ОГЭ математика 2018. Разбор варианта Алекса Ларина № 168.
Решаем ОГЭ 168 вариант Ларина. Подробное решение 1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,17,18,19,20 заданий тренировочного варианта ОГЭ Ларина №168 (alexlarin.com)
Решаем ОГЭ 168 вариант Ларина. Подробное решение 21,22,23,24,25,26 заданий тренировочного варианта ОГЭ Ларина №168 (alexlarin.com)
Задание 1
Найдите значение выражения $$\frac{0,35\cdot20}{1,6-0,4\cdot 0,5}$$
$$\frac{0,35\cdot20}{1,6-0,4\cdot0,5}=$$ $$=\frac{7}{1,6-0,2}=\frac{7}{1,4}=\frac{5}{1}=5$$
Задание 2
Для квартиры площадью 90 кв. м заказан натяжной потолок белого цвета. Стоимость материалов с учётом работ по установке натяжных потолков приведена в таблице.
| Цвет потолка | Цена (в руб.) за 1 кв.м. (в зависимости от площади помещения) | |||
| до 10 кв. м | от 11 до 30 кв.м | от 31 до 60 кв.м | свыше 60 кв.м | |
| Белый | 1500 | 1250 | 1050 | 700 |
| Цветной | 1650 | 1400 | 1200 | 850 |
Какова стоимость заказа, если действует сезонная скидка в 15%?
Задание 3
Значение какого из данных выражений положительно, если известно, что a > 0, b < 0?
Варианты ответа:
1) $$ab$$;
2) $$(a-b)b$$;
3) $$(b-a)b$$;
4) $$(b-a)a$$
Пусть $$a=1>0$$; $$b=-1<0$$
1) $$ab=1\cdot(-1)<0$$
2) $$(a-b)b=(1-(-1))(-1)=-2<0$$
3) $$(b-a)b=(-1-1)\cdot(-1)=2>0$$
4) $$(b-a)\cdot a=(-1-1)\cdot1<0$$
Задание 4
Найдите значение выражения $$\frac{\sqrt{450}\cdot\sqrt{24}}{\sqrt{20}}$$
Варианты ответа:
1) $$60$$
2) $$6\sqrt{5}$$
3) $$6\sqrt{10}$$
4) $$6\sqrt{15}$$
$$\frac{\sqrt{450}\cdot\sqrt{24}}{\sqrt{20}}=$$
$$=\sqrt{\frac{25\cdot2\cdot9\cdot8\cdot3}{4\cdot5}}=$$
$$=\sqrt{2^{2}\cdot3^{3}\cdot5}=6\sqrt{15}$$
Задание 7
Закупив подарочные наборы на оптовом складе, магазин стал продавать их по цене на 40% больше закупочной. Перед Новым годом цена наборов была снижена на 30%. Какая цена меньше: та, по которой магазин закупил подарочные наборы, или предновогодняя – и на сколько процентов?
Пусть х - закупочная цена,
тогда 1,4х - цена продажи до НГ.
Пусть у - цена перед НГ:
$$1,4x-100$$ %
$$y-70$$ %
$$y=\frac{1,4x\cdot70}{100}=0,98x$$ $$\Rightarrow$$
перед НГ меньше на 2 %
Задание 10
Установите соответствие между графиками функций и формулами, которые их задают.
ФОРМУЛЫ:
1) $$y=x^{2}+2$$
2) $$y=-\frac{6}{x}$$
3) $$y=\frac{1}{2}x$$
А - гипербола $$y=\frac{k}{x}$$ $$\Rightarrow2$$
Б - прямая $$y=kx+b$$ $$\Rightarrow3$$
В - парабола $$y=ax^{2}+bx+c$$ $$\Rightarrow1$$
Задание 11
Последовательность $$(a_{n}$$ задана условиями $$a_{1}=-3,a_{n+1}=a_{n}+3$$. Найдите $$a_{10}$$
$$a_[1}=-3$$
$$a_{n+1}=a_{n}+3$$
$$d=a_{n+1}-a_{n}=a_{n+3}-a_{n}=3$$
$$a_{n}=a_{1}+d(n-1)$$
$$a_{10}=-3+3\cdot(10-1)=-3+27=24$$
Задание 12
Найдите значение выражения $$\frac{a^{2}-4b^{2}}{3a^{2}}\cdot\frac{a}{3a+6b}$$, при $$a=\sqrt{125}$$, $$b=\sqrt{245}$$
$$\frac{a^{2}-4b^{2}}{3a^{2}}\cdot\frac{a}{3a+6b}=$$
$$=\frac{(a-2b)(a+2b)\cdot a}{3a^{2}\cdot3\cdot(a+2b)}=$$
$$=\frac{a-2b}{9a}=\frac{\sqrt{125}-2\sqrt{245}}{9\sqrt{125}}=$$
$$=\frac{5\sqrt{5}-14\sqrt{5}}{9\cdot5\sqrt{5}}=$$
$$=\frac{-9\sqrt{5}}{9\cdot5\sqrt{5}}=-\frac{1}{5}=-0,2$$
Задание 14
Укажите неравенство, которое не имеет решений.
