ОГЭ математика 2018. Разбор варианта Алекса Ларина № 160.
Решаем ОГЭ вариант Ларина № 160. Подробное решение 1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,17,18,19,20 заданий тренировочного варианта ОГЭ Ларина № 160 (alexlarin.com)
Решаем ОГЭ вариант Ларина № 160. Подробное решение 21,22,23,24,25,26 заданий тренировочного варианта ОГЭ Ларина № 160 (alexlarin.com)
Задание 1
Найдите значение выражения $$\frac{1,2*3,5*10^{4}}{0,7*10^{3}}$$
$$\frac{1,2*3,5*10^{4}}{0,7*10^{3}}=\frac{12*35*10^{4-2}}{7*10^{2}}=12*5=60$$
Задание 2
В таблице даны результаты забега девочек 5-го класса на дистанцию 30 м.
| Номер дорожки | 1 | 2 | 3 | 4 |
| Время (с) | 7,3 | 6,7 | 6,9 | 7,0 |
Зачёт выставляется, если показано время не хуже 6,8 с. Выпишите номера дорожек, по которым бежали девочки, получившие зачёт.
Только 6,7 с не хуже, чем 6,8, следовательно, зачет получила девочка, бежавшая по 2 дорожке
Задание 3
На координатной прямой отмечено число a.
Какое из утверждений относительно этого числа является верным?
Варианты ответа
Число а располагается между 5 и 6, пусть а = 5,5. В таком случае: 1) 4 − 5,5 > 0 - неверно 2) 5 – 5,5< 0 - верно 3) 5,5 – 4 < 0 - неверно 4) 5,5 – 8 > 0 - неверно
Задание 4
Какое из выражений равно степени $$3^{5-n}$$ Варианты ответа: 1)$$\frac{3^{5}}{3^{n}}$$ 2)$$\frac{3^{5}}{3^{-n}}$$ 3)$$3^{5}-3^{n}$$ 4)$$(3^{5})^{-n}$$
$$3^{5-n}=\frac{3^{5}}{3^{n}}$$ что соответствует 1 варианту ответа
Задание 5
На рисунке жирными точками показано суточное количество осадков, выпадавших в Казани с 3 по 15 февраля 1909 года. По горизонтали указываются числа месяца, по вертикали — количество осадков, выпавших в соответствующий день, в миллиметрах. Для наглядности жирные точки на рисунке соединены линией. Определите по рисунку, какое наибольшее суточное количество осадков выпадало в Казани в данный период. Ответ дайте в миллиметрах
Наибольшее значение суточных осадков соответствует 15 числу и равно 6 мм.
Задание 6
Решите уравнение $$(x+12)^{2}=(x-13)^{2}$$
$$(x+12)^{2}=(x-13)^{2}$$ $$x^{2}+24x+144=x^2-26x+169$$ $$24x+26x=169-144$$ $$50x=25$$ $$x=0,5$$
Задание 7
Брюки стоят 1280 рублей, а пиджак – 1600 рублей. На сколько процентов пиджак дороже, чем брюки?
Сравнивают с брюками, поэтому их цена принимается за 100%, тогда: 1280 - 100% 1600 - x% x=1600*100/1280=125% Следовательно, дороже на 125-100=25%
Задание 8
На диаграмме показаны религиозные составы населения Германии, США, Австрии и Великобритании. Определите по диаграмме, в каких странах суммарная доля протестантов и католиков превышает 75%.
Варианты ответа:
Суммарная часть двух этих секторов должна составлять более чем 3/4 круга, что соответствует США и Австрии, то есть 2 и 3
Задание 9
Вероятность того, что новая шариковая ручка пишет плохо (или не пишет), равна 0,21. Покупатель в магазине выбирает одну шариковую ручку. Найдите вероятность того, что эта ручка пишет хорошо.
Вероятность того, что пишет хорошо противоположна тому, что пишет плохо, следовательно P = 1 - 0,21=0,79
Задание 10
Найдите значение с по графику функции $$y = ax^2+2x+c$$, изображенному на рисунке.
