Перейти к основному содержанию

Учебник

Алгебра / Действительные числа

Множество натуральных чисел

Содержание:

1) Запись числа, чтение числа.

2) Различные системы счисления

3) Арифметические операции на числами

4) Признаки делимости

5) Наибольший общий делитель и наименьшее общее кратное


Запись числа, чтение числа.


Понятие числа

Приветствую, мой юный ( а может и не совсем юный ) друг. Из раздела в раздел перед тобой будет открываться мир чисел, переменных, функций и прочих страшных для современного чада слов. На самом деле в математике действительно сложных моментов при правильном подходе к ее изучению крайне мало. А правильным будет лишь постепенное, последовательное изучение материала и огромное желание разобраться в нем, а не зазубрить чтобы сдать. Именно для тех, кто хочет “разобраться” и пишется данный ресурс. Но, и те, кто хочет “тупо сдать ЕГЭ/ГИА”, могут найти здесь полезную информацию.

Начнем мы с понятия числа. Математика зародилась много-много-много лет до нашей эры. По факту, то, что проходится до 9 класса, придумано дядьками из Древней Греции, Востока да Индии. И как-то так получается, что бородатые дядечки, жившие в 7-6 веках до нашей эры, соображали в математике лучше, чем детишки в век айфонов и МакДаков.

Математика появилась как ответ на требования времени, а именно: начали люди вести землемерные работы – получите геометрию, захотелось людям знать, сколько же пшеницы добывают работяги, а сколько присваивают трутни – вот тебе и арифметика.

Взяли мешок картошки - один предмет, взяли два мешка картошки – второй предмет. Вместе получилось два мешка картошки. А добавим третий, получим вместе три мешка и тд. И так можно продолжать сколько угодно, пока картошка не кончится или терпение. То есть по факту есть единица. Каждое последующее число получается путем прибавления этой самой единицы к предыдущему. То есть двойка (2), есть две единицы взятых вместе (1 и 1), тройка  (3) есть двойка и еще единица (2 + 1). Значит число – это сочетание единиц.

Вполне естественно, что сначала появилось числа, которыми считали эту самую пшеницу/рожь/валенки/коров, то есть считали предметы. Со временем эти числа назвали натуральными.

Натуральные числа – числа, используемые при счете.

Прибавляя таким образом единицы, мы получаем много-много чисел. В математике принято много-много называть “множеством”. Это множество чисел, полученное прибавлением единиц, называется натуральным рядом. Он бесконечен, то есть вы можете до посинения прибавлять эту самую единицу, но до последнего числа никого не дойдете. 

Первое, что мы можем сделать, это сравнить натуральные числа. Есть вполне обоснованная закономерность: то число больше, которое стоит правее в натуральном ряде. То есть 5 больше 2, потому что пять – это собрание из пяти единичек, а два – собрание из двух единичек.

Натуральные числа, расположенные в порядке возрастания образуют ряд (множество) натуральных чисел. Оно обозначается буквой N:

N={1,2,3,..n...,}

Хотелось бы добавить еще число 0 (ноль). Оно обозначает отсутствие единиц. Но к натуральному ряду ( числам )  не относится. Если же мы его добавим, то получим расширенный ряд натуральных чисел


Чтение числа.

Первые десять чисел называются следующим образом:

Один (1), два (2), три (3), четыре (4), пять (5), шесть (6), семь (7), восемь (8), девять (9), десять (10).

Справа в скобках записана цифра.

Цифра – это письменный знак, с помощью которого обозначается число.

Встает вполне закономерный вопрос, а как быть с числами после десяти? Рассмотрим пример: надо сосчитать количество черточек на рисунке 1.

 

Рисунок 1.

Для этого черточки разбивают по десяткам. Если посчитать десятки, то их получится четыре, к тому же останется еще три единицы. Полученное число так и читается: четыре десятка и три единицы. Точнее так их когда-то читали. Сейчас люди приняли некоторые сокращения. Так, десять и один есть одиннадцать, десять и два – двенадцать, три десятка – тридцать, пять десятков – пятьдесят и тд.

Если при подсчете числа десятков набирается десять, то есть десять раз по десять, то их объединяют в сотню. То есть число состоящее из трех сотен, пяти десятков и четырех единиц читается как триста пятьдесят четыре.

В свою очередь десять сотен объединяются в тысячу и тд. Тысячи же так же объядиняются по единицам, десяткам, сотням. То есть число состоящее из четырех сотен тысяч, пяти десятков тысяч, одной тысячи, трех сотен, двух десятков и семи называется четыреста пятьдесят одна тысяча триста двадцать семь. Тысяча тысяч называется миллион, тысяча миллионов – миллиард и тд.


Запись числа.

Как же записать то, что мы читали. Тут нам на помощь и приходят цифры.

Цифр, которыми мы пользуемся всего десять : 0, 1, 2, 3 , 4, 5, 6, 7, 8, 9.

Напомню, что каждая цифра обозначает количество единиц, в ней содержащееся, а число 0 – отсутствие единиц. При записи числа ( при его чтении ) важна позиция цифры, ее положение в числе.

Положение цифры в записи числа  называется разряд.

Низший разряд в числе самый правый, самый старший разряд – самый левый. Низший разряд – единицы, за ним – десятки, за ним – сотни, затем тысячи, десятки тысяч, сотни тыся и тд. То есть если мы хотим изобразить число состоящее из четырех сотен тысяч, пяти десятков тысяч, одной тысячи, трех сотен, двух десятков, семи единиц ( оно же четыреста пятьдесят одна тысяча триста двадцать семь), то оно будет выглядить как: 451 327.

Еще примеры (ТЫЦ):

Семьсот шестьдесят один ( семь сотен, шесть десятков, одна единица ) : 761

Двадцать три тысячи сто девятнадцать ( два десятка тысяч, три тысячи, одна сотня, один десяток, девять ) : 23119

 

Если в числе отсутствуют единицы какого-то разряда, то в нем пишется 0. Например число сорок пять тысяч сто один. Оно содержит в себе 4 десятка тысяч, 5 единиц тысяч, одну сотню, не содержит в себе десятки ( то есть их ноль) и содержит одну единицу. Запишется оно следующим образом: 45101.

Еще примеры (ТЫЦ):

Триста тысяч пятьсясот шестьдесят два ( 3 сотни тысяч, 0 десятков тысяч, 0 единиц тысяч, 5 сотен, 6 десятков, 2 единиицы ): 300562

Двести десять ( 2 сотни, 1 десяток, 0 единиц): 210.

 

Следует отметить, что в зависимости от позиции цифры 0, она может отбрасываться. Если цифра ноль в числе стоит левее всех цифр, то ее можно смело отбрасывать.

Например если записать число состоящее из 0 сотен, двух десятков и трех единиц, то получим 023 или просто 23.

По количеству цифр (разрядов), используемых для записи цифры и называется число, если одна цифра – однозначное ( например 1, 7, 6 и тд.) , две цифры – двузначное( 10, 15, 29, 99 и тд.), три цифры – трехзначное (100, 150, 859 и тд.) и тд.

Разряды группируются в классы. Первые три разряда – класс единиц, вторые три разряда – класс тысяч, затем – класс миллионов и тд. Если вам дано большая запись числа, то его удобнее разбивать по классам и только лишь потом читать. Например, рассмотрим число 253598450254

Разобьем его на классы по три разряда начиная справа:

253 ‘598 ‘450 ‘254. То есть данное число содержит 254 единицы, 450 тысячи, 598 миллионов, 253 миллиарда и читается так : двести пятьдесят три миллиарда пятьсот девяносто восемь миллионов четыреста пятьсят тысяч двести пятьсят четыре.

Осталось выяснить, как сравнивать многозначные числа ( те в которых больше одной цифры ). Здесь применяется следующее правило.

То число больше ,в котором больше разрядов. Если же число разрядов одинаковое, то начинают сравнивать цифры в одинаковых разрядах от большего к меньшему( слева направо ) до тех пор, пока в разряде какого-то числа не окажется цифра большая, чем в другом числе.

Например:

Рассмотрим числа 251 и 4532. В первом числе 3 разряда, во втором – 4. Следовательно второе число больше.

Рассмотрим числа 5671 и 5632. В первом числе 4 разряда, во втором – 4. Следовательно начинаем сравнивать цифры в разрядах. Первое число содержит пять единиц тысяч, как и второе. Значит переходим к следующему разряду. Первое число содержит шесть сотен, как и второе. Следовательно, переходим к следующему разряду. Первое число содержит семь десятков, а второе – три. Семь больше трех, поэтому первое число будет больше второго.


Различные системы счисления.


Понятие о системе счисления.

Всякий способ наименования и представления числа называется системой счисления. Мы работаем в повседневной жизни с десятичной системой счисления. Потому что за основу взято число 10. Как это понимать? Да легко и просто. Мы уже знаем, что в одном десятке десять единиц, в одной сотне – десять десятков и так далее. То есть получается, что в единице следующего разряда содержится десять единиц предыдущего разряда. Число 10 называется основанием десятичной системы счисления.

Любое число N можно представить в виде $$N = a + b*10 + c*10^{2} + d *10^{3} +... $$ где числа a,b,c,d… всегда меньше 10 ($$10^{2} =10*10$$ – десять умноженное два раза, $$10^{3} = 10*10*10$$ – 10 умноженное три раза и тд. Это называется степенью, и об этом в следующих разделах).

Например, число 526 = 6 + 2 ×10 + 5×100.

А бывает так, что за основание принимается, например, число 5. И тогда это пятиричная система счисления. То есть любое число N будет представлено в виде $$N = a + b*5 + c*5^{2} + d*5^{3} +...$$ где числа a,b,c,d… всегда меньше 5.

Для числа, представленного в десятичной системе счисления необходимо использовать до 10 знаков: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9. Но если бы мы решили представить число в пятеричной системе, то нам бы понадобилось всего 5 знаков: 0, 1, 2, 3, 4.

Число 5 в данной системе представляло бы собой 1 единицу второго разряда и изображалось бы как 10 (1 единица второго разряда, 0 единиц первого разряда). А число 6 содержало бы в себе 1 единицу второго и 1 единицу первого разряда и представлялось бы как 11.

Можно было бы взять и систему счисления с основанием больше 10. Тогда кроме стандартных знаков использовались бы и буквы. Например, в 12ричной системе пришлось бы придумать особые знаки для чисел 10 и 11, например, A и B. И тогда число 11 в 12ричной выглядело бы просто как B. А число 23, содержало бы в себе одну единицу второго разряда и 11 единиц первого, и записывалось бы как 1A.


Как из десятичной перевести в другую систему счисления?

