когда касается (розовый и красный цвет) и случай, когда проходит через точку (1;-7,25)
Рассмотрим первые два случая. Приравняем функции, и найдем случай, когда уравнение будет иметь единстенный корень (дискриминант равен 0):
$$-x^{2}-6,25=kx$$
$$x^{2}+kx+6,25=0$$
$$D=k^{2}-25=0$$, тогда $$k=\pm 5$$
Рассмотрим третий случай, подставив координаты точки в уравнение прямой:
$$-7,25=k*1 \Leftrightarrow$$$$x=-7,25$$

Задание 5223

Постройте график функции $$y=|x^{2}-5x+2|$$ . Какое наибольшее число общих точек график данной функции может иметь с прямой, параллельной оси абсцисс?

Ответ: 4
Скрыть

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

Скрыть
Рассмотрим график функции $$y_{1}=x^{2}-5x+2$$. Искомый будет отличаться от данного тем, что та часть параболы, которая находится под осью Ох симметрично отобразиться относительно оси Ох (в силу того, что модуль все отрицательные значения сделает положительными).
Найдем вершину параболы: $$x_{0}=-\frac{b}{2a}=-\frac{-5}{2}=2,5$$ , $$y_{1}(2,5)=2,5^{2}-5*2,5+2=-4,25$$.
Найдем еще несколько значений для функции $$y_{1}$$: $$y_{1}(2)=-4 ; y_{1}(1)=-2 ; y_{1}(0)=2$$. График квадратичной функции симметричен относительно оси $$x=x_{0}$$, в нашем случае относительно $$x=2,5$$. Начертим график функции $$y_{1}$$:
Отобразим симметрично относительно оси Ох ту часть параболы, которая располагается под осью Ох и получим график функции $$y=|x^{2}-5x+2|$$:
Очевидно, что прямая параллельная оси Оу будет иметь максимально четыре точки пересечения с графиком данной функции, например:

Задание 5366

Постройте график функции $$y=|x^{2}+6x+5|$$ и определите, при каких значениях а прямая $$y=a$$ имеет с графиком три общие точки.

Ответ: 4
Скрыть

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

Скрыть

Рассмотрим график функции $$y_{1}=x^{2}+6x+5$$. Искомый будет отличаться от данного тем, что та часть параболы, которая находится под осью Ох симметрично отобразиться относительно оси Ох (в силу того, что модуль все отрицательные значения сделает положительными). Найдем вершину параболы: $$x_{0}=-\frac{b}{2a}=-\frac{6}{2}=-3$$ , $$y_{1}(3)=(-3)^{2}+6*(-3)+5=-4$$. Найдем еще несколько значений для функции $$y_{1}$$: $$y_{1}(-2)=-3 ; y_{1}(-1)=0 ; y_{1}(0)=5$$.

График квадратичной функции симметричен относительно оси $$x=x_{0}$$, в нашем случае относительно $$x=-3$$. Начертим график функции $$y_{1}$$: ​

Отобразим симметрично относительно оси Ох ту часть параболы, которая располагается под осью Ох и получим график функции $$y=|x^{2}+6x+5|$$:

Очевидно, что прямая параллельная оси Оу будет иметь три точки пересечения с графиком данной функции при $$a=4$$:

Задание 5496

Постройте график функции $$y=\frac{(x-1)(x^{2}-5x+6)}{x-3}$$ и определите, при каких значениях m прямая y=m имеет с графиком ровно одну общую точку

Ответ: