Перейти к основному содержанию

ОГЭ

Арифметические и геометрические прогрессии

Арифметическая прогрессия

Задание 1777

Дана ариф­ме­ти­че­ская про­грес­сия $$(a_{n})$$: -7; -5; -3; ... Най­ди­те $$a_{16}$$.

Ответ: 23
Скрыть

Найдем разность арифметической прогрессии: $$d=-5-(-7)=2$$, найдем 16-ый член данной прогрессии: $$a_{16}=-7+2(16-1)=23$$

Задание 1778

Дана ариф­ме­ти­че­ская про­грес­сия $$(a_{n})$$: -6; -3; 0; ... Най­ди­те сумму пер­вых де­ся­ти её чле­нов.

Ответ: 75
Скрыть

Найдем разность арифметической прогрессии: $$d=-3-(-6)=3$$, найдем сумму первых десяти ее членов: $$S_{10}=\frac{2*(-6)+3(10-1)}{2}*10=75$$

Задание 1779

Вы­пи­са­ны пер­вые не­сколь­ко чле­нов ариф­ме­ти­че­ской про­грес­сии: 3; 6; 9; 12;… Какое из сле­ду­ю­щих чисел есть среди чле­нов этой про­грес­сии?

1) 83
2) 95
3) 100
4) 102

 

Ответ: 4
Скрыть
Найдем разность арифметической прогрессии: $$d=a_{n+1}-a_{n}=6-3=3$$. Следовательно, прогрессию можно задать формулой: $$a_{n}=3+3(n-1)$$.Для того, чтобы число являлось членом данной арифметической прогрессии, при подстановке числа вместо $$a_{n}$$ должно решаться уравнение $$a_{n}=3+3(n-1)$$ в натуральных n:
$$83=3+3(n-1)\Leftrightarrow$$$$83=3+3n-3\Leftrightarrow$$$$83=3n|:3\Leftrightarrow$$$$n=\frac{83}{3}$$-число ненатуральное, следовательно, число 83 не является членом данной прогрессии
$$95=3+3(n-1)\Leftrightarrow$$$$953=3+3n-3\Leftrightarrow$$$$95=3n|:3\Leftrightarrow$$$$n=\frac{95}{3}$$-число ненатуральное, следовательно, число 95 не является членом данной прогрессии
$$100=3+3(n-1)\Leftrightarrow$$$$100=3+3n-3\Leftrightarrow$$$$100=3n|:3\Leftrightarrow$$$$n=\frac{100}{3}$$-число ненатуральное, следовательно, число 100 не является членом данной прогрессии
$$102=3+3(n-1)\Leftrightarrow$$$$102=3+3n-3\Leftrightarrow$$$$102=3n|:3\Leftrightarrow$$$$n=34$$-число натуральное, следовательно, число 102 является членом данной прогрессии

Задание 1780

Ариф­ме­ти­че­ские про­грес­сии $$(x_{n})$$, $$(y_{n})$$ и $$(z_{n})$$ за­да­ны фор­му­ла­ми n-го члена: $$x_{n}=2n+4$$, $$y_{n}=4n$$, $$z_{n}=4n+2$$.

Ука­жи­те те из них, у ко­то­рых раз­ность d равна 4.

1) $$(x_{n})$$ и $$(y_{n})$$
2) $$(y_{n})$$ и $$(z_{n})$$
3) $$(x_{n})$$, $$(y_{n})$$ и $$(z_{n})$$
4) $$(x_{n})$$

 

Ответ: 2
Скрыть

Найдем разность арифметической прогрессии для каждой из данных:
$$x_{n+1}=2(n+1)+4=2n+6$$, тогда $$d=x_{n+1}-x_{n}=2n+6-(2n+4)=2$$
$$y_{n+1}=4(n+1)=4n+4$$, тогда $$d=y_{n+1}-y_{n}=4n+4-4n=4$$
$$z_{n+1}=4(n+1)+2=4n+6$$, тогда $$d=z_{n+1}-z_{n}=4n+6-(4n+2)=4$$
Как видим, подошли вторая и третья, следовательно, правильный ответ под номером 2.

Задание 1781

В пер­вом ряду ки­но­за­ла 30 мест, а в каж­дом сле­ду­ю­щем на 2 места боль­ше, чем в преды­ду­щем. Сколь­ко мест в ряду с но­ме­ром n?

1) 28+2n
2) 30+2n
3) 32+2n
4) 2n

 

Ответ: 1
Скрыть

Первый член прогрессии в данном случае: $$a_{1}=30$$, так как прибавляется каждый раз 2 места, то разность арифметической прогрессии в данном случае: $$d=2$$, тогда n-ый член последовательности можно задать, как : $$a_{n}=30+2(n-1)=28+2n$$, что соответствует 1 варианту ответа.

Задание 1782

Дана ариф­ме­ти­че­ская про­грес­сия: 33; 25; 17; … Най­ди­те пер­вый от­ри­ца­тель­ный член этой про­грес­сии.

1) -7
2) -8
3) -9
4) -1

 

Ответ: -7
Скрыть

Найдем разность арифметической прогрессии: $$d=25-33=-8$$. Найдем следующие члены прогрессии:
$$a_{4}=17-8=9;$$$$a_{5}=9-8=1;$$$$a_{6}=1-8=-7$$

Задание 1783

Ариф­ме­ти­че­ская про­грес­сия за­да­на усло­ви­я­ми: $$a_{1}=6$$, $$a_{n+1}=a_{n}+6$$ . Какое из дан­ных чисел яв­ля­ет­ся чле­ном этой про­грес­сии?