Пусть нам необходимо представить число 1766 в пятеричной системе счисления. Для этого сначала узнаем сколько единиц второго разряда содержится в 1766, т.е. сколько содержится пятерок. Просто делим 1 766 на 5. Получаем 353 и остаток 1. Остаток – это единица первого разряда. Теперь мы должны выяснить сколько в 353 содержится единиц третьего разряда. Снова делим на 5. Получаем 70 и 3 в остатке. Значит во втором разряде у нас будет цифра 3. Теперь узнаем сколько единиц четвертого разряда содержится в 70 единицах третьего. Снова делим на 5. Получаем 14 единиц четвертого разряда (заметим, что разделилось без остатка, значит в в единицах третьего разряда будет стоять 0). А их уже разбиваем на 4 единицы четвертого и 2 единицы пятого разряда. В итоге 1766 в пятеричной системе счисления будет равно 24031.

Пусть требуется изобразить число 121 380 в двенадцатеричной системе счисления. Значит делить будем все на 12. Обозначим 10 как a, и 11 как b

В итоге получим число 5a2b0.


Как число, записанное в какой-либо системе счисления представить в десятичной системе?

Тут все проще чем в предыдущем. Пусть, например, число 5623 восьмеричной системы, необходимо представить в десятичной. Если расписать 5623, то получим

$$5623 = 3 + 2*8+ 6*8^{2} + 5*8^{3} = 3 + 16 + 384 + 2560 = 2963$$

Можно и рассуждать. Разложим 5 единиц четвертого разряда на единицы третьего разряда. Раз у нас восьмеричная система, то в единице четвертого содержится восемь единиц третьего. Поэтому в пяти единицах четвертого - 5×8 = 40 единиц третьего. Прибавим имеющиеся 6 единиц третьего. В сумме у нас 46 единиц третьего разряда. Представим их во втором и прибавим имеющиеся 2 единицы второго. 46×8 + 2 = 370. Ну и теперь эти 370 единиц второго представим в единицах первого разряда, да прибавим три имеющиеся 370×8 + 3 = 2963.


Римские цифры.

Мы используем с вами арабские цифры. И десятичная система от того, что пальчиков у нас на руках всего 10. А были такие ребята – римляне, так вот у них были римские цифры.

Для обозначения чисел они использовали только семь знаков

Способ выражения числа тоже отличался от нашего. У нас место цифры в записи числа имеет важную роль, место это является разрядом. У них же цифры, написанные рядом, в сумме давали то число, которое было записано. Например, число XXV означало сумму 10 + 10 + 5 т.е. 25. CLXV означало сумму 100 + 50 + 10 + 5 т.е. 165 и тп. Были исключения.

В этом изображении значение левой цифры вычитается из значения правой цифры. Поэтому и получаем

Число тысяч изображалось так же, как и число единиц, только снизу ставилось буковка m (mille - тысяча)


Метрические системы.

В целом, это единая международная десятичная система, основанная на использовании метра и килограмма. Кто хочет, пусть погуглит, как появился метр и как появился килограмм. Важно знать следующее:

1 кг (килограмм) = 1 000 гр (грамм)
1 ц (центнер) = 100 кг
1 т (тонна) = 1000 кг
1 м (метр) = 100 см (сантиметров)
1 см = 10 мм (миллиметров)

Еще хорошо бы запомнить, что подлые америкашки используют иную систему. У них есть фунт (это примерно 500 гр, 453 если быть точнее), фут (примерно 30 см) и дюйм (примерно 2,54 см)


Арифметические операции над числами.


Сложение

Числа есть, надо с ними что-то делать, иначе зачем же они нам нужны. Взяли люди два яблочка, положили рядышком еще три яблочка и получилось пять яблочков. И назвали люди это действие сложением. Два яблочка и три яблочка есть слагаемые, а пять яблочек, полученных в результате сложения – сумма. То есть:

Cложение – арифметическое действие по получению суммы двух слагаемых.

Например, рассмотрим следующее сложение:

 4+10 = 14

Здесь числа 4 и 10 – слагаемые, 14 – сумма.

Сразу хочется оговориться, что если сложить любое число с нулем, то получится это число.

 5 + 0 = 5, 4 + 0 = 4.

Все элементарно. Естественно, возвращаясь к примеру с яблочками, мы можем сказать, что разницы между тем чтобы к двум яблочкам доложить три, или же к трем яблочкам доложить два, нет никакой – в результате все-равно получим пять. Так появился переместительный закон сложения:

От перестановки мест слагаемых, сумма не меняется.

Если записать математически данный закон, то это будет выглядеть так:

$$A+B=B+A.$$

Вместо чисел появились буквы. Вообще, в математике принято всякое неизвестное, переменное значение обозначать буквой. То есть данная запись гласит, какие бы ни были числа вместо A и B, если их складывать в любой последовательности, то сумма будет одной и той же. Привыкайте, с каждым разом чисел будет становиться меньше, а обозначений больше, в университете так вообще будете оперировать исключительно буковками)) Ну и ничего страшно, отвлекся.

Данный закон (переместительный) распространяется на два, три, пять, да на сколько угодно слагаемых.  То есть:

$$A+B+C=C+B+A=B+A+C=...$$ и так далее, переставляйте сколько душе угодно.

Вернемся к нашим яблочкам. Взял народ три да пять да восемь яблочек и начал их складывать. И увидел народ, что если их сложить, то получится шестнадцать яблочек. И правильно увидел:

3+5+8=16. Но задумался народ, а что будет если сначала сложить три да пять, а лишь потом прибавить восемь? Или же сначала пять сложить с восьмью, и к результату добавить три? И понял народ – а ничего и не изменится. Так родился у народа сочетальный закон сложения:

Сумма не изменится, если какую-то группу слагаемых мы заменим их суммой.

То есть:

$$A+B+C=A+(B+C)=(A+B)+C=(A+C)+B$$

Появились новый знаки ( и ). Это знак скобок. Вообще в скобки берут действие, которое необходимо выполнить первым. То есть, если написано 2 + (5+6), значить сначала надо сложить 5 и 6, а затем прибавить к результату 2.

Отсюда выходят и следующие правило:

Чтобы прибавить к числу сумму каких-то слагаемых, надо это число прибавить к какому-нибудь одному из слагаемых.

Выглядит это следующим образом:

$$A+(B+C+D)=A+B+C+D$$

То есть не нужно это число прибавлять поочередно к каждому из слагаемых.Аналогично поступают и прибавлении числа к какой-то сумме:

$$(A+B+C)+D=A+B+C+D$$

Рассмотрим конкретные примеры сложения. Есть несколько вариантов:

  1. Сложение двух однозначных чисел. Тут все просто: достаточно прибавить к единицам, содержащимся в первом числе, все единицы, содержащиеся во втором числе. Например: 3 + 5 = 8,  5 + 7 = 12, 5 + 9 = 14.
  2. Сложение многозначного и однозначного числа. Допустим, требуется сложить 45 и 9. В данном случае число 45 мы можем представить, как четыре десятка и пять единиц, то есть 40 и 5. Затем 5 сложим с 9 и получим 14. И полученные 14 сложить с 40. 14 есть сумма 10 и 4. Получается 10 да 40 да 4, в результате 54. 45+9=(40+5)+9=40+(5+9)=40+14=40+10+4=54 Понимаю, что для большинства это слишком длинное размусоливание элементарных вещей, но вдруг среди вас попадутся первоклашки – будем им счастье. Да и многим старшеклассникам необходимо учиться считать в уме, то есть производить аналогичный расчет без использования калькуляторов.
  3. Сложение двух многозначных чисел. Да и тут все совсем несложно. Для того, чтобы сложить несколько многозначных чисел, необходимо складывать их соответствующие разряды. Разберем на примере: необходимо сложить 5954 и 32567. Для этого запишем их друг под другом, сопоставив соответствующие разряды. Причем первым лучше писать то число, в котором больше разрядов.
  3 2 5 6 7
+   5 6 5 4
  3 8 5 2 1
 
Начнем складывать единицы этих чисел. 7 + 4 = 11. То есть получили один десяток и одну единицу. Одну единицу пишем под соответствующим разрядом, при этом десяток держим в уме. Продолжаем складывать, но уже десятки. 6+5=11. Плюс еще один десяток, который держали в уме, в итоге 12 десятков. Это есть одна сотня и два десятка. Два десятка пишем под соответствующим разрядом, одну сотню держим в уме. Складываем сотни: 5 + 9 = 14, плюс одна сотня в уме, будет 15. 15 сотен это одна тысяча и пять сотен. 5 пишем в соответствующим разрядом, один держим в уме. Складываем тысячи: 2 + 5 = 7, да +1, что держали в уме, получаем 8 и записываем в соответствующем разряде. Во втором слагаемом (5954) нет десятков тысяч, поэтому мы можем написать вместо него 0. Получается 3 + 0 = 3. В итоге мы имеем число 38521. Перед вами пример сложения “столбиком”. Всем на заметку. Данный метод давался вам не с целью помучать лишний раз арифметикой, а с целью выработки у вас устного счета. Считайте столбиком в уме, улучшайте свои навыки, а то без калькулятора скоро не способны будете два да два сложить…

Столбиком можно сложить сколь угодно много слагаемых:

  3 2 5 6 7
+   5 9 5 4
+   5 5 0 2
  4 4 0 2 3
 
Часто, вместо “просуммировать”, или “прибавить” говорят “увеличить на”. То есть сумму трех и пяти увеличить на десять. Это означает ( 3 + 5 ) + 10.

Вычитание

Со сложением разобрались. Но в жизни не все и не всегда прибавляется. Рассмотрим пример. Было у тебя Пети пять яблочек, пришел Вася и нагло съел два яблочка, сколько яблочек осталось. Вполне закономерно будет забрать из пяти два и получим три. В этом и есть арифметическая операция – вычитание.

Чтобы вычесть из одного числа другое, надо из того числа, из которого вычитают, забрать столько единиц, сколько содержится в том числе, которое вычитают. То число, из которого вычитается, называется уменьшаемым (потому что оно становится меньше), то число, которое вычитают – вычитаемым (потому что его вычитают), а результат называется разностью.

В примере с яблочками 5 –уменьшаемое, 2 – вычитаемое, 3 – разность.То есть чтобы уменьшить какое-то число на несколько единиц, надо из этого числа вычесть эти несколько единиц.

При этом есть смысл обратить внимание на связь между вычитанием и сложением. Вычитание подразумевает разложение уменьшаемого на вычитаемое и на разность. По факту, если сложить уменьшаемое и разность, мы получим обратно вычитаемое. То есть :

$$10-2=8 \Rightarrow 8+2=10$$

Именно поэтому вычитание есть операция, обратная сложению.

Как же следует вычитать? Все элементарно просто. Для начала рассмотрим вычитание однозначного числа.

При вычитании мы должны отвечать себе на вопрос, какой число в сумме с вычитаемым даст уменьшаемое. Это число и будет разностью.

Например, сколько будет  23 – 8? Очевидно, что для получения 23 к 8 надо прибавить 15. Следовательно, $$23-8=15$$.

