Перейти к основному содержанию

Учебник

Алгебра / Действительные числа

Действия с действительными числами

Если число α нельзя представить в виде несократимой дроби $$\frac{p}{q}$$, то его называют иррациональным.
Иррациональное число записывается в виде бесконечной непериодической десятичной дроби.

Факт существования иррациональных чисел продемонстрируем на примере.
Пример 1.4.1. Докажите, что не существует рационального числа, квадрат которого равен 2.
Решение. Предположим, что существует несократимая дробь $$\frac{p}{q}$$ такая, что $$(\frac{p}{q})^{2}=2$$
или $$p^{2}=2q^{2}$$. Отсюда следует, что $$p^{2}$$ кратно 2, а значит, и p кратно 2. В противном случае, если p не делится на 2, т.е. $$p=2k-1$$, то $$p^{2}=(2k-1)^{2}=4k^{2}-4k+1$$ также не делится на 2. Следовательно, $$p=2k$$ $$\Rightarrow$$ $$p^{2}=4k^{2}$$ $$\Rightarrow$$ $$4k^{2}=2q^{2}$$ $$\Rightarrow$$ $$q^{2}=2k^{2}$$.
Поскольку $$q^{2}$$ кратно 2, то и q кратно 2, т.е. $$q=2m$$.
Итак, числа p и q имеют общий множитель – число 2, а значит, дробь $$\frac{p}{q}$$ сократимая.
Это противоречие означает, что сделанное предположение неверно, тем самым утверждение доказано.
Множество рациональных и иррациональных чисел называется множеством действительных чисел.
В множестве действительных чисел аксиоматически вводятся операции сложения и умножения : любым двум действительным числам a и b ставится в соответствие число $$a+b$$ и произведение $$a\cdot b$$.
Кроме того, в этом множестве вводятся отношения "больше", "меньше" и равенства :
$$a>b$$ тогда и только тогда, когда a - b – положительное число;
$$a<b$$ тогда и только тогда, когда a - b – отрицательное число;
a = b тогда и только тогда, когда a - b = 0.
Перечислим основные свойства числовых неравенств.
1. Если $$a>b$$ и $$b>c$$ $$\Rightarrow$$ $$a>c$$.
2. Если $$a>b$$ и $$c>0$$ $$\Rightarrow$$ $$ac>bc$$.
3. Если $$a>b$$ и $$c<0$$ $$\Rightarrow$$ $$ac<bc$$.
4. Если $$a>b$$ и c – любое число $$\Rightarrow$$ $$a+c>b+c$$.
5. Если a, b, c, d – положительные числа такие, что $$a>b$$ и $$c>d$$ $$\Rightarrow$$ $$ac>bd$$.
Следствие. Если a и b – положительные числа и $$a>b$$ $$\Rightarrow$$ $$a^{2}>b^{2}$$.
6. Если $$a>b$$ и $$c>d$$ $$\Rightarrow$$ $$a+c>b+d$$.
7. Если $$a>0$$, $$b>0$$ и $$a>b$$ $$\Rightarrow$$ $$\frac{1}{a}<\frac{1}{b}$$.
 

Геометрическая интерпретация действительных чисел.
Возьмем прямую l, см. рис. 1.4.1, и зафиксируем на ней точку O – начало отсчета.
Точка O разбивает прямую на две части – лучи. Луч, направленный вправо, назовем положительным лучом, а луч, направленный влево – отрицательным. На прямой отметим отрезок, принятый за единицу длины, т.е. вводим масштаб.

 Рис. 1.4.1. Геометрическая интерпретация действительных чисел.

Прямая с выбранным началом отсчета, положительным направлением и масштабом называется числовой прямой.
Каждой точке числовой прямой можно поставить в соответствие действительное число по следующему правилу:

– точке О поставим в соответствие нуль;
– каждой точке N на положительном луче поставим в соответствие положительное число a, где a – длина отрезка ON ;
– каждой точке M на отрицательном луче поставим в соответствие отрицательное число b, где $$b=-\left | OM \right |$$ (длина отрезка OM, взятая со знаком минус).
Таким образом, между множеством всех точек числовой прямой и множеством действительных чисел устанавливается взаимно–однозначное соответствие, т.е. :
1) каждой точке на числовой прямой поставлено в соответствие одно и только одно действительное число;
2) разным точкам поставлены в соответствие разные числа;
3) нет ни одного действительного числа, которое не соответствовало бы какой–либо точке числовой прямой.

