Перейти к основному содержанию

Учебник

Алгебра / Действительные числа

Элементы теории множеств

Что же такое множество? Как таковое, данное понятие не имеет определения. Его можно интерпретировать как совокупность объектов определенного свойства, природы. Например, множество точек на плоскости, множество равных геометрических фигур и тд.

Множество состоит из элементов. Само множество принято обозначать заглавной латинской буквой (А, B, C и тд.), а элементы – строчными латинскими буквами (а, b, c и тд).
Если элемент входит в какое-либо множество (или принадлежит) , то используется следующий знак: $$\in $$
Например, элемент x принадлежит множеству A, на математическом языке будет выглядеть как: $$x\in A$$
Если же элемент не входит в множество, то используется знак ∉, например элемент x не принадлежит множеству A:   $$x\notin A$$
В математике используются следующие числовые множества:
N – множество натуральных чисел
Z – множество целых чисел
Q – множество рациональных чисел
R – множество действительных чисел
K ( или С) – множество комплексных чисел
Если множество не содержит никаких элементов, то его обозначают как пустое множество: ∅
Иногда множество можно записать с помощью перечисления элементов, в него входящих. В таком случае, элементы берутся в фигурные скобки, например: A={1;2;3}. В данном случае мы указали множество А, состоящее из элементов 1, 2 и 3.
Если же в множестве используется перечисление всех чисел с отрезка или промежутка, то используются квадратные и круглые скобки, например, множество чисел на отрезке от 1 до 4 будет выглядеть A=[1;4]
Иногда невозможно задать все элементы множества в силу их бесконечности, тогда в фигурных скобках указывается характеристика этих элементов: A={x ,x<2}. То есть мы задали множество A, состоящее из действительных чисел, каждое их которых меньше двух.
Если два множества состоят из одинаковых элементов, то можно говорить о равенстве множеств и обозначается это c знака равенства: A = B. Например, если множество A = {1; 2; 3} и множество B = {1; 2 ;3 }, тогда можно говорить о равенстве множеств A и B.
При этом следует учитывать, что если есть расхождение хотя в одном элементе, то равенства уже не будет. Так, если множество A = {1; 2; 3} и множество B = {1; 2; 3; 4}, то A ≠ B.
При этом вводится понятие подмножества и принадлежности.  Так, если все элементы одного множества входят в элементы другого множества, то первое является подмножеством второго множества.  В приведенном примере множество A является подмножеством множества B, и записывается это  (множество A принадлежит множеству B или же множество B включает множество А). Знак ⊂ называется знаком включения.
Основными операциями над множествами являются операции пересечения и объединения.
Пусть даны множества A и B. Тогда множество C будет пересечением множеств A и B в том случае, если оно состоит только из элементов, которые входят одновременно и в множество А и в множество B. Знак пересечения выглядит как: ⋂. Например:
А={1;2;3;4} и B={1;3;5}. Тогда A⋂B=C={1;3}
Число 1 и 3 содержится и в множестве A и в множестве B, именно поэтому они попадают в множество C.
Рисунок 1. Геометрическая интерпретация пересечения множеств A и B.
На рисунке 1 показано, как может быть изображено пересечение множеств. Заштрихованная область и есть результатом действия пересечения.
Кстати, пересечение множеств, математически задается как знак системы ( { ). Но об этом позже
Надо понимать, что если в двух множествах нет одинаковых элементов, то результатом их пересечения будет пустое множество:
A={1;2;3;4} и B={11;30;50}. Тогда A⋂B=C=∅
Замечу, что данное действие подходит как для трех множеств, четырех и более. Смысл остается в нахождении всех элементов, которые принадлежали бы каждому из начальных множеств.
Пусть даны множества A и B. Тогда множество C будет объединением множеств A и B в том случае, если оно состоит из всех элементов, которые входят и в множество А, и в множество B. Знак пересечения выглядит как: ∪ . Например:
A={1;2;3;4} и B={1;3;5}. Тогда A⋂B=C={1;2;3;4;5}
При этом не нужно перечислять дважды (трижды и тд) элемент, если он входит одновременно в оба подмножества, то есть 1 и 3 в нашем примере записывается один раз.
Рисунок 2. Геометрическая интерпретация объединения множеств A и B.
Аналогично с пересечением, данные правила действуют для объединения двух, трех и более множеств.
Вообще, частенько понятие множества и операций над ними используется при решении уравнения и неравенств, и именно здесь бывают обидные и распространенные ошибки на ЕГЭ, когда при правильном решении задания, конечная фаза нахождения объединения или пересечения корней (решений) делалась неправильно.
Так же следует указать еще некоторые математические символы, используемые для решения заданий:
Знак следствия:  ⇒. Если вам даны два утверждения а и b, и из истинности a следует истинность b, то используем этот знак. Часто встречается при доказательствах в геометрии. Например, в треугольнике ABC два угла при основании равны ⇒ данный треугольник равнобедренный.
Знак равносильности: ⇔. Если два высказывания a и b, так что из a следует b и наоборот, то используют этот знак. Часто используется при решении уравнений.  Например: 2x = 6 ⇔ x = 3
Знак существования: ∃. Как следует из названия, данным знаком можно заменить слово “существует”.
Знак всеобщности: ∀. Ну а этим знаком можно заменить слова “для любого”, “всякий”.
Например, если мы возьмем множество целых чисел B без нуля (x≠0), и множество обратных чисел A, то мы можем записать ∀ x ∈ B ∃ y ∈ A, что означает для всякого числа x, которое принадлежит множеству B, найдется число y, принадлежащее множеству A. Но это лирика, и крайние два вам встретятся ближе к матанализу.
У крайних символов, естественно, существует собственное название с использованием такого страшного слова, как квантор, но для понимания школьной математики вам оно не нужно.