Следует помнить, что число 0 есть отсутствие единиц, поэтому если из любого числа вычесть 0, то число не изменится.

$$5-0=5 ; 23-0=23$$

Что же делать, если необходимо вычесть два многозначных числа? Для начала расположим их друг под другом как при сложении (единицы под единицами, десятки под десятками и т.д.). Собственно, проступать мы будем в том же порядке, что и при сложении. Рассмотрим пример :

      . .    
  4 8 6 3 2 уменьшаемое
- 3 2 5 6 7 вычитаемое
  1 6 0 6 5 разность

Будем вычитать из единиц единицы, из десятков десятки, из сотен сотни и т.д. Сначала нам необходимо вычесть из двух единиц (2) семь единиц (7). Этого сделать мы не можем, так как семь находится правее двух в натуральном ряду и, следовательно, больше. В таком случае смотрим цифру левее двойки. Следующая за ней цифра – три (3). Она показывает нам, что в данном числе содержится три десятка единиц. Займем один десяток, а для того, чтобы не забыть, что мы заняли поставим над тройкой точку, и вернемся к вычитанию семи из двух. Раз мы забрали десяток единиц, то вместо двух у нас теперь 12 ( 10 единиц да 2 единицы ). Двенадцать единиц минус семь единиц будет пять единиц. Запишем пятерку на место единиц в ответе. Пойдем дальше, приступим к вычитанию десятков. Так как мы забирали один десяток единиц (над тройкой стоит наша точка), то в разряде десятков уменьшаемого (48532) осталось только две единицы (3 – 1). Поэтому из двух мы вычитаем шесть. Естественно, что мы не можем этого сделать, так как 2 меньше 6. В таком случае поступим так же, как и с единицами. Посмотрим на цифру, расположенную левее. Это цифра 6. Он показывает, что в уменьшаемом содержится 6 сотен, что в свою очередь равно 60 десяткам. Заберем одну сотню, поставим точку. Теперь вместо разности 2 – 6 имеем разность 12 – 6 (12 потому, что мы забрали одну сотню, что составляет десять десятков, а десять десятков, да два десятка дадут двенадцать десятков), и в результате получаем 6. Запишем эту цифру в разряд десятков разности. Перейдем к разряду сотне. Так как мы забирали одну сотню, то в вместо шести, теперь имеем пять сотен. Пять сотен минус пять сотен будет ноль сотен. Запишем ноль в разряд сотен разности. Перейдем к вычитанию тысяч. Восемь тысяч минус две тысячи будет шесть тысяч. Запишем шесть в разряд тысяч разности. Теперь вычитаем десятки тысяч. Четыре десятка тысяч минус три десятка тысяч будет один десяток тысяч, поэтому запишем 1 в разряд десятков тысяч разности. В итоге получили, что если из 48632 вычесть 32567, то получим 16065. Собственно, так и происходит вычитание, пользуйтесь.

Рассмотрим каким образом происходит вычитание суммы или разности и вычитание из суммы или разности. Здесь все легко и просто. Если у вас есть сто рублей, и вы купили две шоколадки по 20 и 30 рублей соответственно, то в результате останется 50 рублей. То есть 100 –( 20 + 30 ) = 50. Сначала вы купили первую шоколадку за 20 рублей и у вас осталось 100 – 20 рублей, а потом еще и за 30 рублей, и останется уже 80 – 30 = 50 рублей.

Чтобы вычесть сумму, надо поэтапно вычесть каждое слагаемое.

$$A-(B+C)=A-B-C(1)$$

Рассмотрим другой пример. Пришли вы в магазин за чайником, в кармане у вас 2000 рублей, а чайник стоит 1500. При этом продавец вам предоставляется скидку в 250 рублей. Значит по факту ваша покупка обойдется в (1500 – 250) = 1250 рублей. А в кармане у вас останется 2000 – ( 1500 - 250) = 750 рублей. Если посмотреть с другой стороны, то получается, что сначала вы заплатили 1500 рублей за чайник, а потом продавец вернул вам 250 рублей. То есть

Чтобы вычесть разность, нужно отнять уменьшаемое (в нашем случае 1500 ) и прибавить вычитаемое ( 250 )

$$A-(B-C)=A-B+C (2)$$

Если взглянуть на формулы 1 и 2, то станет понятно, что минус перед скобками меняется знаки на противоположные.

Теперь разберем как вычесть из суммы и разности.

Рассмотрим пример: добрый папка дал вам на обед 100 рублей одной бумажкой, а потом еще и у мамы вы выклянчали 50 тоже одной бумажкой. Дошли до школы, зашли в буфет и затарились пирожками на сумму в сорок рублей. Сколько у вас осталось? Правильно, осталось 110 рублей. При этом совершенно без разницы дадите ли вы 100рублевую купюру и получите сдачу 60 рублей, или дадите 50тирублевую и получите сдачу 10 рублей, в результате останется 110 рублей. То есть

Чтобы из суммы вычесть число, нужно это число вычесть из любого слагаемого

$$(100+50)-40=$$$$100-40+50=$$$$100+50-40=110$$

Другой пример. Было у вас в кармане 600 рублей (купюра в 500 рублей и в 100 рублей.) Пришел старший брат и конфисковал у вас 100 рублей. Затем вы пошли и с горя купили себе конфет на сумму в 200 рублей. Сколько у вас осталось. Очевидно, что 300 рублей.

(600 -100) – 200 = 300. Если поэтапно разбирать ситуацию, то можно рассуждать несколькими способами.

Сначала было 600, злой брат забрал 100, осталось 500. Затем из этих пятисот ушло 200 на конфеты, значит осталось 300 рублей.( 600 – 100 )  - 200 = 600 – 100 – 200 = 300

Всего было шестьсот. Брат забрал 100 и конфеты стоили 200, то есть в сумме у меня забрали 100 + 200 = 300 рублей. Было шестьсот, забрали 300, осталось 300. (600 – 100) – 200 = 600 – (100 + 200 ) = 600 – 300 = 300. Выбирайте любой.

Проверка.

Очень важным моментом при расчетах является проверка. Сколько раз вы встретите ситуацию, когда контрольная была пустяковой, вы решили ее за 20 минут, остальные 25 сидели без дела, в итоге трояк. Сидите проверяйте чего нарешали. Так вот:

Чтобы проверить сложение, можно слагаемые сложить в ином порядке. Если получится та же самая сумма, то сложили верно. Еще вариант из суммы вычесть одно из слагаемых и если получится другое слагаемое, то посчитали верно.

Верно Неверно

250 + 100 = 350

100 + 250 = 350

350 – 100 = 250

350 – 250 = 100

250+100 =340, так как 340 – 250 = 90!

100+250=360, так как 360 – 100 = 260!

Что делать для проверки вычитания? Уменьшаемое представляет из себя сумму вычитаемого и разности, следовательно, для проверки вычитания, достаточно к разности прибавить вычитаемое и если получим уменьшаемое, то, вероятнее всего, вы все сделали правильно. Есть и иной вариант - из уменьшаемого вычесть разность, и в результате получить вычитаемое.

$$300-200=100 \Leftrightarrow$$$$100+200=300 \Leftrightarrow 300-100=200$$


Об умножении.


Разберемся со следующим арифметическим действием. Рассмотрим задачу. Некий Вася Пупкин решил запастись ручками. Каждая ручка стоит 35 рублёв. Купил он из 8 штук. Сколько Вася потратил денег? Вполне естественно, что для решения этой задачи необходимо найти сумму 8 одинаковых слагаемых - 35 рублей взять 8 раз. То есть:

$$35+35+35+35+35+35+35+35=280$$

А если бы Вася Пупкин торгаш и взял 500 ручек? Не исписывать же всю тетрадку одной суммой. Для этого и придумали умножение.

Умножение - это сложение одинаковых слагаемых. Причем то число, которое выступает слагаемым называется множимым, а то число, которое показывает сколько раз сложить – множителем. Множимое и множитель называют сомножителями. В результате получается произведение.

В нашем примере

35+35+...+35 35 8= 280
взяли 8 раз по 35 множимое знак умножения множитель произведение

Вместо точки так же употребляют косой крест (×)

Прочитать это равенство можно различно:

  1. Сумма 8 слагаемых, каждое из которых равно 35, составляет 280
  2. 35 умноженное на 8, составляет 280
  3. Произведение 35 и 8 равно 280.

Учитесь проговаривать математические действия правильно. А то уши режет, когда какой-нибудь грамотей начнет излагать: “тощка-тощка, запитуя”.

Естественно, раз умножение есть частный случай сложения, то в результате оно дает всегда один результат при данных сомножителях. ( 35 умножить на 8 всегда даст 280 )

Если сомножителями являются буквы, или один из сомножителей буква, то между ними знак умножения обычно не пишут. То есть, если написано cz , то это значит, что число с умножается на число z ( ну а если вы на географии, то cz – Чехия, если я не ошибаюсь ).

Если говорят, что число необходимо увеличить в два раза, в три раза, в пятьдесят раз, то это значит, что надо составить сумму из двух, трех, пятидесяти одинаковых чисел, то есть составить произведение. Например : увеличить число 20 в 6 раз. Это значит, что надо найти сумму

20 + 20 + 20 + 20 + 20 + 20 = 120 или 20×6 = 120. То есть увеличение числа в несколько раз выполняется умножением.

Ну и во славу физикам хочется напомнить нерадивым детишкам: множимое может в обозначении иметь название (единицы измерения). И в произведении должно появиться такое же название (единица измерения). Множитель же показывает сколько раз мы берем множимое. Оно не имеет названия (пока что, в 5-6 классе). В нашем примере ручка стоила 35 рублей. И помножили мы 35 рублей на 8. И получили 280 рублей! Не 280 ручек и не 280 Вась Пупкиных. Именно 280 рублей. Дальше уже можно переводить в доллары, евро и прочее по соответствующему курсу. Но при умножении рублей, получим рубли, при умножении Вась Пупкиных, получим Вась Пупкиных.

Некоторые частные случаи умножения.

  • Если множимое есть единицы, то произведение равно множителю. 1×5 = 5.Потому что 1+1+1+1+1 = 5
  • Также если множитель есть единица, то произведение равно множимому. 5×1 = 5. Потому что если 5 взять один раз, то получится только 5

Еще иногда говорят, при умножении числа на единицу, получится само число.

  • Если множимое есть ноль, то и произведение равно нулю. 0×5 = 0 . Потому что сумма 0+0+0+0+0 = 0
  • Если множитель равен нулю, то и произведение равно нулю. 5×0 = 0. Если 5 взять ни одного раза, то получится 0)

Еще говорят, если любое число умножить на ноль, то получится ноль.

Переместительный закон умножения.

Пусть нам необходимо сосчитать количество черточек, изображенных на рисунке

Сделать это можно, например, двумя способами. Во-первых, сосчитаем количество черточек в первой строке –их 7. Всего строк 3. Значит черточек получится 7×3 =21. Во-вторых, сосчитаем количество черточек в первом столбце – их 3. А столбцов у нас всего 7. Значит черточек получится : 3×7 = 21. Вот и получается, что 7×3 = 3×7 .

Произведение не меняется от перемещения сомножителей местами.