Пример 1.4.2. На числовой прямой отметьте точки, соответствующие числам :
1) $$1\frac{5}{7}$$ 2) $$\sqrt{2}$$ 3) $$\sqrt{3}$$
Решение. 1) Для того, чтобы отметить дробное число $$\frac{12}{7}$$, надо построить точку, соответствующую $$\frac{12}{7}$$.
Для этого надо отрезок длины 1 разделить на 7 равных частей. Эту задачу решаем так.
Проводим произвольный луч из т.О и на этом луче отложим 7 равных отрезков. Получим
отрезок ОА, и из т. А проведем прямую до пересечения с 1.

Рис. 1.4.2. Деление единичного отрезка на 7 равных частей.

Прямые, проведенные параллельно прямой А1 через концы отложенных отрезков, делят отрезок единичной длины на 7 равных частей (рис.1.4.2). Это дает возможность построить точку, изображающую число $$1\frac{5}{7}$$ (рис.1.4.3).

Рис. 1.4.3. Точка числовой оси, соответствующая числу $$1\frac{5}{7}$$.

2) Число $$\sqrt{2}$$ можно получить так. Построим прямоугольный треугольник с единичными катетами. Тогда длина гипотенузы равна $$\sqrt{2}$$; этот отрезок откладываем от О на числовой прямой (рис.1.4.4).
3) Для построения точки, удаленной от т.О на расстояние $$\sqrt{3}$$ (вправо) надо построить прямоугольный треугольник с катетами длиной 1 и $$\sqrt{2}$$. Тогда его гипотенуза имеет длину $$\sqrt{2}$$, что позволяет указать искомую точку на числовой оси.
Для действительных чисел определено понятие модуля (или абсолютной величины).

Рис. 1.4.4. Точка числовой оси, соответствующая числу $$\sqrt{2}$$.

Модулем действительного числа a называется :
– само это число, если a – положительное число;
– нуль, если a – нуль;
-a, если a – отрицательное число.
Модуль числа a обозначается $$\left | a \right |$$.
Определение модуля (или абсолютной величины) можно записать в виде

$$\left | a \right |=\left\{\begin{matrix}a, a\geq0\\-a, a<0\end{matrix}\right.$$ (1.4.1)

Геометрически модуль числа a означает расстояние на числовой прямой от начала отсчета О до точки, соответствующей числу a.
Отметим некоторые свойства модуля.
1. Для любого числа a справедливо равенство $$\left | a \right |=\left | -a \right |$$.
2. Для любых чисел a и b справедливы равенства

$$\left | ab \right |=\left | a \right |\cdot \left | b \right |$$; $$\left | \frac{a}{b} \right |=\frac{\left | a \right |}{\left | b \right |}$$ $$(b\neq 0)$$; $$\left | a \right |^{2}=a^{2}$$.

3. Для любого числа a справедливо неравенство $$\left | a \right |\geq 0$$.
4. Для любого числа a справедливо неравенство $$-\left | a \right |\leq a\leq \left | a \right |$$.
5. Для любых чисел a и b справедливо неравенство

$$\left | a+b \right |\leq \left | a \right |+\left | b \right |$$

Рассмотрим следующие числовые множества.
Если $$a<b$$, то
1) отрезком [a; b] называется множество всех действительных чисел α для каждого из которых справедливо: $$a\leq \alpha \leq b$$;
2) интервалом (a; b) называется множество всех действительных чисел α, для каждого из которых справедливо: $$a<\alpha <b$$;
3) полуинтервалом (a; b] называется множество всех действительных чисел α для каждого из которых справедливо : $$a<\alpha \leq b$$.
Аналогично можно ввести полуинтервал [a; b).
4) лучом [a; ∞) называется множество всех действительных чисел α, для каждого из которых справедливо : $$\alpha \geq a$$.
Аналогично можно ввести лучи $$(a; \infty )$$; $$(\infty; b)$$; (-∞; b].
В некоторых случаях говорят о "промежутках", понимая под этим либо луч, либо отрезок, либо интервал, либо полуинтервал.