1) $$x^{2}-169\leq0$$
2) $$x^{2}+169\geq0$$
3) $$x^{2}-169\geq0$$
4) $$x^{2}+169\leq0$$
1) $$x^{2}-169\leq0$$ $$\Leftrightarrow x\in[-13;13]$$
2) $$x^{2}+169\geq0$$ $$\Leftrightarrow x\in R$$
3) $$x^{2}-169\geq0$$ $$\Rightarrow x\in(-\infty;-13]\cup [13;+\infty)$$
4) $$x^{2}+169\leq0$$ $$\Rightarrow\varnothing$$
Задание 16
Точка O — центр окружности, на которой лежат точки A, B и C. Известно, что $$\angle ABC=65^{\circ}$$ и $$\angle OAB=10^{\circ}$$. Найдите угол BCO. Ответ дайте в градусах.
$$\angle AOC=2\angle ABC=130^{\circ}$$
$$\Rightarrow\angle AOC_{1}=360-130=230^{\circ}$$
$$\angle BCO=360-\angle BAO-\angle AOC_{1}-\angle ABC=360-10-230-65=55^{\circ}$$
Задание 17
Основания трапеции равны 9 и 14. Найдите больший из отрезков, на которые делит среднюю линию этой трапеции одна из её диагоналей.
$$MO=\frac{1}{2}\cdot BC=\frac{1}{2}\cdot9=4,5$$
$$ON=\frac{1}{2}\cdot AD=\frac{1}{2}\cdot14=7$$
Задание 18
Биссектриса угла A параллелограмма ABCD пересекает сторону BC в точке Е. Найдите периметр параллелограмма, если $$BE=12$$, $$CE=5$$.
$$BC=12+5=17=AD$$
$$\angle BAE=\angle EAD$$ - биссектриса
$$\angle EAD=\angle BEA$$ - (накрестлежащие)
$$\Rightarrow$$ $$\angle BAE=\angle BEA$$ $$\Rightarrow$$
$$AB=BE=12=CD$$
$$P=2AB+2BC=2\cdot12+2\cdot17=24+34=58$$
Задание 20
Какие из следующих утверждений верны?
1. Если в четырёхугольнике две стороны параллельны, то этот четырёхугольник - параллелограмм.
2. Через любые три точки, не лежащие на одной прямой, проходит единственная окружность.