Варианты ответа
Коэффициент с отвечает за пересечение параболой оси Оу (ординату пересечения). В нашем случае пересекает над осью Ох, значит с > 0. Ордината пересечения равна 3, значит с=3, что соответствует 4 варианту ответа
Задание 11
Дана арифметическая прогрессия (an), для которой a4 = - 140, a10 = - 740. Найдите разность прогрессии.
Разность арифметической прогрессии находится по формуле: $$d=\frac{a_{m}-a_{n}}{m-n}=\frac{a_{10}-a_{4}}{10-4}=\frac{-740-(-140)}{6}=-100$$
Задание 12
Найдите значение выражения $$(a^{3}-16a)(\frac{1}{a+4}-\frac{1}{a-4})$$ при a=-8
$$(a^{3}-16a)(\frac{1}{a+4}-\frac{1}{a-4})=a(a^{2}-16)(\frac{a-4}{a^{2}-16}-\frac{a+4}{a^{2}-16})=$$ $$=a(a^{2}-16)\frac{a-4-a-4}{a^{2}-16}=a*(-8)=-8*(-8)=64$$
Задание 13
Закон Джоуля–Ленца можно записать в виде Q=I2Rt, где Q — количество теплоты (в джоулях), I — сила тока (в амперах), R — сопротивление цепи (в омах), а t — время (в секундах). Пользуясь этой формулой, найдите время t (в секундах), если Q=378 Дж, I=3 A, R=7 Ом.
$$t=\frac{Q}{I^{2}R}=\frac{378}{3^{2}*7}=6$$
Задание 15
Наклонная крыша установлена на трёх вертикальных опорах, расположенных на одной прямой. Средняя опора стоит посередине между малой и большой опорами (см. рис.). Высота средней опоры 2,2 м, высота большей опоры 2,5 м. Найдите высоту меньшей опоры. Ответ дайте в метрах
Пусть высота меньшей опоры равна х. Тогда (т.к. средняя опора через середины проходит) мы можем применить формулу средней линии трапеции : $$\frac{x+2,5}{2}=2,2$$ $$x+2,5=4,4$$ $$x=1,9$$
Задание 16
Прямая касается окружности в точке K. Точка O – центр окружности. Хорда KM образует с касательной угол, равный 50. Найдите величину угла MOK. Ответ дайте в градусах.
Радиус, проведенный в точку касания, перпендикулярен касательной, значит ∠OKM = 90 - 50 = 40. Треугольник OMK равнобедренный ( так как OK ; OM - радиусы ). Значит ∠OMK = ∠OKM = 40 ∠MOK = 180 - ∠OMK - ∠OKM = 180 - 80 = 100
Задание 17
Катеты прямоугольного треугольника равны $$20\sqrt{41}$$ и $$25\sqrt{41}$$ . Найдите высоту, проведённую к гипотенузе.
Гипотенуза (c) = $$\sqrt{(20\sqrt{41})^{2} + (25\sqrt{41})^{2}} =\sqrt{25*41*41}=5*41$$ Высота прямоугольного треугольника h равна произведению катетов деленное на гипотенузу: $$h=\frac{(20\sqrt{41}) *(25\sqrt{41})}{5*41}=100$$
Задание 18
Найдите площадь трапеции, изображённой на рисунке.
Площадь трапеции находится как полусумма оснований на высоту (учитываем, что клетка равна 5). Первое основание а = 3 * 5 = 15 Второе основание b = 7 * 5 =35 Высота h = 4 * 5 = 20 $$S = \frac{15+35}{2}*20=500$$
Задание 19
Площадь прямоугольного треугольника равна $$250\sqrt{75}$$ . Один из острых углов равен 30°. Найдите длину гипотенузы треугольника.