Множество R всех действительных чисел обозначают так : $$(-\infty; \infty )$$.
Для любого действительного числа a вводится понятие степени с натуральным показателем n, а именно

$$a^{n}=\underbrace {a\cdot a\cdot a\cdot a...a}$$, $$n\geq 2$$ и $$a^{1}=a$$.

Пусть a – любое отличное от нуля число, тогда по определению $$a^{0}=1$$.
Нулевая степень нуля не определена.
Пусть a – любое отличное от нуля число, m – любое целое число. Тогда число $$a^{m}$$ определяется по правилу:

$$a^{m}=\left\{\begin{matrix}a, m=1;\\\underbrace{a\cdot a\cdot a\cdot a...a}, m\in N, m\geq2;\\1, m=0;\\\frac{1}{a^{n}}, m=-n, n\in N\end{matrix}\right.$$

при этом am называется степенью с целым показателем.

Прежде, чем определить понятие степени с рациональным показателем, введем понятие арифметического корня.
Арифметическим корнем степени n (n ∈ N, n > 2) неотрицательного числа a называется неотрицательное число b такое, что bn = a. Число b обозначается как $$b\sqrt[n]{a}$$.
Свойства арифметических корней (a > 0, b > 0, n, m, k – натуральные числа.)

1. $$\sqrt[n]{ab}=\sqrt[n]{a}\cdot \sqrt[n]{b}$$ 5. $$\sqrt[n]{\sqrt[k]{a}}=\sqrt[nk]{a}$$
2. $$(a)^{\frac{k}{n}}=\sqrt[n]{a^{k}}$$ 6. $$\sqrt[n]{a^{m}}=\sqrt[nk]{a^{mk}}$$
3. $$(\sqrt[n]{a})^{k}=\sqrt[n]{a^{k}}$$ 7. $$\sqrt{a^{2}}=\left | a \right |$$
4. $$\sqrt[n]{\frac{a}{b}}=\frac{\sqrt[n]{a}}{\sqrt[n]{b}} (b\neq 0)$$ 8. $$\sqrt[2n]{a^{2n}}=\left | a \right |$$

Пусть a < 0, а n – натуральное число, большее 1. Если n – четное число, то равенство bn = a не выполняется ни при каком действительном значении b. Это значит, что в области действительных чисел нельзя определить корень четной степени из отрицательного числа. Если же n – нечетное число, то существует единственное действительное число b такое, что bn = a. Это число обозначают √n a и называют корнем нечетной степени из отрицательного числа.
Используя определение возведения в целую степень и определение арифметического корня, дадим определение степени с рациональным показателем.
Пусть a – положительное число и $$r=\frac{p}{q}$$ – рациональное число, причем q – натуральное число.

Положительное число

$$b=\sqrt[q]{a^{p}}$$

называется степенью числа a с показателем r и обозначается как

$$b=a^{r}$$, или $$a^{\frac{p}{q}}=\sqrt[q]{a^{r}}$$, здесь $$q\in N$$, $$q\geq2$$.

Рассмотрим основные свойства степени с рациональным показателем.

Пусть a и b – любые положительные числа, r1 и r2 – любые рациональные числа. Тогда справедливы следующие свойства :