3. Любые два равнобедренных прямоугольных треугольника подобны.В ответ запишите номера выбранных утверждений без пробелов, запятых и других дополнительных символов
Задание 21
Решите неравенство $$(\frac{x+2}{8-x})^{2}\leq\frac{1}{16}$$
$$(\frac{x+2}{8-x})^{2}\leq\frac{1}{16}$$
ОДЗ: $$8-1\neq0$$
$$x\neq8$$
$$\frac{x+2}{8-x}=y$$
$$y^{2}\leq\frac{1}{16}$$
$$y^{2}-(\frac{1}{4})^{2}\leq0$$
$$\left\{\begin{matrix}y\geq-\frac{1}{4}\\y\leq\frac{1}{4}\end{matrix}\right.$$ $$\Leftrightarrow$$
$$\left\{\begin{matrix}\frac{x+2}{8-x}\geq-\frac{1}{4}\\\frac{x+2}{8-x}\leq\frac{1}{4}\end{matrix}\right.$$
1) $$\frac{x+2}{8-x}+\frac{1}{4}\geq0$$ $$\Leftrightarrow$$
$$\frac{4x+8+8-x}{4(8-x)}\geq0$$
$$\frac{3x+16}{8-x}\geq0$$ $$\Leftrightarrow$$
$$x\in[-\frac{16}{3};8)$$
2) $$\frac{x+2}{8-x}-\frac{1}{4}\leq0$$ $$\Leftrightarrow$$
$$\frac{4x+8-8+x}{4(8-x)}\leq0$$
$$\frac{5x}{8-x}\leq0$$ $$\Leftrightarrow$$
$$x\in(-\infty;0]\cup(8;+\infty)$$
Найдем пересечение ответов: $$x\in[-\frac{16}{3};0]$$
Задание 22
Имеются два сплава меди и цинка. В первом сплаве меди в 2 раза больше, чем цинка, а во втором в 5 раз меньше, чем цинка. Во сколько раз больше надо взять второго сплава, чем первого, чтобы получить новый сплав, в котором цинка было бы в 2 раза больше, чем меди?
Пусть х - масса 1го сплава, тогда $$\frac{2}{3}x$$ меди $$\frac{1}{3}x$$ цинка в нем.
Пусть у - масса 2го сплава,тогда $$\frac{1}{6}y$$ меди, $$\frac{5}{6}$$ цинка в нем.
Пусть $$k=\frac{y}{x}$$, тогда $$x+kx$$ - суммарная масса.
В нем: $$\frac{1}{3}(x+kx)$$ - медь, $$\frac{2}{3}(x+kx)$$ - цинк.
$$\left\{\begin{matrix}\frac{2}{3}x+\frac{1}{6}kx=\frac{1}{3}(x+kx)(1)\\\frac{1}{3}x+\frac{5}{6}kx=\frac{2}{3}(x+kx)(2)\end{matrix}\right.$$
$$\frac{2}{3}x+\frac{1}{6}kx=\frac{1}{3}x+\frac{1}{3}kx$$
$$\frac{1}{3}x=\frac{1}{6}kx$$
$$k=2$$
1) вся медь из 1гои 2го ушла в сплав
2) весь цинк из 1гои 2го ушел в сплав
Задание 23
Постройте график функции $$y=5-\frac{x^{4}-x^{3}}{x^{2}-x}$$ и определите, при каких значениях m прямая y = m имеет с графиком ровно две общие точки.
$$y=5-\frac{x^{4}-x^{3}}{x^{2}-x}$$
ОДЗ: $$x^{2}-x\neq0$$
$$\left\{\begin{matrix}x\neq0\\x\neq1\end{matrix}\right.$$
$$5-\frac{x^{4}-x^{3}}{x^{2}-x}=$$
$$=5-\frac{x^{2}(x^{2}-x)}{x^{2}-x}=5-x^{2}$$
$$y_{1}=5-x^{2}$$
То есть график первоначальной функции совпадает с графиком функции y1 при учете ОДЗ. Построим график y1 функции
Если прямая y=m проходит через оординаты 4 и 5, то получаем по одному пересечению, следовательно, их надо исключить, и тогда m будет принадлежать промежутку:
$$m\in(-\infty;4)\cup(4;5)$$
Задание 24
В прямоугольную трапецию вписана окружность. Найдите её радиус, если основания трапеции 2 см и 3 см.
1) Пусть К - точка каасния АВ и окружности
2) Пусть r - радиус окружности $$BK=KA=r$$ $$\Rightarrow$$ $$BA=2r$$
3) По свойству описанного четырехугольника: $$AB+CD=BC+AD$$ $$\Rightarrow$$
$$2r+CD=2+3=5$$ $$\Rightarrow$$
$$CD=5-2R$$
4) Опустим $$CC_{1}\perp AD$$ $$\Rightarrow$$
$$CC_{1}=AB=2r$$
По теореме Пифагора: $$CC_{1}^{2}+C_{1}D^{2}=CD^{2}$$
$$C_{1}D=AD-BC=3-2=1$$
$$(2r)^{2}+1^{2}=(5-2r)^{2}$$
$$4r^{2}+1=25-20r+4r^{2}$$
$$20r=24$$ $$\Rightarrow$$ $$r=1,2$$
Задание 25
На стороне BC квадрата ABCD взята точка М. Докажите, что площадь треугольника AМD равна половине площади квадрата.
