Перейти к основному содержанию

ЕГЭ Профиль

(C4) Планиметрическая задача

Задача на доказательство и вычисление

 

Задание 3332

В трапеции ABCD BC||AD, ∠ABC=90. Прямая, перпендикулярная стороне CD, пересекает сторону АВ в точке M, а сторону CD – в точке N.

а) Докажите подобие треугольников АВN и DCM
б) Найдите расстояние от точки А до прямой ВN, если МС = 5, BN = 3, а расстояние от точки D до прямой МС равно 6.
Ответ: 3,6
Скрыть

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

 

Задание 3863

Площадь трапеции ABCD равна 30. Точка Р - середина боковой стороны АВ. Точка R  на боковой стороне CD выбрана так, что $$2CD=3RD$$. Прямые AR и PD пересекаются в точке Q, $$AD=2BC$$.

A) Докажите, что точка Q - середина отрезка AR
Б) Найдите площадь треугольника APQ
Ответ: $$\frac{10}{3}$$
Скрыть

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

Скрыть

А) 1) $$RD=\frac{2CD}{3}\Rightarrow CR=\frac{1}{3}CD$$

2) Построим $$AR\cap BC=M$$

$$\Rightarrow\bigtriangleup ARD\sim\bigtriangleup CMR$$ (по 2м углам)

$$\frac{CR}{RD}=\frac{CM}{AD}=\frac{1}{2}$$

$$\Rightarrow$$ $$CM=\frac{1}{2}AD=BC\Rightarrow BM=AD$$

$$\Rightarrow ABMD$$ - параллелограмм

3) Тогда: $$\bigtriangleup APQ\sim\bigtriangleup MQD$$:

$$\frac{AP}{MD}=\frac{AQ}{QM}=\frac{1}{2}$$

$$\Rightarrow AQ=\frac{1}{3}AM$$; $$QM=\frac{2}{3}AM$$

4) из п.2 $$\frac{MR}{AR}=\frac{1}{2}$$ $$\Rightarrow$$ $$MR=\frac{1}{3}AM$$

Тогда $$QR=QM-MR=\frac{2}{3}AM-\frac{1}{3}AM=\frac{1}{3}AM$$

$$\Rightarrow$$ $$AQ=QM$$

ч.т.д.

б) 1) $$S_{ABCD}=30=S$$

т.к. $$BC=CM$$, то $$S_{CMD}=\frac{1}{2}\cdot\frac{1}{2}BM\cdot h$$,

где $$h$$ - высота $$ABMD$$:

$$S_{CMD}=\frac{1}{4}BM\cdot h=\frac{1}{4}S$$

$$\Rightarrow$$ $$S_{ABCD}=\frac{3}{4}S=30$$

$$\Rightarrow S=40$$

2) $$\frac{AQ}{QM}=\frac{1}{2}$$ $$\Rightarrow$$

$$S_{QMD}=\frac{2}{3}S_{AMD}=\frac{2}{3}\cdot\frac{1}{2}S=\frac{40}{3}$$

$$\bigtriangleup APQ\sim\bigtriangleup QMD$$:

$$k=\frac{1}{2}\Rightarrow$$

$$\frac{S_{APQ}}{S_{QMD}}=\frac{1}{4}\Rightarrow$$

$$S_{APQ}=\frac{1}{4}S_{QMD}=\frac{1}{4}\cdot\frac{40}{3}=\frac{10}{3}$$

 

Задание 4020

Из середины D гипотенузы АВ прямоугольного треугольника АВС проведен луч, перпендикулярный к гипотенузе и пересекающий один из катетов. На нем отложен отрезок DE, длина которого равна половине отрезка АВ. Длина отрезка СЕ равна 1 и совпадает с длиной одного из катетов.

А) Докажите, что угол АСЕ равен 45 градусов
Б) Найдите площадь треугольника АВС
Ответ: $$\frac{1+\sqrt{2}}{2}$$
Скрыть

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

Скрыть

а) 1) Строим окружность с диаметром $$AB\Rightarrow\angle C=90^{\circ}$$

$$AD=DE=R\Rightarrow E$$ лежит на окружности

2) По условию $$BC=CE\Rightarrow$$

$$\angle ACE=\frac{1}{2}\angle ADE=45^{\circ}$$(вписанный угол равен половине центрального, опирающегося на ту же дугу)

б) 1) Т.к. $$\angle СDB=45^{\circ}\Rightarrow \angle CAB=22,5=\frac{45}{2}$$

$$\tan A=\frac{BC}{AC}\Leftrightarrow\tan\frac{45}{2}=\frac{1}{AC}$$

$$\tan 45=\tan2\cdot\frac{45}{2}=\frac{2\tan\frac{45}{2}}{1-\tan^{2}\frac{45}{2}}$$

2) Пусть $$\tan\frac{45}{2}=x$$

$$1=\frac{2x}{1-x^{2}}\Leftrightarrow$$

$$1-x^{2}=2x\Leftrightarrow$$

$$x^{2}+2x-1=0$$

$$D=4+4=8$$

$$x_{1}=\frac{-2+\sqrt{8}}{2}=\sqrt{2}-1$$

$$x_{2}=\frac{-2-\sqrt{8}}{2}=-\sqrt{2}-1$$

$$AC=1\div\tan\frac{45}{2}=\frac{1}{\sqrt{2}-1}$$

3) $$S_{ABC}=\frac{1}{2}\cdot\frac{1}{\sqrt{2}-1}=\frac{\sqrt{2}+1}{2(\sqrt{2}^{2}-1^{2})}=\frac{1+\sqrt{2}}{2}$$

 

Задание 4575

Треугольник АВС (АВ<АC) вписан в окружность. На стороне АС отмечена точка Е так, что АЕ=АВ. Серединный перпендикуляр к отрезку СЕ пересекает дугу ВС, не содержащую точки А, в точке К.