1. $$(ab)^{r_{1}}=a^{r_{1}}\cdot b^{r_{1}}$$  
2. $$(\frac{a}{b})^{r_{1}}=\frac{a^{r_{1}}}{b^{r_{1}}}$$  
3. $$a^{r_{1}}\cdot a^{r_{2}}=a^{r_{1}+r_{2}}$$  
4. $$\frac{a^{r_{1}}}{a^{r_{2}}}=a^{r_{1}-r_{2}}$$  
5. $$(a^{r_{1}})^{r_{2}}=a^{r_{1}r_{2}}$$ (1.4.2)
6. $$a^{0}=1$$  
7. Если $$a>1$$ и $$r_{1}>0\Rightarrow a^{r_{1}}> 1$$  
8. Если $$0< a< 1$$ и $$r_{1}>0\Rightarrow 0< a^{r_{1}}< 1$$  
9. Если $$a>1$$ и $$r_{1}>r_{2}\Rightarrow a^{r_{1}}> a^{r_{2}}$$  
10. Если $$0< a< 1$$ и $$r_{1}>r_{2}\Rightarrow a^{r_{1}}> a^{r_{2}}$$  

Понятие степени положительного числа обобщается для любого действительного показателя α.
Определение степени положительного числа a с действительными показателями α.

1. Если $$\alpha > 0$$ и

1) $$\alpha=m$$, $$m\in N \Rightarrow a^{\alpha}=\left\{\begin{matrix}a, m=1\\\underbrace{a\cdot a\cdot a\cdot a....a}, m\geq 2\end{matrix}\right.$$

2) $$\alpha=\frac{p}{q}$$, где p и q - натуральные числа $$\Rightarrow a^{\alpha}=\sqrt[q]{a^{p}}$$

3) α - иррациональное число, тогда

а) если a > 1, то aα - число большее, чем ari и меньшее, чем ark, где ri - любое рациональное приближение числа α с недостатком, rk - любое рациональное приближение числа α с избытком;
b) если 0 < a < 1, то aα - число большее, чем ark и меньшее, чем ari;
c) если a = 1, то aα = 1.

2. Если $$\alpha=0$$, то aα = 1.

3. Если $$\alpha<0$$, то $$a^{\alpha}=\frac{1}{a^{\left | \alpha \right |}}$$.

Число aα называется степенью, число a – основание степени, число α – показатель степени.
Степень положительного числа с действительным показателем обладает теми же свойствами, что и степень с рациональным показателем.

Пример 1.4.3. Вычислите $$\sqrt[3]{81}\cdot\sqrt[3]{\frac{16}{6}}$$.

Решение. Воспользуемся свойством корней:

$$\sqrt[3]{81}\cdot\sqrt[3]{\frac{16}{6}}=\sqrt[3]{\frac{81\cdot16}{6}}=\sqrt[3]{\frac{3^{4}\cdot2^{4}}{3\cdot2}}=\sqrt[3]{3^{3}\cdot2^{3}}=6$$

Ответ. 6.

Пример 1.4.4. Вычислите $$6,25^{1,5}-2,25^{1,5}$$

1) 4 2) 8 3) 8,25 4) 12,25

Решение. $$6,25^{1,5}-2,25^{1,5}=(\sqrt{6,25})^{3}-(\sqrt{2,25})^{3}=(2,5)^{3}-(1,5)^{3}=(2,5^{2}+2,5\cdot1,5+1,5^{2})=12,25$$

Ответ. 4.

Пример 1.4.5. Упростите выражение $$\sqrt[3]{96\cdot\sqrt{3}\cdot3^{1,5}}$$

1) $$6\cdot\sqrt[3]{4}$$ 2) $$6\sqrt{2}$$ 3) 6 4) $$3\sqrt{2}$$

Решение. Представим подкоренное выражение в виде $$3\cdot2^{5}\cdot3^{\frac{1}{2}}\cdot3^{\frac{3}{2}}=3^{3}\cdot2^{5}$$. Тогда $$\sqrt[3]{3^{3}\cdot2^{5}}=3\cdot2\cdot6\sqrt[3]{4}$$.

Ответ. 1.

Пример 1.4.6. Результат вычисления выражения $$\frac{\sqrt[3]{\sqrt{3}+\sqrt{6}}\cdot\sqrt[6]{9-6\sqrt{2}}-\sqrt[6]{18}}{\sqrt[6]{2}-1}$$ равен
 

1) 3 2) $$-\sqrt[3]{3}$$ 3) $$\sqrt[6]{3}$$ 4) $$\sqrt[3]{6}$$