1) Пусть МН - высота AMD $$\Rightarrow$$
$$MH\perp AD$$ $$\Rightarrow$$
$$MH\parallel AB$$ $$\Rightarrow$$
$$MH=AB$$
2) $$S_{ABCD}=\frac{1}{2}AD\cdot MH=\frac{1}{2}AB\cdot AD$$
$$S_{ABCD}=AB\cdot AD$$ $$\Rightarrow$$
$$S_{AMD}=\frac{1}{2}S_{ABCD}$$
Ч.Т.Д.
Задание 26
Продолжение сторон KN и LM выпуклого четырехугольника KLMN пересекаются в точке P, а продолжения сторон KL и LM – в точке Q. Отрезок PQ перпендикулярен биссектрисе угла KQN. Найти длину стороны KL, если KQ=12, NQ=8, а площадь четырехугольника KLMN равна площади треугольника LQM.
1) Постороим через К прямую $$m\parallel QP$$
Пусть $$ON\cap m=A$$; $$QB\cap m=B$$ (QB - биссектриса);
$$QL\cap m=K$$; $$PL\cap m=C$$
2) $$\bigtriangleup KAN\sim\bigtriangleup QNP$$; $$QA=QK=12$$ $$\Rightarrow$$
$$AN=AQ-QN=12-8=4$$; $$\frac{AN}{QN}=\frac{AK}{QP}=\frac{4}{8}=\frac{1}{2}$$
3) Пусть $$QK=xQL$$ $$\Rightarrow$$
$$KL=QK-QL=(x-1)QL$$
$$\bigtriangleup CKL\sim\bigtriangleup QLP$$ $$\Rightarrow$$
$$\frac{CK}{QP}=\frac{KL}{LQ}=\frac{(x-1)LQ}{LQ}$$ $$\Rightarrow$$
$$CK=QP(x-1)$$
4) Пусть $$AQ=yQM$$ $$\Rightarrow$$
$$AM=AQ-QM=yQM-QM=QM(y-1)$$
$$\bigtriangleup CAM\sim\bigtriangleup QMP$$ $$\Rightarrow$$
$$\frac{AC}{PQ}=\frac{AM}{MQ}=\frac{QM(y-1)}{QM}$$ $$\Rightarrow$$
$$AC=PQ(y-1)$$
$$AK=\frac{1}{2}PQ$$
$$AK=AC-CK$$ $$\Rightarrow$$
$$\frac{1}{2}PQ=(y-1)PQ-(x-1)PQ$$ $$\Leftrightarrow$$
$$\frac{1}{2}=y-1-x+1$$ $$\Leftrightarrow$$
$$\frac{1}{2}=y-x$$
5) $$S_{\bigtriangleup LQM}=S=\frac{1}{2}QL\cdot QM\cdot\sin Q=\frac{1}{2}\frac{QK}{x}\cdot\frac{AQ}{y}\sin Q$$
$$S_{\bigtriangleup QKN}=2S=\frac{1}{2}QK\cdot QN\cdot\sin Q$$
$$\frac{1}{2}QK\cdot QN\cdot\sin Q=2\cdot\frac{1}{2}\frac{QK}{x}\cdot\frac{AQ}{y}\sin Q$$
$$12\cdot8=2\cdot\frac{12}{x}\cdot\frac{12}{y}\Leftrightarrow$$
$$8=\frac{24}{xy}$$ $$\Leftrightarrow$$
$$xy=3$$
$$\left\{\begin{matrix}y=x+\frac{1}{2}\\xy=3\end{matrix}\right.$$
$$x(x+\frac{1}{2})=3$$
$$x^{2}+\frac{x}{2}-3=0$$
$$2x^{2}+x-6=0$$
$$D=1+48=49$$
$$x_{1}=\frac{-1+7}{4}=\frac{3}{2}$$
$$x_{2}<0$$
6) $$\Rightarrow$$: $$QL=\frac{QK}{\frac{3}{2}}=\frac{12\cdot2}{3}=8$$ $$\Rightarrow$$
$$KL=QK-QL=12-8=4$$