Таблица умножения.

Все детишкам посвящается: ВЫУЧИТЕ ВЫ УЖЕ ТАБЛИЦУ УМНОЖЕНИЯ! Умные дяди в свое время составили таблицу умножения, в которой содержатся произведения всех однозначных чисел. Она пригодится впоследствии неоднократно. И как можно реже пользуйтесь калькулятором. Устный счет хорошо голову развивает.

Теперь, собственно, само умножение. Рассмотрим его в следующем порядке:

Умножение многозначного числа на однозначное.

Пусть нужно умножить 634 на 5. Для этого расположим множитель под множимым. При расположении обязательно числа выставить разряд под разрядом. То есть единицы под единицами, десятки под десятками, сотни под сотнями и т.д.

  6 3 4
×     5
3 1 7 0

Чтобы умножить 634 на 5, нам предстоит сложить 5 чисел, каждое из которых равно 324. Число 634 состоит из 6 сотен, 3 десятков и 4 единиц. Значит для умножения нам будет достаточно взять 5 раз по 6 сотен, 5 раз по 3 десятка и 5 раз по 4 единицы.

Воспользуемся таблицей умножения:

5 раз по 4 единицы будет 20 единиц. То есть 2 десятка 0 единиц. Поэтому под чертой на месте единиц ставим 0, а 2 десятка запоминаем

5 раз по 3 десятка будет 15 десятков, плюс 2 десятка с прошлого умножения, и в итоге имеем 17 десятков. То есть 1 сотня и 7 десятков. Под чертой на месте десятков пишем 7.

5 раз по 6 сотен будет 30 сотен, да 1 сотня с прошлого умножения, и в итоге получим 31 сотня, то есть 3 тысячи и 1 сотня. Под чертой на месте сотен ставим единицу, а на месте тысяч ставим 3.

В итоге при умножении 634 на 5 мы получили 3170.

Умножение многозначного числа на число, выраженное единицей с одним или несколькими нулями

Рассмотрим пример: пусть нужно умножить 341 на 10. Если мы умножим единицу на 10, то получим 10 единиц – 1 десяток. Но число 341 есть 341 единица. Значит если мы умножим 341 единиц на 10, то получим 341 десяток, что составляет 3410 единиц, то есть 341×10 = 3410. Возьмем другой пример: пусть нужно умножить 432 на 1000. Если мы возьмем единицу 1000 раз, то получим 1000 единиц, то есть 1 тысячу. Следовательно, если возьмем 432 единицы тысячу раз, то получим 432 тысяч. То есть 432×1000 = 432 000.

Из приведенных примеров можно сформулировать правило:

Для того, чтобы умножить любе число на число, выраженную единицу с нулями, то необходимо к множимому приписать справа столько нулей, сколько их в множителе.

451×100 = 45 100

324×10 000 = 3 240 000

Умножение многозначного числа на число, выраженное любым числом с одним или несколькими нулями

Пусть необходимо умножить 248 на 30. То есть нам надо сложить 30 одинаковых слагаемых, каждое из которых равно 248. Число 30 есть 3 раза по 10 или 10 раз по 3. Поэтому и вообразим, что наши слагаемые соединены в 10 одинаковых групп по 3 штуки.

248 взятое 3 раза дает нам 744. Ну а 744 взятое 10 раз даст нам 7440 (просто приписываем справа ноль).

Рассмотрим другой пример. Пусть нужно умножить 573 на 400. Значит мы должны сложить 400 слагаемых, каждое из которых равно 573. 400 слагаемых мы можем разбить на 100 групп по 4 слагаемых в каждом. Значит сначала умножим 573 на 4, получим 2292. А теперь умножим 2292 на 100, получим 229 200

Теперь сформулируем правило:

Чтобы умножить любое число, на число, состоящее из цифры и нулей, нужно множимое умножить на эту цифру, а к результату приписать столько нулей, сколько содержится в множителе.

572 × 200 = 11 440

857×4 000 = 3 428 000

Умножение многозначного числа на многозначное

Пусть необходимо умножить 3456 на 987. Фактически нам надо сначала взять семь слагаемых по 3456, затем 80 слагаемых по 3456 и 900 слагаемых по 3456 (число 987 разбивается как 7 единиц, 8 десятков и 9 сотен) и полученные результаты сложить вместе. Этим и займемся:

        3 4 5 6
×         9 8 7
      2 4 1 9 2
+   2 7 6 4 8 0
+ 3 1 1 0 4 0 0
  3 4 1 0 0 7 2
        3 4 5 6
×         9 8 7
      2 4 1 9 2
+   2 7 6 4 8  
+ 3 1 1 0 4    
  3 4 1 0 0 7 2

Затем следует умножить 3456 на 80. Для этого достаточно умножить 3456 на 8 и приписать к результату справа 0. В итоге получаем число 276480.Запишем это число ниже.Запишем множитель под множимым. Вообще, лучше писать то число выше, в котором цифр больше. Затем умножим 3456 на 7. Получим 24192 (об умножении столбиком читать ранее). Запишем результат. Главное записать единицы под единицами, десятки под десятками и тд.

Вообще, как показано в варианте справа можно при умножении ноль, выделенный жирным шрифтом, не пишут. Но главное помнить, что число необходимо сдвигать полученное число. То есть если мы умножаем на десятки, то первою цифру полученного числа начинать писать под десятками, если умножаем на сотни, то начинать с места под сотнями.

Далее число 3456 умножим на 900. В итоге получаем крайнее произведение равное 3110400.

Дело за малым, осталось сложить три полученных числа. 24 292+276 480+3 110 400=3 410 072. Готово.

Следует еще отметить умножение на числа, в цифрах числа содержатся нули. На нули мы не умножаем, а сразу переходим на умножение цифры из следующего разряда. Главное не забывайте сдвигать полученное число на необходимое количество разрядов (на столько нулей, сколько пропустили). То есть

        2 0 5 3 2
×         4 0 0 3
        6 1 5 9 3
      0 0 0 0 0  
+   0 0 0 0 0    
+ 8 2 1 2 4      
  8 2 1 8 5 5 9 3
        2 0 5 3 2
×         4 0 0 3
        6 1 5 9 3
+ 8 2 1 2 4      
  8 2 1 8 5 5 9 3

Вариант, когда нулями оканчивается множитель, мы уже рассмотрели. Рассмотрим еще два варианта.Умножение чисел, оканчивающимися нулями.

Нулями оканчивается множимое. Например, умножим 2700 на 15. То есть нам надо составить сумму из 15 одинаковых слагаемых, каждое из которых равно 2700.

Очевидно, что полученное число будет оканчиваться двумя нулями. Как раз те самые два нуля, которыми оканчивается число 2700. Следовательно, для результата нам необходимо умножить 27 на 15, и к полученному числу дописать справа два нуля.

Нулями оканчиваются оба числа. Например, умножим 3 200 на 52 000. Чтобы умножить 3 200 на 52 000, нам необходимо умножить 3 200 на 52 и к результату справа приписать три нуля. Но в то же время, чтобы умножить 3 200 на 52, нам достаточно умножить 32 на 52 и справа к результату приписать два нуля. В итоге получается :

3252 = 1 664

3 200 52 000 = 166 400 000

Когда множимое и множитель оканчиваются нулями, производится умножение, не обращая внимание на нули, а к результату приписывается справа столько нулей, сколько в множителе и в множимом.

Изменение произведения с изменением сомножителей

Если увеличим множитель или множимое увеличить или уменьшить в несколько раз, то и произведение увеличится или уменьшится соответственно в несколько раз.

То есть если увеличили в 5 раза множимое, то произведение увеличилось в пять раз. Уменьшили множитель в десять раз, то и произведение уменьшилось в десять раз.

Например, 21×2 = 42. Увеличим 2 в 4 раза. В итоге и произведение увеличится в 4 раза. Дело в том, что, умножая 21 на 2 мы берем сумму 2 слагаемых, каждое из которых равно 21. То есть 21 × 2 = 21 + 21. Но если мы увеличим 2 в 4 раза, то получим 8. То есть новое произведение 8 одинаковых слагаемых.

Но восемь одинаковых слагаемых это четыре раза по два одинаковых слагаемых, то есть четыре раза по 21+21, то есть по 42. Вот и получается, что новая сумма 4 одинаковых слагаемых, каждое из которых равно предыдущей сумме.

Переместительный закон умножения.

Ну тут все просто. Рассмотрим пример: необходимо найти произведение 4×2×5×7. Умножим сначала 4 на 2. Получим 8. Теперь 8 умножим на 5, получим 40. И затем 40 умножим на 7 и получим 280. То есть мы последовательно умножили числа друг за другом. А теперь мы умножим числа в обратном порядке, то есть начнем с 7 на 5. Получим 35. Затем 35 на 2, получим 70. И теперь 70 умножим на 4. В результате все-равно получаем 280.

Значит от того, в каком порядке мы будем умножать сомножители, конечное произведение не меняется. Это и есть переместительный закон: a×b = b ×a

Сочетательный закон умножения

Его можно рассматривать как расширение переместительного закона умножения. Например, необходимо найти произведение 2×6×5×7 В целом, мы можем умножать в любом порядке сомножители. А что если их разбить на группы. То есть объединить (2 × 5) ×(6×7). В первой части получится 10, а во второй получится 42. А уже если 10 умножить на 42, то получим 420. В этом и есть сочетательный закон умножения. Мы можем объединять сомножители в какие угодно группы.

$$(ac)b=a(bc)=(ab)c$$

Как умножить сумму на какое-либо число?

Напомню, чтобы умножить произведение или на произведение достаточно умножать сомножители по порядку или пользоваться законами умножения. То есть:

(5×6×7)×8 = 5× (6×7×8) = 5×6×7×8 = 30×7×8 = 210×8 = 1680

В свою очередь, чтобы умножить сумму на число (число на сумму), необходимо каждое слагаемое суммы умножить на это число и результаты сложить.

Выглядит это следующим образом: пусть нам необходимо найти произведение (2 + 7 + 9) ×4. В данном случае, пользуясь определением умножения, нам необходимо найти сумму из четырех одинаковых слагаемых, каждое из которых равно (2 + 7 + 9), то есть: (2 + 7 + 9) + (2 + 7 + 9) + (2 + 7 + 9) + (2 + 7 + 9)

Но чтобы прибавить сумму, необходимо отдельно прибавить каждое слагаемое, то есть получим: 2 + 7 + 9 + 2 + 7 + 9 + 2 + 7 + 9 + 2 + 7 + 9

Так же мы можем сгруппировать одинаковые слагаемые (2 + 2 + 2 + 2) + (7 + 7 + 7 + 7) + (9 + 9 + 9 + 9)

В итоге получаем: 2×4 + 7×4 + 9×4. Таким образом, (2 + 7 + 9) ×4 = 2×4 + 7×4 + 9×4

Данное свойство называется распределительным свойством умножения. В общем виде оно записывается так: ( a + b + c + … ) ×m = am + bm + cm + …


Деление

Понятие деления.

Представим ситуацию. В классе находится 30 учеников. Каждому требуется раздать по 4 листочка. Сколько всего листочков требуется раздать всему классу? Очевидно, что достаточно 30 ×4 = 120 .То есть нам понадобится 120 листочков. А что если задачу перефразировать? Учитель раздал каждому ученику по 4 листочка. Всего он раздал 120 листочка. Сколько учеников в классе?

Данная задача, по отношению к предыдущей, является обратной. То есть нам дано произведение, один из множителей и необходимо найти второй сомножитель. Понятно, что второй сомножитель равен 30.

Действие, состоящее из отыскания одного из сомножителей по произведению и другому сомножителю, называется делением. При этом данное произведение уже называется делимым, данный сомножитель – делителем, а искомый – частным (напомню, что данный – то, который есть по условию, искомый – тот, который мы ищем)

В нашей задача 120 – делимое, 4 – делитель, а 30 – частное. Деление обозначается либо знаком : , разделяющей делимое и делитель ,либо косой горизонтальной чертой – делимое сверху, делитель снизу : 120 : 4 = 30 или  $$\frac{120}{4}$$. Оба этих равенства означают, что происходит деление 120 на 4 и получается в итоге частное 30.

НА НОЛЬ ДЕЛИТЬ НЕЛЬЗЯ!!!!

Почему так? Да элементарно. Раз деление, является обратной операцией по отношению к умножению, то при делении, например, 5 на 0, мы должны бы были отыскать такое число, которое при умножении на 0 дало бы 5. А мы знаем, что любое число, умноженное на 0, дает в итоге 0. Вот поэтому и нельзя. Чуток подрастете, узнаете о понятии бесконечности, там и уделитесь на 0 ))

Деление с остатком.

В общем смысле деление показывает сколько раз делитель, помещается в делимом. То есть, возвращаясь к примеру 120 : 4 = 30 , мы имеем что число 4, нужно взять 30 раз, чтобы получить 120.

А что получится, если нам потребуется разделить, например, 23 листочка поровну между 5 учениками. Очевидно, что каждый получит по 4 листочка, а 3 листочка останутся невостребованные. В данном случае условились 23 называть делимым, 5 – делителем, 4 – неполным частным, а 3 – остатком. Само же деление, в данном случае, - есть деление с остатком. 23 : 5 = 4 (остаток 3)

Само собой, что остаток должен быть всегда меньше делителя. То есть если бы нам понадобилось раздать не 23, а 26 листочков, то мы бы не получили 26 : 5 = 4 ( остаток 6), потому что в числе 6 помещается одна 5 ( делится на 5). То есть мы бы имели: 26 : 5 = 5 (остаток 1)

Общее определение деления.

Определения учить надо. Даже не так, надо разбираться в математике с самого начала, и вы научитесь самостоятельно выдавать те или иные определения. Предположим нам надо дать определению делению. Мы имели делимое, делитель, частное и остаток. Значит оно будет выглядить следующим образом:

Разделить число a на число b, значит найти такие два числа p и q, которые бы удовлетворяли равенству: $$a = bp + q$$

Следует еще указать, что есть делимое, делитель и тд. А еще помнить, что остаток меньше делителя. Поэтому конечный вариант будет выглядеть так:

Разделить число a (делимое) на число b (делитель), значит найти такие два числа p (частное) и q (остаток), которые бы удовлетворяли равенству: a = bp + q и q<b

Вот и все, ничего сверхъестественного. Так составляются все определения, законы, аксиомы и теоремы.

Кстати, раз число q (остаток), меньше числа b (делителя), то оно может принимать значения в интервале от 0 до b-1. Это значит, что если вы делите на 5, то, в зависимости от величины делимого, остаток может быть 0, 1, 2, 3, 4.

20 : 5 = 4 (остаток 0)
21 : 5 = 4 (остаток 1)
22 : 5 = 4 (остаток 2)
23 : 5 = 4 (остаток 3)
24 : 5 = 4 (остаток 4)
25 : 5 = 5 (остаток 0) и тд.

Как можно выполнять деление?

Вообще, вы можете выполнять деление следующими способами :

Деление с помощью сложения:

Пусть необходимо поделить 212 на 51. Вы начинаете последовательно повторять слагаемые 51. То есть

51 + 51 = 102 (взяли 2 слагаемых)

102 + 51 = 153 (взяли 3 слагаемых)

153 + 51 = 204 (взяли 4 слагаемых)

204 + 51 = 255. Число 255 больше 212. Значит возвращаемся к предыдущему сложению. На тот момент мы сложили 4 слагаемых по 51. Значит 212 : 51 = 4 ну и остаток. Чтобы определить остаток, мы должны из 212 вычесть 204. Получим 6. В итоге в конечном варианте имеем:

212 : 51= 4 (остаток 8)

Деление с помощью вычитания.

Вернемся к предыдущему примеру – нам необходимо поделить 212 на 51. Для этого вы последовательно начнем вычитать 51 из 212 и считать сколько раз мы это сделали:

212 – 51 =  161 (1 раз)

171 – 51 = 110 (2 раза)

110 – 51 = 59 (3 раза)

59 – 51 = 8 (4 раза)

Из 8 мы не можем вычесть 51, так как число 51 больше чем 8. В итоге получили, что число 51 поместилось 4 раза в 212, и еще появился остаток 8, то есть

212 : 51 = 4 (остаток 8)

Как видите, ответ одинаковый.

Можно сделать с помощью умножения.

Умножать на 1, на 2, на 3 и тд, пока число не получится больше делимого. Процесс похож на деление с помощью сложения.

Данные методы можно использовать, когда пред вами небольше числа. Но если вы увидите деление пятизначного числа на двузначное, то подобными методами считать замучаетесь. Поэтому переходим к

Нахождение частного в общем случае 

Вот мы и добрались до деления столбиком! Самое смешное, что многие одиннадцатиклассники не умеют пользоваться сим методом) Выпороть бы, а нельзя.

Приступим. Пусть необходимо поделить 64528 на 23. В общем плане поступим следующим образом:

  1. Сначала возьмем из нашего числа 64 тысячи и попытаемся разложить на 23 равные части. Получится, что каждая часть равна 2 тысячам и еще 18 тысяч остается неразделенных
  2. Возьмем эти 18 тысяч и представим их в виде сотен, получим 180 сотен. Прибавим к ним те 5 сотен, которые есть в начальном числе 64528. Их пять, поэтому имеем 180 сотен. Разделим их на 23 равные части. Получим, что каждая их них равна 8 сотням, а еще 1 сотня неразделенная.
  3. Возьмем эту сотню и представим ее в виде десятков, получим десять десятком, да еще те десятки, которые есть в числе 64528 (их 2), то имеем 12 десятков. Попробуем разделить 12 десятков на 23 равные части. При этом ниодного десятка на каждую часть не приходится.
  4. Поэтому мы берем эти 12 десятков и представляем в виде единиц. Имеем 120 единиц, да еще 8 единиц из числа 64528, в итоге 128 единиц. Разобьем их на 23 равные части. Получим по 5 единиц в каждой, да 13 единиц остатка.

При этом мы получили, что в частном содержится 2 тысячи, 8 сотен, 0 десятков и 5 единиц, плюс остаток 13. Значит 64528 : 23 = 2805 (остаток 13)

 

Можно рассуждать иначе:

Мы должны поделить на число 23. Запишем деление столбиком

  1. Далее нам необходимо взять первую цифру делимого и спросить себя: “Делится ли оно на делитель?” . Очевидно, что 6 на 23 не делится.
  2. Поэтому мы добавляем следующую цифру и получаем 64. Спрашиваем: “Делится ли число 64 на 23?”. Да, оно делится, и получается в частном 2, а в остатке 18. Поэтому 2 мы записываем в итоговое частное, а 18 сносим дальше.

  1. Теперь берем следующую цифру из частного. Это 5. Получаем число 185. Число 185 делится на 23 и получается в частном 8, а в остатке 1. Поэтому 8 мы записываем в итоговое частное, а 1 сносим дальше.

  1. Берем следующую цифру из делимого. Это 2. Получаем число 12. Число 12 не делится на 23.Поэтому в частное мы пишем в итогом частном 0.
  2. И сносим еще одну цифру из делимого. Это цифра 8. Имеем число 128. Оно делится на 23. В итоговом частном получаем 5, его и записываем. В остатке 13. Вот и все)

Следует отметить, что каждый раз, когда при сносе числа, мы не можем поделить, то в частное пишется 0.

Случай, когда делитель оканчивается нулями.

Чтобы разделить на единицу с нулями, достаточно отделить от делимого справа столько цифр, сколько нулей содержится в делителе. Итоговое число и будет частным, а отделенное – остаток.

57 891 : 10 = 5789 (остаток 1)

454 891 : 1000 = 454 (остаток 891)

Чтобы разделить на любое число, оканчивающееся нулями, то мы из делителя убираем справа все нули и из делимого справа столько же цифр. Оставшиеся числа делим по общему методу. А к остатку приписываем те числа, которые отбросили у делимого.

В данном случае в делителе содержится два нуля. Поэтому мы отбрасываем в делимом две правые цифры (24) и уже производим деление 3892 на 73. В итоге получаем частное 53 и остаток 23. К остатку справа приписываем те две цифры, которые отбросили в самом начале. В итоге получаем:

389 224 : 7300 = 53 (остаток 2324)

Как разделить на произведение и как разделить произведение?

Все легко и просто. Пусть требуется разделить 150 на произведение 2 и 25. 2 ×25 = 50.

То есть нам требуется разделить 150 на 50. В итоге получится 3. С другой стороны, от нас требуется сначала разделить 150 на равные группы по 2. А потом полученное число уже разделить на равные группы по 25. То есть 150 : 2 = 75 , а 75 : 25 = 3. Как видите результат один и тот же. Причем это происходит независимо от количества сомножителей в произведении.

Чтобы разделить какое-либо число на произведение нескольких сомножителей, мы должны это число разделить сначала на первый сомножитель, затем полученный результат на второй сомножитель и так далее, пока сомножители не закончатся

Этим свойством удобно пользоваться при устном делении. Предположим вам необходимо поделить 1760 на 20. Представим, что 20 есть произведение 10 и 2. То есть для того, чтобы разделить 1760 на 20, мы можем разделить 1760 на произведение 10 и 2. Или же 1760 поделить сначала на 10 и получить 176, а потом результат на 2, и получить 88.

Теперь рассмотрим другой пример. Пусть требуется разделить произведение 8 и 5 на 2. 8×5 = 40.

А если 40 : 2 = 20. С другой стороны, мы можем разделить один из сомножителей на делимое, и уже потом произвести умножении второго множителя на полученный результат. То есть можно сначала разделить 8 на 2. А зачем результат умножить на 5. 8 : 2 = 4 , 4×5 = 20. Как видите, результат не изменился.

Чтобы разделить произведение на число, можно один из сомножителей разделить на это число, и другие оставить без изменения.

Как разделить сумму и как разделить разность?

Чтобы разделить сумму на какое-либо число, нужно разделить каждое слагаемое на это число и полученные частные сложить.

Пусть требуется разделить 21 + 14 + 35 на 7. Тогда: 21 + 14 + 35 = 70 и 70 : 7 = 10

С другой стороны 21 : 7 =3 ,  14 : 7 = 2 , 35 : 7 = 5 , а 3 + 2 + 5 = 10

Чтобы разделить разность на какое-либо число, нужно отдельно разделить на это число уменьшаемое и вычитаемое, а потом из первого частного, вычесть второе.

Пусть требуется 42 – 30 разделить на 6. 42 – 30 = 12 и 12 : 6 = 2. С другой стороны

42 : 6 = 7 и 30 : 6 = 5, а 7 – 5 = 2.


Проверка умножения и деления.

Умножение.

Мы помним, что от перемены мест сомножителей произведение не изменяется. Следовательно, наипростейший способ проверить наш пример это поменять местами сомножители. Если получится одинаковое произведение, то мы молодцы.

Умножение можно проверить и делением. Для этого произведение делим на один из множителей и в итоге должен получится второй множитель.

Деление.

Так как деление — это обратная операция умножению, то и проверяется деление умножением. Раз в результате деления мы получали частное и остаток, то если умножить делитель на частное и прибавить остаток, то должно получится делимое!

С другой стороны, если деление у нас было без остатка, то деление можно проверить делением. Для этого вместо делителя теперь выступит частное. В результате в частном должно получится делимое


Замечание о порядке действий.

Сложение и вычитание являются действиями первого порядка, а деление и умножение – действиями второго порядка.

Если в выражении не содержится скобок, и указаны действия одного порядка, то они производятся в том порядке, в котором написаны.

Например, 50 – 8 + 2 – 12. Здесь указаны действия одного порядка. Поэтому сначала мы из 50 вычтем 8, потом прибавим к результату 2, и уже из этого результата вычтем 12.

Если в выражении указаны действия разных порядков, и отсутствуют скобки, то сначала выполняются действия второго порядка, а затем только – первого.

Например, 50 – 8 : 2 – 12 . Здесь есть деление. Следовательно, сначала мы выполним деление 8 на 2. Потом из 50 вычтем частное от деления. И уже затем из полученного результата вычтем 12.

Следует рассказать о таком математическом знаке как скобки. Если вы хотите, чтобы какое-то действие выполнялось первым, то его всегда заключают в скобки ().

Скобки указывают на отступление от принятого порядка действий

То есть если написано 2 + (5 – 4), то сначала следует выполнить действие в скобках 5 – 4, и только потом выполнить сложение 2 и полученной разности.

Даже если написано 20 : ( 7 – 5 ) , то сначала находится разность в скобках, и лишь потом выполняется деление делимого, на результат разности.


Признаки делимости.


Когда одно число делится на другое без остатка, то для простоты говорят, что просто делится, при этом первое число называется кратным второму, а второе – делителем первого. Так, число 20 кратно числу 2, а 2 есть делитель для числа 20.

Существуют признаки, по которым легко определить делится или нет данное число на другое.


Делимость суммы и разности.

  1. Если каждое слагаемое делится на какое-либо число, то и вся сумма делится на это число
  2. Если какое-либо из слагаемых не делится на какое-то число, а все остальные слагаемые делятся, то сумма все-равно не делится
  3. Если уменьшаемое и вычитаемое делятся на какое-либо число, то разность тоже делится на это число

Все элементарно просто. Свойства 1 и 3 можно рассмотреть на таком примере. Возьмем 5 раз число 9 и 5 раз число 7. Получаем 9 × 5 + 7 × 5 = 45 + 35 = 80. В данном примере и первое слагаемое делится на 5, и второе слагаемое делится на 5. Следовательно сумма (80) тоже будет делится на 5.

Свойство 2 можно рассмотреть в таком контексте. Рассмотрим сумму 45 + 35 + 22 = 102. Два первых слагаемых делятся на 5 (рассмотрели в предыдущем примере). Но число 22 не делится на 5. Будет ли делиться сумма 102 на 5? 45 + 35 + 22 = 102 можно представить в виде 80 + 22 = 102. С другой стороны, 102 – 80 = 22. Если бы 102 делилось на 5, то по свойству 3 и разность (22) должна делиться на 5 (так как и 102 и 80 делились бы на 5). Но мы знаем, что 22 на пять не делится, следовательно, и 102 не делится на 5.


Признак делимости на 2.

Сначала следует отметить, что числа, которые делятся на четные, которые не делятся на 2 – нечетные. В ряду натуральных чисел четные и нечетные чередуются между собой. 1 –нечетное, 2 – четное, 3 – нечетное, 4 – четное и тд.

Теперь рассмотрим какое числа делятся на 2. Любе число, оканчивающееся на 0, мы можем представить в виде суммы десяток. Возьмем число 210. Его можно представить, как сумму 21 слагаемого, каждое из которых равно 10. А раз каждая 10 делится на 2, то и вся сумма делится на 2. Следовательно, любое число, оканчивающееся на 0, делится на 2.

Пойдем дальше. Возьмем число 216. Его можно представить, как сумму 210 + 6. Данная сумма тоже делится на 2, потому что 210 оканчивается на 0 и, следовательно, делится на 2, и 6 делится на 2. Получается, что 216 тоже делится на 2.

В итоге, любое число, оканчивающееся четной цифрой (0, 2, 4, 6, 8), делится на 2.

Но если число оканчивается нечетной цифрой, то оно на 2 не делится. Рассмотрите самостоятельно число 219.


Признак делимости на 4.

Возьмем число 2500. Да вообще любое число, оканчивающееся двумя нулями. В нашем случае 2500 можно представить, как сумму 25 сотен. А 100 делится на 4, следовательно, число 2500 тоже делится на 4. Да и вообще любое число, оканчивающееся двумя нулями, делится на 4.

Тем возьмем число 2544. Его можно представить, как сумму 2500 + 44. В данной сумме первое число делится на 4 (так как оканчивается двумя нулями) и второе число делится на 4. Следовательно, вся сумма делится на 4. А вот если возьмем число 2550. Его представим как 2500 + 50 . В данной сумме первое число делится на 4, а второе не делится на 4. Следовательно вся сумма не делится на 4.

Вуаля, вот вам и свойство:

Если две крайние цифры числа выражают число, делящееся на 4, то и изначальное число тоже делится на 4.

Например, 9564, 956, 752 – эти числа делятся на 4 ( так как 64 , 56, 52 делятся на 4)


Признаки делимости на 5 и на 10.

Тут все просто. На 5 и на 10 делится десяток. Следовательно, любое число, составленное из десятков делится на 5 и на 10. То есть любое число, оканчивающееся на 0, делится на 10. Например 2540, 9540, 5000 и тд.

В то же время если число оканчивается на 5, то оно делится на 5. Попробуйте доказать сами)


Признаки делимости на 3 и на 9.

Сначала усвоим, что любое число, составленное только из девяток, делится на 3 и на 9. Например:

999 : 9 = 111
333 : 3 = 111
99 : 3 = 33 и тд

Теперь рассмотрим число 2457. Делится ли оно на 3 или на 9? Разложим это число на разряды (на тысячи , сотни, десятки, единицы) и возрадуемся.

Теперь каждую тысячу представим, как 999 + 1, каждую сотню, как 99 + 1, и каждый десяток, как 9 + 1 и снова возрадуемся. Вообще, возрадоваться периодически надобно, ибо иначе жизнь становится скучна). Ну да ладно. Когда мы разложим тысячи, то у нас останется две свободных единицы, когда сотни – 4 свободных единицы, когда десятки – 5 свободных единиц. Да еще 7 единиц самого числа изначального.

То есть 2457 = 2000 + 400 + 50 + 7 или 2457 = (999 + 999 + 2) + (99 + 99 + 99 + 99 + 99 + 4) + (9 + 9 + 9 + 9 + 9 + 5) + 7

Понятно, что 999, 99, 9 делятся на 3 и на 9. Следовательно делится ли число 2457 на 3 и на 9 зависит исключительно от того, делится ли сумма оставшихся единиц 2 + 4 + 5 + 7 на 3 и на 9. Проверим: 2 + 4 + 5 + 7 = 18. Число 18 делится и на 3, и на 9. Следовательно и число 2457 делится и на 3, и на 9.

Если сумма цифр, из которых составлено число, делится на 3, то и само число делится на 3.

Если сумма цифр, из которых составлено число, делится на 9, то и само число делится на 9.

При этом следует заметить, что не всегда число, которое делится на 3, делится и на 9. Но вот если число делится на 9, то оно делится и на 3.

Пример: число 852 делится на 3, так как 8 + 5 + 2 = 15, а 15 делится на 3. Но 15 не делится на 9, следовательно, 852 не делится на 9.


Признаки делимости на 6, 12, 15.

Если какое-нибудь число делится на 6, то его можно представить, как сумму, состоящую из слагаемых, каждое из которых равно 6. То есть как 6 + 6 + 6 + … + 6.

В то же в 6 делится на 2, и 6 делится на 3. Получается, что и искомое число делится на 2 и делится на 3. А теперь порассуждаем в обратном порядке:

Если число делится на 2, и в тоже время если это число делится на 3, то оно делится и на 6.

Например, число 1524. Это число оканчивается на 4, следовательно, делится на 2. В то же время сумма цифр этого числа 1 + 5 + 2 + 4 = 12. 12 делится на 3, следовательно, и 1524 делится на 3. Наше число делится и на 3 и на 2, следовательно, делится на 6. Примерно так выглядят рассуждения)

Так же можно убедиться, что на 12 делятся те числа, которые делятся на 3 и на 4, а на 15 – те числа, которые делятся на 3 и на 5.

Вот мы и доросли до теорем, следствий и других страшных слов.


Общее обоснование признаков делимости.

ТЕОРЕМА: Если произведение дух чисел $$a_{1}, a_{2}$$ делится на третье число $$p$$ и одно из чисел $$a_{1}$$ или $$a_{2}$$ не имеет с $$p$$ общих делителей кроме единицы, то другое из них делится на p

Доказательство: Пусть есть произведение $$a_{1}*a_{2}$$, которое делится на p. Но в то же время $$a_{1}$$ не делится на $$p$$. Докажем, что тогда $$a_{2}$$ делится на $$p$$. Разделим число $$a_{1}$$ на $$p$$. Так как по условию оно не делится, то мы получим неполное частное $$q$$ и остаток $$r$$. То есть $$a_{1}=pq+r$$
Понятно, что остаток в данном случае меньше делителя (почитайте предыдущие разделы) и не имеет с ним общих делителей, кроме 1. То есть r не делится на p. Теперь умножим обе части равенства на $$a_{2}$$: $$a_{1}a_{2}=pqa_{2}+ra_{2}$$
По условию $$a_{1}*a_{2}$$ делится на p. Но тогда на p должно делиться каждое слагаемое из суммы $$pqa_{2}+ra_{2}$$. То есть слагаемое $$ra_{2}$$ делится на p. Но мы знаем, что r на p не делится, следовательно должно делиться $$a_{2}$$, а именно это мы и доказывали. Доказательство полное немного сложнее, там необходимо производить дальнейшее деление на остаток, который получается в предыдущем делении, пока он не станет равен единице (а он таки станет, ведь остаток от деления всегда меньше делителя, а так как деление каждый раз будет происходить на остаток от предыдущего деления, то он будет все время становиться меньше). То есть:
$$\begin{matrix}a_{1}=pq+r_{1}\\p=rq_{1}+r_{1}\\r=r_{1}q_{2}+r_{2}\\r_{1}=r_{2}q_{3}+r_{3}\\..................\end{matrix}$$
А потом так же умножить все на $$a_{2}$$:
$$\begin{matrix}a_{1}a_{2}=pqa_{2}+r_{1}a_{2}\\pa_{2}=rq_{1}a_{2}+r_{1}a_{2}\\ra_{2}=r_{1}q_{2}a_{2}+r_{2}a_{2}\\..................\\r_{n-2}a_{2}=r_{n-1}q_{n}a_{2}+a_{2}\\\end{matrix}$$
И потом рассуждать так же, мол мы знаем, что $$a_{1}a_{2}$$ делится на $$p$$, следовательно оба слагаемых первой суммы делятся на $$p$$. Но тогда и второе равенство делится на $$p$$. Следовательно, оба слагаемых делится на $$p$$. Но тогда и третье … И так далее, пока не доберетесь до самого последнего равенства и там $$a_{2}$$ радостно поделится на $$p$$.
СЛЕДСТВИЕ: если число a делится порознь на числа p и q, при этом числа p и q не имеют общих делителей, кроме единицы, то число a делится на произведение pq.
Обозначим частное от деления a на p через Q. Значит $$a=pQ$$ Так как по условию a делится на q, значит и pQ делится на q. Но p и q не имеют общих делителей отличных от единицы. Значит, согласно теореме, и Q должно делится на q. Пусть частное от этого деления будет Q1. Тогда $$Q=qQ_{1}$$ ; $$a=pQ=p(qQ_{1})=(pq)Q_{1}$$
Отсюда видно, что число a есть произведение двух множителей, один из которых равен pq. Значит a делится на pq. Именно поэтому, если число делится на 2 и на 3, то оно делится на 6 тоже.
Замечание: следует помнить, что если числа имеют общий делитель, отличный от 0, то ничего не выйдет. Например, число 36 делится и на 4, и на 6. Но числа 4 и 6 имеют общий делитель отличный от 0 – это 2. Поэтому 36 не делится на произведение 4 и 6 (36 не делится на 24)

Наибольший общий делитель и наименьшее общее кратное.


Простые и составные числа

Вообще, любое число всегда делится на единицу и само на себя. Но есть числа, которые кроме этого, делятся еще и на другие числа. Например, число 20. Оно делится на 2, 4, 5, 10 помимо единицы и самого себя.

Так вот, числа, которые дел1ятся только на единицу и само себя, называются простыми.

Например, 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17 и тд.

Всякое число, которое делится не только на единицу и само на себя, называется составным.

Например, 4, 6, 8, 9, 10, 12 и тд. Единица не входит ни в простые, ни в составные.


Разложение числа на простые множители.

Всякое составное число можно разложить на простые множители, то есть представить в виде произведения множителей, каждый из которых – простое число. Например, пусть необходимо разложить число 420.

Главное, делить на простые числа. Понятно, что 420 делится на 42. Но 42 – не простое число. Поэтому начала поделим его на 2. Получим число 210. Значит 420 = 210×2. Продолжим дальнейшее деление. Поделим теперь 210 на 2. Получим 105. Значит 420 = 210×2 =105×2×2. Теперь необходимо поделить 105. Оно оканчивается на 5, следовательно, делится на 5 (прочитайте признаки делимости). Поделим 105 на 5 и получим 21. 420 = 105×2×2 = 21×5×2×2. Осталось поделить 21. Поделим его на 3. И получим 7. Число 7 – простое число. Следовательно, на этом деление закончим. Получается в итоге:

420 = 21×5×2×2 = 7×5×3×2×2. Принято множители записывать в порядке возрастания (от меньшего к большему). Поэтому запись примет вид: 420 = 2×2×3×5×7. Удобнее записывать деление в вертикальном виде при разложении на множители.

Смысл его точно такой же. Слева число, справа делитель. Следует отметить, что нет строгой последовательности по подбору множителей. То есть наше число 420 вы могли сразу начать делить на 7, а не на 2. Или на 5. Как кому удобнее. В большинстве случаев легче делить на 2 и на 3. А там уж смотрите сами.

Вот пример. Разложим число 13 000. Понятно, что оно делится на 13, и 13 – простое число. Значит: 13 000 = 13 ×1000. Остается разложить тысячу. Поделим сначала на 2.  13 000 = 13×500×2. Затем 500 поделим на 5 и тд. В итоге получим: 13 000 = 2×2×2×5×5×5×13. Как видите, начали деление не с 2 и не 3, а с 13.

Вообще, хорошо бы держать перед собой таблицу простых чисел. Ибо бывают деления и на 29. Вот еще пример разложения на простые множители. Разложить число 8874 на простые множители.

Как видим, после очередного деления на 3 мы получили число 493. Вот тут бы и понадобилась таблица простых чисел. В нее глянуть надо бы, есть ли там число 493, а то сразу и не скажешь – простое оно или нет. Вот если глянуть, то увидим, что его там нет, значит оно составное. Тогда наступает самая рутинная фаза, начинаем поочередно делить на все подряд простые числа – на 7, 11, 13 и тд (очевидно, что на 2, 3, 5 оно не делится, поэтому пропустили их). Вуаля)


Возведение в степень.

Как вы, наверное, дай Бог и вообще, заметили, что при разложении на простые множители порой приходится писать одни и те же числа. Вернемся к примеру, где раскладывали число 420.

420 = 2×2×3×5×7

Множитель 2, здесь повторили 2 раза. При разложении 13 000, два множителя повторили по три раза.

13 000 = 2×2×2×5×5×5×13.

Так вот, чтобы каждый раз не писать одинаковые множители, умные люди придумали понятие степени. Фактически степенью называется произведение одинаковых множителей. То есть если написано 5×5×5, то это будет $$5^{3}$$. Как видите, одно число (5) показывает, чему равен множитель, а второе число (3) показывает, сколько раз он умножается. При этом 5 называется основанием степени, а 3 – показателем степени. Читается это, как “пять в третье степени”. Вот и получается, что наши примеры теперь можно записать в ином виде.

$$420=2^{2}*3*5*7$$; $$13000=2^{3}*5^{3}*13$$

Следует заметить, что числа во второй степени часто читаются как “в квадрате”. То есть $$3^{2}$$ не “3 во второй степени”, а “три в квадрате”. В свою очередь, “в третьей степени” часто читается как “в кубе”. То есть $$4^{3}$$ не “4 в третьей степени”, а “4 в кубе”.


О единстве разложения любого составного числа.

ТЕОРЕМА 1: Всякое число, кроме единицы, имеет по крайней мере один простой делитель.

Доказательство: все просто. Если число простое, то оно однозначно делится само на себя – следовательно, имеет делитель. Если число составное, то оно имеет несколько делителей, каждый из которых может быть представлен через простые множители. Вот такое вот доказательство рассуждениями.

ТЕОРЕМА 2: произведение нескольких сомножителей asdfg может делиться на простое число p тогда, и только тогда, когда по крайней мере один из них делится на p.

Доказательство: Рассмотрим произведение asdfg как множители a и sdfg. И включаем голову : по условию у нас все произведение делится на p. Следовательно или a или sdfg должно делиться на p (в прошлой главе интересная теоремка на этот счет была). А далее разбиваем до судного дня или пока не надоест. Если делится a на p, то теорема доказана, если нет, то делится sdfg на p. Значит разбиваем его на множители s и dfg. И так далее. В итоге получим, что один из множителей все-равно должен делиться на p.

Теперь осталось рассмотреть возможность единственного разложения любого числа, отличного от единицы на простые множители.

Ну сначала сама возможность разложения. Тоже все легко и просто. Если число простое, то оно разложится на единицу и само на себя. Есть два множителя, а значит доказали возможность. Если число составное, обзовем его r, то оно имеет хотя бы один простой делитель q (из первой теоремы). Пусть  r=q×w. То есть мы представили наше число через произведение простого множителя, на какое-то число w. Так вот это число w тоже или простое, или составное, если оно простое, то мы разложили на два простых числа и возрадовались жизни, доказав теорему, если нет, то у него должен быть хоть один простой делитель (согласно теореме 1). Чувствуете к чему клоню? Повторяем первые шаги. Все сводится к тому, что рано или поздно оставшееся число однозначно станет простым, так как производя деление, мы множители делаем меньше изначального числа. Вот и все.

Теперь докажем единственность. Пусть одно и то же число “зю” разложилось двумя способами qwe… и q1w1e1… Теперь само рассуждение. Раз число разложилось у нас на простые множители, то оно должно делиться на каждый из этих простых множителей. Возьмем q из первого разложения. Искомое число “зю” делится на q. Но тогда и второе разложение числа “зю” тоже должно делиться на q. Но мы знаем, что простое число делится только на единицу и само на себя. Следовательно, во втором разложении таки должно присутствовать простое число, равное q. Пусть это и будет q1. Для понимания вместо q число 5 возьмем. Оно есть в первом разложении, следовательно, число искомое делится на 5, и, значит, второе разложение тоже делится на 5. Но второе разложение состоит только из простых множителей. А простой множитель делится только на 1 и на само себя, значит, чтобы он делился на 5, то это и должно быть “само на себя деление”, ведь 5 это не 1, то есть он равен 5.

Ну и так далее. Берем w из первого разложения, потом e и прочее. И в итоге докажем, что каждому из них, должен равняться один множитель из второго разложения и в итоге разложения получатся одинаковые. Как-то так.

 


О бесконечно ряда простых чисел.

 И еще доказательство бесконечности ряда простых чисел. Пусть это будет не так. То есть есть какое-либо наибольшее простое число. Обзовем его a. Тогда возьмем какое-либо число N=(2×3×5×7×…×a) + 1. То есть мы взяли какое-то число, которое равно произведению всех простых чисел до нашего числа a плюс единица. Раз число a у нас самое большое простое, а число N однозначно больше числа a, раз одним из множителей является само a, то число N у нас составное (ведь a – самое большое простое число). Ну, а раз число N составное, то оно должно раскладываться на простые множители. Но раз оно состоит из суммы двух слагаемых, то оба этих слагаемых должны делиться на некоторые из этих простых множителей. И если первое слагаемое и делится, то второе – единица, не делится ни на что. Следовательно, и число N не составное. Вот и все).