Пусть a - катет, лежащий напротив 30 градусов, b - второй катет, с - гипотенуза. Так как a - напротив 30 градусов, то a = 0,5c. Тогда по теореме Пифагора: $$b = \sqrt{c^{2}-(0,5c)^{2}}=\frac{c\sqrt{3}}{2}$$ Площадь прямоугольного треугольника равна половине произведения его катетов: $$S=\frac{1}{2}ab=\frac{1}{2}0,5c*\frac{c\sqrt{3}}{2}$$ $$250\sqrt{75}=\frac{c^{2}*\sqrt{3}}{8}$$ $$c^2=\frac{250\sqrt{75}*8}{\sqrt{3}}=10000$$ Отсюда с равно 100
Задание 20
Какие из следующих утверждений верны?
1. Неверно , половине произведения 2. Неверно, еще умноженному на синус угла между ними 3. Верно
Задание 21
Найдите значение выражения: $$\sqrt{7+4\sqrt{3}}+\sqrt{7-4\sqrt{3}}$$
$$\sqrt{7+4\sqrt{3}}+\sqrt{7-4\sqrt{3}}=$$ $$=\sqrt{(2+\sqrt{3})^{2}}+\sqrt{(2-\sqrt{3})^{2}}=$$ $$=|2+\sqrt{3}|+|2-\sqrt{3}|=2+\sqrt{3}+2-\sqrt{3}=4$$
Задание 22
Через 1 мин после начала равномерного спуска воды из бассейна в нём осталось 400 м3 воды, а ещё через 3 мин - 250 м3 . Сколько воды было в бассейне до начала спуска?
За 3 мин спустило: $$400-250=150$$
в минуту спускает: $$\frac{150}{3}=50$$ м3
В начале было: $$400+50\cdot1=450$$ м3
Задание 23
Постройте график функции $$y=|\frac{x-2}{x}|$$ и определите, при каких значениях а прямая y=ах имеет с графиком ровно две общие точки
$$\frac{x-2}{x}=0$$
$$x=2$$; $$x\neq0$$
$$\left\{\begin{matrix}x\in(-\infty;0)\cup[2;+\infty)\\y=\frac{x-2}{x}=1-\frac{2}{x}\end{matrix}\right.$$
$$\left\{\begin{matrix}x\in(0;2]\\y=-\frac{x-2}{x}=\frac{2}{x}-1\end{matrix}\right.$$
$$ax=\frac{2}{x}-1$$ $$x>0$$
$$\frac{ax^{2}+x-2}{x}=0$$
$$D=0$$
$$ax^{2}+x-2=0$$
$$D=1+8a=0$$
$$a=\frac{1}{8}$$ $$\Rightarrow$$
$$a\in(0;\frac{1}{8})$$
Задание 24
Из одной точки проведены к окружности две касательные, длина каждой из которых равна 12 см, а расстояние между точками касания равно 14,4 см. Найдите радиус окружности.
1) $$OB\perp AB$$ и $$OC\perp CA$$ (свойство радиусов в точку касания), ОА - общая, $$AC=AB$$ по условию $$\Rightarrow$$ $$\bigtriangleup OBA=\bigtriangleup OAC$$
2) $$\bigtriangleup ABH=\bigtriangleup AHC$$ (АH - общая; $$\angle BAH=\angle HAC$$; $$AB=AC$$) $$\Rightarrow$$ $$BH=HC$$ и $$BC\perp OA$$ $$\Rightarrow$$ $$BH=HC=0,5BC=14,4\cdot0,5=7,2$$
3) По теореме Пифагора $$AH=\sqrt{AB^{2}-BH^{2}}=\sqrt{12^{2}-7,2^{2}}=\sqrt{92,16}=9,6$$
4) из $$\bigtriangleup BHA\sim \bigtriangleup BOA$$: $$\frac{HA}{AB}=\frac{BH}{OB}$$ $$\Rightarrow$$ $$OB=\frac{AB\cdot BH}{HA}=\frac{12\cdot7,2}{9,6}=9$$
Задание 25
Докажите, что прямая, проходящая через точки пересечения двух окружностей, делит пополам общую касательную к ним
По свойству касательной и секущей: $$AM^{2}=MC\cdot MN$$
$$MB^{2}=MC\cdot MN$$
$$\Rightarrow$$ $$AM^{2}=MB^{2}$$
$$\Rightarrow$$ $$AM=MB$$
ч.т.д.