Перейти к основному содержанию

ЕГЭ математика 2018. Разбор варианта Алекса Ларина № 209



Решаем ЕГЭ вариант Ларина № 209. Подробное решение 1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,13,14,15 заданий тренировочного варианта ЕГЭ Ларина № 209 (alexlarin.com)

 

Решаем ЕГЭ вариант Ларина № 209 ЕГЭ. Подробное решение 16,17,18,19 заданий тренировочного варианта ЕГЭ Ларина № 209 (alexlarin.com)

 

 
Аналоги к этому заданию:

Задание 1

Одна таблетка лекарства весит 20 мг и содержит 5% активного вещества. Ребёнку в возрасте до 6 месяцев врач прописывает 1,4 мг активного вещества на каждый килограмм веса в сутки. Сколько таблеток этого лекарства следует дать ребёнку в возрасте четырёх месяцев и весом 5 кг в течение суток?

Ответ: 7
Скрыть

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

Скрыть

1) 20*0,05=1 мг/в одной таблетке 2)1,4*5=7 мг ребенку в день 3)7/1=7 таблеток

 
Аналоги к этому заданию:

Задание 2

На рисунке жирными точками показана цена тонны никеля на момент закрытия биржевых торгов во все рабочие дни с 6 по 20 мая 2009 года. По горизонтали указываются числа месяца, по вертикали - цена тонны никеля в долларах США. Для наглядности жирные точки на рисунке соединены линией. Определите по рисунку какого числа цена тонны никеля на момент закрытия торгов была наименьшей за указанный период

Ответ: 18
Скрыть

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

Скрыть

Как видим по рисунку наименьшее значение соответствует 18 числу

 
Аналоги к этому заданию:

Задание 3

Площадь круга, изображённого на клетчатой бумаге, равна 12. Найдите площадь заштрихованного кругового сектора.

Ответ: 9
Скрыть

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

Скрыть

$$S_{c}=\frac{\pi R^{2}*\alpha }{360}=\frac{S_{k}*\alpha }{360}=\frac{12*270}{360}=9$$

 
Аналоги к этому заданию:

Задание 4

В классе 26 десятиклассников, среди них два близнеца – Фома и Ерёма. Класс случайным образом делят на две группы по 13 человек в каждой. Найдите вероятность того, что Фома и Ерёма окажутся в разных группах.

Ответ: 0,52
Скрыть

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

Скрыть

Пусть один из ребят уже находится в какой-то группе, тогда мест в ней свободных 12, а человек претендует 25. Следовательно, вероятность того, что второй попадет в ту же группу: 12/25=0.48 . Следовательно, вероятность того, что он не попадет: 1- 0.48=0.52

 
Аналоги к этому заданию:

Задание 5

Периметры двух подобных многоугольников относятся как 3:5. Площадь меньшего многоугольника равна 18. Найдите площадь большего многоугольника.

Ответ: 50
Скрыть

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

Скрыть

Периметры подобных фигур относятся как коэффициент подобия. То есть в нашем случае k=3/5 Площади подобных фигур относятся как квадрат коэффициента подобия. Пусть х - площадь большей фигуры, тогда: $$\frac{18}{x}=\frac{9}{25}$$ $$x=\frac{25*18}{9}=50$$

 
Аналоги к этому заданию:

Задание 6

На рисунке изображен график функции y=f(x), определенной на интервале (−6;8). Определите количество целых точек, в которых производная функции положительна.

Ответ: 4
Скрыть

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

Скрыть

Производная положительная в том случае, когда функция возрастает. Целые абсциссы на графики, где функция возрастает отмечены жирными точками. Их 4

 
Аналоги к этому заданию:

Задание 7

Во сколько раз увеличится площадь поверхности октаэдра, если все его ребра увеличить в 3 раза?

Ответ: 9
Скрыть

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

Скрыть

При увеличении ребра в три раза, площадь каждой грани, а соответственно, и октаэдра, увеличится в 9 раз ( так как площади пободных фигур относятся как квадрат коэффициента подобия)

 
Аналоги к этому заданию:

Задание 8

Найдите $$\sin 2\alpha $$, если $$\cos \alpha = 0.6$$ и $$\pi < \alpha < 2\pi $$

Ответ: -0.96
Скрыть

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

Скрыть

Угол соответствует 3 и 4 четверти координатной, следовательно, там у нас синус отрицательный: $$\sin \alpha =-\sqrt{1-(\cos \alpha)^{2}}=-\sqrt{1-0.36}=-0.8$$ $$\sin 2\alpha =2\sin \alpha * \cos \alpha=2*0.6*(-0.8)=-0.96$$

 
Аналоги к этому заданию:

Задание 9

По закону Ома для полной цепи сила тока, измеряемая в амперах, равна $$I=\frac{\varepsilon }{R+r}$$, где ε — ЭДС источника (в вольтах), r=4 Ом — его внутреннее сопротивление, R — сопротивление цепи (в омах). При каком наименьшем сопротивлении цепи сила тока будет составлять не более 5% от силы тока короткого замыкания $$I_{k3}=\frac{\varepsilon }{r}$$ ? (Ответ выразите в омах.)

Ответ: 76
Скрыть

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

Скрыть

$$\frac{\varepsilon }{R+r}=0.05*\frac{\varepsilon }{r}$$ $$\frac{1}{R+r}=\frac{1}{20r}$$ $$R+r=20r$$ $$R=19r=19*4=76$$

 
Аналоги к этому заданию:

Задание 10

Расстояние между пристанями A и B равно 120км. Из A в B по течению реки отправляется плот, а через час вслед за ним отправилась яхта, которая, прибыв в пункт B, тотчас повернула обратно и возвратилась в A. К этому моменту плот прошел 24км. Найдите скорость яхты в неподвижной воде, если скорость течения реки равна 2 км/ч. Ответ дайте в км/ч. 

Ответ: 22
Скрыть

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

Скрыть

Плот затратил 24/2=12 часов. Лодка выплыла на час позже: 12-1=11 часов. Пусть x - скорость лодки в стоячей воде, тогда общее время движения вычисляется как: $$\frac{120}{x+2}+\frac{120}{x-2}=11$$ $$120(x-2)+120(x+2)=11(x^{2}-4)$$ $$11x^{2}-240x-44=0$$ $$D=57600+1936=59536=244^{2}$$ $$x_{1}=\frac{240+244}{22}=22$$ $$x_{2}$$-меньше нуля

 
Аналоги к этому заданию:

Задание 11

Найдите точку максимума функции $$y=x^{3}-12x^{2}+36x-30$$

Ответ: 2
Скрыть

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

Скрыть

Найдем производную этой функции и приравняем ее к нулю: $$y^{'}=3x^{2}-24x+36=0$$ | : 3 $$x^{2}-8x+12=0$$ $$x_{1}=2 ; x_{2}=6$$ Отметим эти точки на координатной прямой и расставим знаки производной (для этого будем подставлять по числу из каждого промежутка в производную). Получим, что до 2 функция возрастает, от 2 до 8 убывает, и от 8 снова возрастает. Значит 2 - точка максимума

 
Аналоги к этому заданию:

Задание 12

а) Решите уравнение $$18^{x}-9^{x+1}-2^{x+2}+36=0$$;

б) Укажите корни этого уравнения, принадлежащие отрезку [2; 4]

Ответ: а) $$\log_{2}9$$; $$\log_{9}4$$; б) $$\log_{2}9$$
Скрыть

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

Скрыть

$$18^{x}-9^{x+1}-2^{x+2}+36=0$$ $$18^{x}-9\cdot9^{x}-4\cdot2^{x}+36=0$$ $$9^{x}\cdot(2^{x}-9)-4\cdot(2^{x}-9)=0$$ $$(2^{x}-9)\cdot(9^{x}-4)=0$$ $$\left\{\begin{matrix}x=\log_{2}9\in [2;4]\\x=\log_{9}4\notin [2;4]\end{matrix}\right.$$

 
Аналоги к этому заданию:

Задание 13

Внутри куба расположены два равных шара, касающихся друга. При этом один шар касается трех граней куба, имеющих общую вершину, а другой касается трех оставшихся граней.
а) Докажите, что центры шаров принадлежат диагонали куба, исходящей из общей для граней вершины.
б) Найдите радиусы этих шаров, если ребро куба равно 13.

Ответ: $$\frac{13\sqrt{3}}{2+2\sqrt{3}}$$
Скрыть

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

Скрыть

a) Пусть шар с центром в точке $$O_1$$ касается граней $$ABCD,AA_1D_1D,AA_1B_1B$$, соответственно шар с центром в точке $$O_2$$ касается граней $$A_1B_1C_1D_1,BB_1C_1C,DD_1C_1C$$.

Так как первый шар касается граней $$AA_1B_1B,AA_1D_1D$$, то его центр $$O_1$$ равноудален от указанных граней, то есть лежит на биссекторной плоскости двугранного угла c ребром $$AA_1$$, то есть на плоскости $$AA_1C_1C$$ (с учетом того, что $$ABCDA_1B_1C_1D_1$$ – куб).

Так первый шар касается граней $$ABCD,AA_1D_1D$$, то его центр $$O_1$$ равноудален от указанных граней, то есть лежит на биссекторной плоскости двугранного угла c ребром $$AD$$, то есть на плоскости $$AB_1C_1D$$ (с учетом того, что $$ABCDA_1B_1C_1D_1$$ – куб).

Но тогда точка $$O_1$$ лежит на прямой пересечения плоскостей $$AA_1C_1C,AB_1C_1D$$, то есть на $$AC_1$$ (естественно, раз шар находится внутри куба, то $$O_1$$ – точка отрезка $$AC_1$$).

Рассуждая аналогичным образом, приходим к тому, что и точка $$O_2$$ лежит на отрезке $$AC_1$$.

б) Очевидно, $$A_1C_1=13\sqrt2$$, $$AC_1=13\sqrt3$$. Очевидно, в силу симметрии, $$AO_1=C_1O_2$$ и $$AO_1=C_1O_2=\frac{13\sqrt3-2r}{2}$$, где $$r$$ – радиусы шаров.

Пусть, например, $$K_2$$ – точка касания второго шара с гранью $$A_1B_1C_1D_1$$ ($$K_2$$ принадлежит $$A_1C_1$$).

Треугольники $$AA_1C_1,O_2K_2C_1$$ подобны по двум углам, тогда $$\frac{AA_1}{O_2K_2}=\frac{AC_1}{O_2C_1}$$; $$\frac{13}{r}=\frac{13\sqrt2}{\frac{13\sqrt3-2r}{2}}$$; $$\frac{1}{r}=\frac{2\sqrt2}{13\sqrt3-2r}$$; $$2\sqrt2 r=13\sqrt3-2r$$; $$r(2\sqrt2+2)=13\sqrt3$$; $$r=\frac{13\sqrt3}{2\sqrt2+2}$$.

 
Аналоги к этому заданию:

Задание 14

Решите неравенство $$\log_{\frac{5-x}{4}}(x-2)\cdot \log_{x-2}(6x-x^{2})\geq \log_{\frac{5-x}{4}}(3x^{2}-10x+15)$$

Ответ: [2,5; 3) $$\cup$$ (3; 5)
Скрыть

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

Скрыть

$$\left\{\begin{matrix}\frac{5-x}{4}>0\\\frac{5-x}{4}\neq1\\x-2\neq1\\x-2>0\\6x-x^{2}>0\\3x^{2}-10x+15>0\end{matrix}\right.$$ $$\Leftrightarrow$$ $$\left\{\begin{matrix}5-x>0\Rightarrow x<5\\x\neq1; x\neq3\\x>2\\x\in(0;6)\end{matrix}\right.$$ $$3x^{2}-10x+15>0$$ $$D=100-12\cdot15>0$$ $$x\in(2; 5)$$ $$\log_{\frac{5-x}{4}}(x-2)\cdot \log_{x-2}(6x-x^{2})\geq \log_{\frac{5-x}{4}}(3x^{2}-10x+15)$$ $$\frac{1}{\log_{x-2}\frac{5-x}{4}}\cdot \log_{x-2}(6x-x^{2})\geq \log_{\frac{5-x}{4}}(3x^{2}-10x+15)$$ $$\log_{\frac{5-x}{4}}(6x-x^{2})\geq \log_{\frac{5-x}{4}}(3x^{2}-10x+15)$$ $$(\frac{5-x}{4}-1)(6x-x^{2}-(3x^{2}-10x+15))\geq0$$ $$\frac{5-x-4}{4}\cdot(6x-x^{2}-3x^{2}+10x-15))\geq0$$ $$(1-x)\cdot(-4x^{2}+16x-15)\geq0$$ $$(x-1)\cdot(4x^{2}-16x+15)\geq0$$ $$D=256-240=16$$ $$x_{1}=\frac{16+4}{8}=2,5$$ $$x_{2}=\frac{16-4}{8}=1,5$$

 
Аналоги к этому заданию:

Задание 15

Точка $$E$$ – середина боковой стороны $$CD$$ трапеции $$ABCD$$. На стороне $$AB$$ отмечена точка $$K$$ так, что $$CK\parallel AE$$. Прямые $$CK,BE$$ пересекаются в точке $$O$$.

а) Докажите, что $$CO=OK$$.
б) Найдите отношение оснований трапеции $$BC$$ и $$AD$$, если площадь треугольника $$BCK$$ составляет 0,09 площади трапеции $$ABCD$$.
Ответ: $$3:7$$.
 
Аналоги к этому заданию:

Задание 16

Иван Петрович получил кредит в банке под определенный процент годовых. Через год в счет погашения кредита он вернул в банк 1/6 от всей суммы, которую он должен банку к этому времени. А еще через год в счет полного погашения кредита Иван Петрович внес в банк сумму, на 20% превышающую величину полученного кредита. Каков процент годовых по кредиту в данном банке?

Ответ: 20
 
Аналоги к этому заданию:

Задание 17

При каких значениях параметра $$a$$ система уравнений $$\left\{\begin{matrix} 9y=(a-1)^2+9(x-a)^2,\\ y=log_2(1+\frac{|x|}{x}); \end{matrix}\right.$$ имеет единственное решение?

Ответ: $$(-0,8;1]\cup \left \{ 4 \right \}$$.
 
Аналоги к этому заданию:

Задание 18

Натуральные числа от 1 до 12 разбивают на четыре группы, в каждой из которых есть по крайней мере два числа. Для каждой группы находят сумму чисел этой группы. Для каждой пары групп находят модуль разности полученных сумм и полученные 6 чисел складывают.

а) Может ли в результате получиться 0?
б) Может ли в результате получиться 1?
в) Какое наименьшее возможное значение полученного результата?
Ответ: а) нет; б) нет; в) 4.