1) 80
2) 56
3) 48
4) 32

 

Ответ: 3
Скрыть

Найдем разность арифметической прогрессии: $$d=a_{n+1}-a_{n}=a_{n}+6-a_{n}=6$$. Следовательно, прогрессию можно задать формулой: $$a_{n}=6+6(n-1)$$. Для того, чтобы число являлось членом данной арифметической прогрессии, при подстановке числа вместо $$a_{n}$$ должно решаться уравнение $$a_{n}=6+6(n-1)$$ в натуральных $$n$$:
$$80=6+6(n-1)\Leftrightarrow$$$$80=6+6n-6\Leftrightarrow$$$$80=6n|:6\Leftrightarrow$$$$n=\frac{80}{6}$$ - число ненатуральное, следовательно, 80 не является членом данной прогрессии
$$56=6+6(n-1)\Leftrightarrow$$$$56=6+6n-6\Leftrightarrow$$$$56=6n|:6\Leftrightarrow$$$$n=\frac{56}{6}$$ - число ненатуральное, следовательно, 56 не является членом данной прогрессии
$$48=6+6(n-1)\Leftrightarrow$$$$48=6+6n-6\Leftrightarrow$$$$48=6n|:6\Leftrightarrow$$$$n=8$$ - число натуральное, следовательно, 48 не является членом данной прогрессии
$$32=6+6(n-1)\Leftrightarrow$$$$32=6+6n-6\Leftrightarrow$$$$32=6n|:6\Leftrightarrow$$$$n=\frac{32}{6}$$ - число ненатуральное, следовательно, 32 не является членом данной прогрессии

Задание 1784

Най­ди­те сумму всех от­ри­ца­тель­ных чле­нов ариф­ме­ти­че­ской про­грес­сии: −8,6; −8,4; ...

Ответ: -189,2
Скрыть

Найдем разность арифметической прогрессии: $$d=-8,4-(-8,6)=0,2$$. То есть n-ый член прогрессии можно задать формулой: $$a_{n}=-8,6+0,2(n-1)$$.

Найдем номер первого неотрицательного члена: $$-8,6+0,2(n-1)<0\Leftrightarrow$$$$-8,8+0,2n<0\Leftrightarrow$$$$0,2n<8,8|:0,2\Leftrightarrow$$$$n<44$$.

В силу строгости неравенства, получаем, что первые 43 член прогрессии являются отрицательными. Найдем сумму первых 43ёх членов прогрессии: $$S_{43}=\frac{2*(-8,6)+0,2(43-1)}{2}*43=-189,2$$

Задание 1785

Ариф­ме­ти­че­ская про­грес­сия $$a_{n}$$ за­да­на фор­му­лой n-го члена $$a_{n+1}=a_{n}+2$$ и из­вест­но, что $$a_{1}=3$$. Най­ди­те пятый член этой про­грес­сии.

Ответ: 11
Скрыть

Найдем разность арифметической прогрессии: $$d=a_{n+1}-a_{n}=a_{n}+2-a_{n}=2$$. Найдем пятый член прогрессии, воспользовавшись формулой n-го члена арифметической прогрессии: $$a_{5}=3+2(5-1)=11$$

Задание 2475

В первом ряду кинозала 20 мест, а в каждом следующем на 2 больше, чем в предыдущем. Сколько мест в девятом ряду?

Ответ: 36
Скрыть

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

Скрыть

$$a_{1}=20 $$ $$d=2$$ $$a_{9}=a_{1}+d(9-1)=20+2\cdot 8=36$$

Задание 2657

Даны десять чисел, первое из которых равно 16, а каждое следующее больше предыдущего на 4. Найти пятнадцатое из данных чисел.

Ответ: 72
Скрыть

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

Скрыть

$$a_{1}=16$$ $$d=4$$ $$n=15$$ $$a_{15}=16+4(15-1)=72$$

Задание 2802

Арифметическая прогрессия an задана условиями: $$a_{1}=-15$$, $$a_{n+1}=a_{n}-10$$.Найдите сумму первых восьми её членов.

Ответ: -400
Скрыть

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

Скрыть

$$a_{1}=-15$$; $$a_{2}=a_{1}-10=-15-10=-25$$; $$d=a_{2}-a_{1}=-25-(-15)=-10$$ $$S_{n}=\frac{2a_{1}+d(n-1)}{2}\cdot n$$ $$S_{7}=\frac{2\cdot(-15)+(-10)\cdot 7}{2}\cdot 8=(-30-70)\cdot4=-400$$

Задание 2843

Выписаны первые несколько членов арифметической прогрессии: 2; 6; 10; …Найдите сумму первых сорока её членов.

Ответ: 3200
Скрыть

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

Скрыть

$$a_1=2$$. Разность арифметической прогрессии тут равна : $$d=a_2-a_1=6-2=4$$ $$S_n=\frac{2a_1+d(n-1)}{2}*n$$, где n - порядковый номер, в нашем случае 40. $$S_40=\frac{2*2+4(40-1)}{2}*40=3200$$

Задание 2880

Арифметическая прогрессия задана условием $$a_{n}=-7,9+7,8n$$. Найдите $$a_{14}$$

Ответ: 101,3
Скрыть

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

Скрыть

$$a_{n}=-7,9+7,8n$$ $$a_{14}=-7,9+7,8*14=101,3$$

Задание 2962

Укажите номер первого отрицательного члена арифметической прогрессии: 19,2; 19; 18,8; …
 

Ответ: 98
Скрыть

$$a_{1}=19,2$$

$$d=19-19,2=0,2$$

$$a_{n}=a_{1}+d(n-1)< 0$$

$$19,2-0,2(n-1)< 0$$

$$19,2-0,2n+0,2< 0$$

$$-0,2n< -19,4$$

$$n > 97$$ $$\Rightarrow$$ 98 номер