А) Докажите, что АК является биссектрисой угла ВАС.
Б) Найдите площадь четырехугольника АВКЕ, если известно, что АВ=5, АС=11, ВС=10.
Ответ: $$\frac{160}{\sqrt{39}}$$
Скрыть

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

Задание 4598

Две окружности касаются внешним образом в точке K. Прямая AB касается первой окружности в точке A, а второй — в точке B. Прямая BK пересекает первую окружность в точке D, прямая AK пересекает вторую окружность в точке C.

а) Докажите, что прямые AD и BC параллельны.
б) Найдите площадь треугольника AKB, если известно, что радиусы окружностей равны 4 и 1.
Ответ:

Задание 4599

В треугольнике АВС проведена биссектриса АМ. Прямая, проходящая через вершину В перпендикулярно АМ, пересекает сторону АС в точке N. АВ = 6; ВС = 5; АС = 9.

а) докажите, что биссектриса угла С делит отрезок МN пополам
б) пусть Р — точка пересечения биссектрис треугольника АВС. Найдите отношение АР : РN.
Ответ:

Задание 4600

Две окружности касаются внутренним образом. Третья окружность касается первых двух и их линии центров.

а) Докажите, что периметр треугольника с вершинами в центрах трёх окружностей равен диаметру наибольшей из этих окружностей.
б) Найдите радиус третьей окружности, если известно, что радиусы первых двух равны 6 и 2.
Ответ:

Задание 4601

Диагональ AC прямоугольника ABCD с центром O образует со стороной AB угол 30°. Точка E лежит вне прямоугольника, причём ∠BEC = 120°.

а) Докажите, что ∠CBE = ∠COE.
б) Прямая OE пересекает сторону AD прямоугольника в точке K. Найдите EK, если известно, что BE = 40 и CE = 24.
Ответ:

Задание 4602

Медианы АА1 и ВВ1 и CC1 треугольника ABC пересекаются в точке М. Точки А2, В2 и С2 — середины отрезков MA, MB и МС соответственно.

а) Докажите, что площадь шестиугольника A1B2C1A2B1C2 вдвое меньше площади треугольника ABC.
б) Найдите сумму квадратов всех сторон этого шестиугольника, если известно, что АВ = 4, ВС = 7 и АС = 8.
Ответ:

Задание 4603

Хорды AD, BE и CF окружности делят друг друга на три равные части.

а) Докажите, что эти хорды равны.
б) Найдите площадь шестиугольника ABCDEF, если точки A, B, C, D, E последовательно расположены на окружности, а радиус окружности равен $$2\sqrt{21}$$
Ответ:

Задание 4604

В остроугольном треугольнике ABC проведены высоты AP и CQ.

а) Докажите, что угол PAC равен углу PQC.
б) Найдите радиус окружности, описанной около треугольника ABC, если известно, что PQ = 8 и ∠ABC = 60°.
Ответ:

Задание 4605

Медианы AA1, BB1 и CC1 треугольника ABC пересекаются в точке M. Известно, что AC = 3MB.

а) Докажите, что треугольник ABC прямоугольный.
б) Найдите сумму квадратов медиан AA1 и CC1, если известно, что AC = 12.
Ответ:

Задание 4606

Точка О — центр окружности, вписанной в треугольник ABC. На продолжении отрезка AO за точку О отмечена точка K так, что BK = OK.

а) Докажите, что четырехугольник ABKC вписанный.
б) Найдите длину отрезка AO, если известно, что радиусы вписанной и описанной окружностей треугольника ABC равны 3 и 12 соответственно, а OK = 5.
Ответ:

Задание 4607

Точка О — центр окружности, описанной около остроугольного треугольника ABC. На продолжении отрезка AO за точку О отмечена точка K так, что $$\angle BAC + \angle AKC = 90$$

а) Докажите, что четырехугольник OBKC вписанный.
б) Найдите радиус окружности, описанной около треугольника KBC, если известно, что радиус окружности, описанной около треугольника АBC равен 12, а $$\cos \angle BAC =0,6$$
Ответ:

Задание 4608

В прямоугольном треугольнике ABC с прямым углом C известны стороны AC = 12, BC = 5. Окружность радиуса $$\frac{1}{2}$$ с центром O на стороне BC проходит через вершину C. Вторая окружность касается катета AC, гипотенузы треугольника, а также внешним образом касается первой окружности.

а) Докажите, что радиус второй окружности меньше, чем $$\frac{1}{5}$$ длины катета AC.
б) Найдите радиус второй окружности.
Ответ: