Перейти к основному содержанию

ЕГЭ Профиль

ЕГЭ (профиль) / (C1) Уравнения

 

Задание 907

Дано уравнение $$\sqrt{1-\sin ^{2}x}=\sin x$$.

a) Решите уравнение.

б) Найдите корни этого уравнения, принадлежащие отрезку $$\left [\frac{5\pi}{2};4\pi \right ]$$

Ответ: А) $$\frac{\pi}{4}+2\pi n;\frac{3\pi}{4}+2\pi m,n,m\in Z$$ Б) $$\frac{11\pi}{4}$$
Скрыть

$$ \sqrt{1-\sin ^{2}x}=\sin x \Leftrightarrow \left\{\begin{matrix}\sqrt{1-\sin ^{2}x}\geq 0\\ \sin x\geq 0\\\ 1-\sin ^{2}x=\sin ^{2} x\end{matrix}\right.$$ $$\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} 1-\sin ^{2}x\geq 0\\ \sin x\geq 0\\\ 1-\sin ^{2}x=\sin ^{2} x\end{matrix}\right.$$ $$\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix}\sin ^2 x\leq 1\\ \sin x\geq 0\\\ 1=2\sin ^{2} x\end{matrix}\right.$$ $$\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix}\sin ^{2}x\leq 1\\ \sin x\geq 0\\\ \sin x = \pm \frac{\sqrt{2}}{2}\end{matrix}\right.$$ $$\Leftrightarrow \sin x = \frac{\sqrt{2}}{2}$$ $$\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix}\ x=\frac{\pi}{4}+2\pi n , n\in Z\\ x=\frac{3\pi}{4}+2\pi n n\in Z\end{matrix}\right.$$

Задание 1145

а) Ре­ши­те урав­не­ние  $$1+\log_{2} (9x^{2}+5)=log_{\sqrt{2}} \sqrt{8x^{4}+14}$$

б) Най­ди­те все корни этого урав­не­ния, при­над­ле­жа­щие от­рез­ку $$ \left [ -1;\frac{8}{9} \right ]$$

Ответ: a) $$\sqrt{2}$$ ; $$-\sqrt{2} $$; $$\frac{1}{2}$$ ; $$-\frac{1}{2}$$ ; б) $$\frac{1}{2}$$ ; $$-\frac{1}{2} $$

Задание 1146

а) Ре­ши­те урав­не­ние  $$ -\sqrt{2}\sin (-\frac{5\pi}{2}+x) * \sin x = \cos x$$

б) Най­ди­те все корни этого урав­не­ния, при­над­ле­жа­щие от­рез­ку $$\left [ \frac{9\pi }{2};6\pi \right ]$$

Ответ: a) $$\frac{\pi }{2}+\pi k ; \frac{\pi }{4}+2\pi k ;\frac{3\pi }{2}+2\pi k ; k\in Z$$ ; б)$$4,5\pi ; 4.75\pi ; 5,5\pi $$
Скрыть

a) $$-\sqrt{2}*\sin(-\frac{5\pi }{2}+x)*\sin x=\cos x$$

Воспользуемся формулой привидения:

$$\sin (-\frac{5\pi }{2}+x)=-\cos x$$

$$-\sqrt{2}(-\cos x))*\sin x -\cos x =0$$

$$\sqrt{2}*\cos x *\sin x -\cos x=0$$

$$\cos x (\sqrt{2}*\sin x -1 )=0$$

$$\left\{\begin{matrix}\cos x=0\\\sqrt{2}*\sin x-1=0\end{matrix}\right.\Leftrightarrow$$ $$\left\{\begin{matrix}x=\frac{\pi }{2}+\pi \kappa ,\kappa \in Z\\\sin x=\frac{\sqrt{2}}{2}\end{matrix}\right.\Leftrightarrow$$ $$\left\{\begin{matrix}x=\frac{\pi }{2}+\pi \kappa , \kappa \in Z\\x=(-1) ^{n}*\frac{\pi }{4}+\pi n, n\in Z\end{matrix}\right.$$

b) Видим , что на промежутках есть корень $$\frac{3\pi }{4}+2\pi n, n\in Z.$$ Найдем его:

$$5\pi -\frac{\pi }{4}=\frac{19 \pi }{4}$$

Так же есть корни $$\frac{ \pi }{2}+\pi n , n \in Z$$. Найдем их: $$\frac{9\pi }{2}; 5\pi +\frac{\pi }{2}=5,5\pi$$

Задание 1147

а) Ре­ши­те урав­не­ние  $$\log_{5} (2-x) = \log_{25} x^{4}$$

б) Ука­жи­те корни этого урав­не­ния, при­над­ле­жа­щие от­рез­ку  $$\left [ \log_{9} \frac{1}{82};\log_{9} 8 \right ]$$

 

Ответ: a) -2 ; 1 б)-2

Задание 1148

а) Ре­ши­те урав­не­ние $$6\log_{8}^{2} x - 5\log_{8} x +1 = 0 $$

б) Най­ди­те все корни этого урав­не­ния, при­над­ле­жа­щие от­рез­ку  [2 ; 2,5]

 

Ответ: а)2 и $$2\sqrt{2} $$ ; б)2

Задание 1149

а) Ре­ши­те урав­не­ние  $$9^{x-\frac{1}{2}}-8*3^{x-1}+5=0 $$

б) Най­ди­те все корни этого урав­не­ния, при­над­ле­жа­щие про­ме­жут­ку  $$ \left ( 1;\frac{7}{3} \right )$$

Ответ: а)  1 ; $$\log_{3} 5$$  б)  $$\log_{3} 5$$

Ответ:

Задание 1150

а) Ре­ши­те урав­не­ние  $$4^{x^{2}-2x+1}+4^{x^{2}-2x}=20$$

б) Най­ди­те все корни этого урав­не­ния, при­над­ле­жа­щие от­рез­ку $$\left [ -1;2 \right ]$$

Ответ: a)$$1\pm \sqrt{2}$$; б)$$1- \sqrt{2}$$

Задание 1151

а) Ре­ши­те урав­не­ние $$ 7*9^{x^{2}-3x+1}+5*6^{x^{2}-3x+1}-48-48*4^{x^{2}-3x}=0$$

б) Най­ди­те все корни этого урав­не­ния, при­над­ле­жа­щие от­рез­ку [−1; 2].

 

Ответ: a)$$\frac{3\pm \sqrt{5}}{2} $$; б) $$\frac{3- \sqrt{5}}{2}$$

Задание 1152

а) Ре­ши­те урав­не­ние  $$ 27^{x}-5*9^{x}-3^{x+2}+45=0 $$

б) Ука­жи­те корни этого урав­не­ния, при­над­ле­жа­щие от­рез­ку  $$\left [ \log_{3} 4 ; \log_{3} 10 \right ]$$

Ответ: a) 1 ; $$ \log_{3} 5$$ ; б)$$ \log_{3} 5$$

Задание 1153

а) Ре­ши­те урав­не­ние  $$3*9^{x-\frac{1}{2}}-7*6^{x}+3*4^{x+1}=0$$

б) Ука­жи­те корни этого урав­не­ния, при­над­ле­жа­ще­го от­рез­ку  [2 ; 3]

Ответ: a) $$ \log_{\frac{3}{2}} 3 ; \log_{\frac{3}{2}} 4 $$ ; б) $$\log_{\frac{3}{2}} 3$$
 

Задание 2356

Дано уравнение: $$4^{\sin x\cdot \cos x}=2^{\cos 2x}$$

А) Решите уравнение.
Б) Укажите корни этого уравнения, принадлежащие отрезку: $$\left [ \frac{13\pi }{6}; \frac{7\pi }{2} \right ]$$.
Ответ: А) $$\frac{\pi }{8}+\frac{\pi n}{2} , n\in z$$; Б) $$\left \{ \frac{21\pi }{8}; \frac{25\pi }{8} \right \}$$
Скрыть

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

 

Задание 2498

Дано уравнение: $$\frac{2}{\cos (\pi -x)}-\tan ^{2}x=1$$

А) Решите уравнение.
Б) Укажите корни этого уравнение, принадлежащие отрезку $$\left [ -3\pi; -\frac{3\pi}{2} \right ]$$
Ответ: а) $$x=\pm \frac{2\pi}{3}+2\pi k(k\in Z)$$; б)$$-\frac{8\pi}{3}$$
Скрыть

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

Скрыть

a) $$\frac{2}{\cos(\pi-x)}-\tan^{2}x=1$$ $$\left\{\begin{matrix}\cos(\pi -x)\neq0\\x\neq\frac{\pi}{2}+\pi k(k\in Z)\end{matrix}\right.$$ $$\Leftrightarrow$$ $$\left\{\begin{matrix}-\cos x\neq0\\x\neq\frac{\pi}{2}+\pi k(k\in Z)\end{matrix}\right.$$ $$\frac{2}{-\cos x}=1+\tan^{2}x=\frac{1}{\cos^{2}x}$$ $$\frac{1}{\cos x}=y^{2}$$ $$-2y=y^{2}$$ $$\Leftrightarrow$$ $$y^{2}+2y=0$$ $$y(y+2)=0$$ $$\left\{\begin{matrix}y=0\\y=-2\end{matrix}\right.$$ $$\Leftrightarrow$$ $$\left\{\begin{matrix}\frac{1}{\cos x}=0\\\frac{1}{\cos x}=-2\end{matrix}\right.$$ $$\Leftrightarrow\cos x=-\frac{1}{2}$$ $$\Leftrightarrow$$ $$x=\pm \frac{2\pi}{3}+2\pi k(k\in Z)$$

б)

$$-3\pi +\frac{\pi}{3}=-\frac{8\pi}{3}$$

 

Задание 2829

Дано уравнение $$\sin x=\cos (\frac{\pi}{3}-x)$$ .
А) Решите уравнение.
Б) Укажите корни этого уравнения, принадлежащие отрезку $$\left [ 4\pi; \frac{16\pi}{3}\right ]$$.

Ответ: а) $$\frac{5\pi }{12}+\pi k, k\in Z;$$ б) $$\frac{53\pi }{12}$$
Скрыть

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

 

Задание 2866

а) Решите уравнение $$\sin (2x+\frac{\pi}{2})=\cos(x+\frac{\pi}{2})+\sin(x+\frac{\pi}{2})$$

б) Укажите корни этого уравнения, принадлежащие отрезку [$$-\frac{3\pi}{2}; 0$$]

Ответ: а) $$\frac{\pi}{4}+\pi n$$; $$\frac{\pi}{2}+2\pi n$$; $$2\pi n(n\in Z)$$; б) $$-3\frac{\pi}{2}$$; $$-3\frac{\pi}{4}$$; $$0$$
Скрыть

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

Скрыть

$$\sin (2x+\frac{\pi}{2})=\cos(x+\frac{\pi}{2})+\sin(x+\frac{\pi}{2})$$ [$$-\frac{3\pi}{2}; 0$$] $$\cos 2x=-\sin x+\cos x$$ $$\cos ^{2}x-\sin^{2} x+\sin x-\cos x=0$$ $$(\cos x-\sin x)(\cos x+\sin x)-(\cos x-\sin x)=0$$ $$(\cos x-\sin x)(\cos x+\sin x-1)=0$$ $$\left\{\begin{matrix}\cos x=\sin x\\\cos x+\sin x-1=0\end{matrix}\right.$$ $$\cos x=1-2\sin ^{2}\frac{x}{2}$$ $$\left\{\begin{matrix}1=\tan x\\1-2\sin^{2}\frac{x}{2}+2\sin\frac{x}{2}\cos \frac{x}{2}-1=0\end{matrix}\right.$$ $$\Leftrightarrow$$ $$\left\{\begin{matrix}x=\frac{\pi}{4}+\pi n (n\in Z)\\2\sin\frac{x}{2}(\cos\frac{x}{2}-\sin\frac{x}{2})=0\end{matrix}\right.$$ $$\Leftrightarrow$$ $$\left\{\begin{matrix}x=\frac{\pi}{4}+\pi n(n\in Z)\\\sin\frac{x}{2}=0\\\cos\frac{x}{2}-\sin\frac{x}{2}=0\end{matrix}\right.$$ $$\Leftrightarrow$$ $$\left\{\begin{matrix}x=\frac{\pi}{4}+\pi n(n\in Z)\\\frac{x}{2}=\pi n\\\tan\frac{x}{2}=1\end{matrix}\right.$$ $$\Leftrightarrow$$ $$\left\{\begin{matrix}x=\frac{\pi}{4}+\pi n(n\in Z)\\x=2\pi n(n\in Z)\\\frac{x}{2}=\frac{\pi}{4}+\pi n\end{matrix}\right.$$ $$\Leftrightarrow$$ $$\left\{\begin{matrix}x=\frac{\pi}{4}+\pi n(n\in Z)\\x=2\pi n(n\in Z)\\x=\frac{\pi}{2}+2\pi n(n\in Z)\end{matrix}\right.$$

 

Задание 2944

а) Решите уравнение $$\sin {2x} +2\sin{x}=1+\cos{x}$$ б) Укажите корни этого уравнения, принадлежащие отрезку [-4 ; -3]

Ответ: а) $$\pi +2\pi n ; \frac{\pi}{6}+2\pi * n ; \frac{5\pi}{6}+2\pi * n$$ б) $$\frac{-7\pi}{6} ; -\pi$$
Скрыть

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!