Нахождение делителей данного числа.

Напомню, что делителем какого-либо числа называются те числа, на которое данное число делится без остатка. Собственно, все делители для числа находятся следующим образом. Сначала число раскладывается на простые множители. Например, возьмем число 240 = 2×2 × 2 ×2 ×3 × 5. Понятно, что числа 2, 3 и 5 являются делителями для числа 240. Причем делителями простыми. Но если мы начнем эти простые делители перемножать между собой. То получим составные делители числа 240. То есть умножим 3 на 5. Получается число 15. Следовательно, 15 является делителем числа 240. Или же захотим, и возьмем и перемножим три двойки и тройку. Получим 24. Следовательно, 24 делитель числа 240. Главное, при умножении, отслеживать количество множителей. При разложении 240 у нас получилось четыре двойки. Следовательно, и взять больше четырех двоек для вычисления составного делителя, мы не можем.


Наибольший общий делитель.

Наибольший общий делитель (НОД) для нескольких чисел, это наибольшее из чисел, на которое делятся все данные числа.

Возьмем числа 24 и 36. Делителями числа 24 являются 1, 2, 3, 4, 6, 8, 12, 24. А делителями числа 36 являются 1, 2, 3, 4, 6, 12, 18. Так вот, общими делителями, для этих двух чисел, являются 1, 2, 3, 4, 6, 12. Ну а наибольшее число здесь 12, следовательно, это и есть наибольший общий делитель.

Бывает ситуация, когда у чисел только единица является общим делителем. Например, 5 и 17. Такие числа называются взаимно простыми.


Способы нахождения наибольшего общего делителя.

1. Через разложения на простые множители.

Тут все просто. Рассмотрим пример. Пусть необходимо найти НОД для чисел 120 и 160. Для этого эти числа разложим на простые множители.

120 = 2×2×2×3×5

160 = 2×2×2×2×2×5

Желательно записывать множители в порядке возрастания – проще будет. Теперь ищем общие множители для обоих чисел. Число 2 встречается в первом числе 3 раза, а во втором 5 раз. Следовательно, мы возьмем ее 3 раза (больше не можем, потому что в 120 всего три двойки. Если бы взяли 5, то в 120 не хватило бы двух двоек). Смотрим дальше. Число 3 есть в множителях 120, но нет в 160. Следовательно, его не берем. Смотрим дальше. Число 5 есть в обоих, значит его берем. В итоге получилось 2×2×2×5 = 40. Это и будет наибольший общий делитель для чисел 120 и 160.

Правило. Чтобы найти наибольший общий делитель для нескольких числе, достаточно разложить их на простые множители, и перемножить между собой те множители, которые общие всех чисел.

Можно рассмотреть нахождения НОД для трех чисел 210, 1260 и 245. Разложим их на простые множители:

Видим, что множитель 2 встречается только в двух числах. 3 только в двух числах. 5 во всех числах и одна 7 во всех числах (в третьем числе два множителя 7, но в первых двух, только один, поэтому возьмем только один). В итоге НОД для этих трех чисел будет 5×7 = 35.

Можно расписать немножко иначе. Вспомним разложение 120 и 160. Но запишем его с помощью степеней:

$$120 = 2^{3}*3*5; 160 = 2^{5}*5$$

Если взглянуть на степени, то в обоих числах есть степень двойки и пятерки. В первом числе два в кубе, а во втором числе два в пятой. Мы будем использовать наименьший показатель степени, то есть куб. Пятерка в обоих случаях в первой степени, поэтому ее и берем. Получился НОД: $$2^{3}*5 = 40$$.

То есть для того, чтобы найти НОД для нескольких чисел, необходимо представить эти числа в виде произведения степеней простых множителей (разложили на простые множители и записали их в вид степени) и перемножить между собой наименьшие из степеней (взяли не пятую степени, а третью для двойки) входящих (множитель 3 не входил во второе число, поэтому не использовался) во все числа множителей.

2. С помощью последовательного деления.

Есть еще и второй способ. Он предполагает более внимательное изучение предыдущего материала, чем то, которое уделяет среднестатистический школьник. Ну, во-первых, следует отметить, что если меньше из двух чисел, является делителем второго числа, то первое число и есть НОД для двух данных чисел. Например, рассмотрим числа 18 и 54. 18 является делителем числа 54, следовательно, это и есть НОД для них.

Пойдем далее. Если большее число не делится на меньшее, тогда, наибольшим общим делителем будет то число, которое является наибольшим общем делителем для меньшего из двух изначальных чисел и остатка от деления большего на меньшее.

Звучит непонятно шушуть. Рассмотрим пример. Возьмем числа 85 и 30. 85 на 30 не делится без остатка. С остатком же получим 85 : 30 = 2 ( 25 остаток ). Следовательно, согласно писанине сверху, НОД для чисел 85 и 30 такой же, как для чисел 30 (наименьшее из первоначальных чисел) и 25 (остаток от деления)

85 = 2×30 + 25

25 = 85 - 2×30

А теперь вспомним свойства суммы и разности. Из них следует, что общий делитель для чисел 30 и 25 должен быть делителем числа 85 тоже. Вот и вся арифметика – все логично и доказуемо.

Рассмотрим, как пользуются этим правилом для двух чисел. Пусть необходимо найти наибольший общий делитель для чисел 391 и 299

Разделим сначала 391 на 299. Получим в остатке 92. Следовательно, НОД для 391 и 299 такой же, как для 299 и 92. Разделим 299 на 92. Получим в остатке 23. Следовательно НОД для 299 и 92, а, следовательно, и для 391 и 299, так же, как для 92 и 23. Разделим 92 на 23. Остатка не получим, потому что 92 делится на 23. Следовательно, 23 это НОД для 92 и 23, и для 299 и 92, и, как следствие, для 391 и 299. Вот и все, тренируйтесь.

Что же делать если у нас больше двух чисел, например, три. Делать то же самое, только по очереди). Пусть необходимо найти НОД для чисел 78, 130 и 195. Сначала предыдущим способом найдем НОД для 78 и 130.

Это будет число 26. А теперь найдем НОД для 195 и полученного 26.

Это будет 13. Следовательно, 13 есть НОД для 78, 130 и 195. Вот и все. Берите на вооружение.


Наименьшее общее кратное.

Вот уже скоро мы доберемся до дробей. И данная тема вам там очень пригодится, дабы не перемножать знаменатели при нахождении общего.

Что же такое наименьшее общее кратное (НОК)?

Наименьшее общее кратное - это такое наименьшее число для нескольких данных чисел, которое делится на каждое из них.

Например, для чисел 6, 12 и 30 наименьшим общим кратным будет число 60. Оно делится на каждое их трех чисел. Понятно, что просто кратных будет бесконечное множество. Это и 120, и 180, и 240 и тд. Задача выбрать наименьшее.


Способы нахождения НОК.

1. Посредством разложения на простые множители.

Чтобы число делилось на несколько других чисел, то в него должны входить все простые множители, входящие в эти числа. Как это выглядит? Пусть надо найти НОК для чисел 20, 45 и 100. Для начала разложим каждое из них на простые множители:

20 = 2×2×5 ; 45 = 3×3×5 ; 100 = 2×2×5×5

Теперь выпишем все простые множители одного из чисел (лучше брать то, где больше множителей) и начнем дописывать множители с других чисел, которые не встречаются в выбранном. Возьмем множители 100: 2×2×5×5, смотрим каких не хватает из числа 45. Явно в выписанных не встречаются две тройки, их и добавим. 2×2×5×5×3×3. Одна пятерка уже есть, поэтому выписывать ее не будем. Теперь смотрим на число 20. Две двойки мы уже есть, одна пятерка тоже, поэтому выписывать мы ничего не будем. Следовательно, наименьшее общее кратное для чисел 20, 45 и 100 будет 2×2×5×5×3×3 = 900

Правило. Чтобы найти НОК для нескольких данных чисел, надо каждое их них разложить на простые множители. Затем выписать множители одного из них и приписывать к нему недостающие множители из другого числа. Потому к полученному произведению приписывать недостающие множители из третьего числа и тд. Полученное этим путем произведение и будет НОК для данных чисел.

Если использовать понятие степени, то выглядеть будет таким образом

$$20 = 2^{2}*5 ; 45 = 3^{2}*5 ; 100 = 2^{2}*5^{2}$$

И правило формулируется несколько иначе.

Чтобы найти НОК для нескольких чисел, то их раскладывают на простые множители и составляют произведение степеней всех различных простых множителей, входящих в полученные разложения данных чисел, причем каждый множитель берется с наибольшим показателем степени.

То есть у нас есть множители 2, 3 и 5. Наибольший показатель степени для 2 это квадрат. Для 3 тоже квадрат. Пятерка встречается в первой степени и в квадрате, поэтому мы берем наибольшую – то есть квадрат. Следовательно, НОК выглядит так: $$2^{2}*3^{2}*5^{2} = 900$$

Есть несколько особых случаев при нахождении НОК.

Первый, когда наибольшее число делится на каждое из остальных. Например, найти надо НОК для 12, 30 и 60. Число 60 делится на 12 и на 30, следовательно, это и есть НОК

Второй, когда при разложении чисел на простые множители, мы не получили одинаковых множителей. Например, найти НОК для 8, 33 и 49.

8 = 23 ; 33 = 3*11 ; 49 = 72

Как видим нет одинаковых множителей. Тогда данные числа можно просто перемножить. То есть НОК будет равен произведению 8×33×49.

2. Посредством нахождения наибольшего общего делителя.

Данный способ несколько сложнее, тут необходимо повспоминать теорию с прошлых статей. Пусть необходимо найти НОК для чисел 336 и 1260. Разложим их на простые множители.

336 = 24×3×7 ; 1260 = 22×32×5×7

То есть произведение этих чисел будет выглядеть следующим образом: 336×1260 = (24×3×7) × (22×32×5×7)

Мы должны помнить, что для нахождения НОД мы выписываем те множители, которые встречаются в обоих разложениях, причем берем наименьшую степени множителя. А для НОК, наоборот, выписываем все встречающиеся множители, да еще с наибольшей степенью.

То есть в НОК войдут множители 22, 3 и 7. А в НОД 24, 3^2, 5 и 7. Можно заметить, что все множители из нашего произведения распределились между НОК и НОД. Получается, что произведение этих чисел, равно произведению НОД и НОК. Значит, чтобы найти НОК, мы должны произведение этих чисел поделить на НОД. Вот и все правило.

Правило: наименьшее общее кратное двух чисел равно произведению этих чисел, делимому на их наибольший общий делитель.

Что делать если дано несколько чисел. Да все просто. Находите все последорвательно. Например, НОК для чисел 336, 1260 и 350 надо найти. Тогда сначала найдем НОК для 336 и 1260, и он будет равен 5040. А затем найдем НОК для 5040 и 350 (равен 25 200). Вот и все.

Правило: чтобы найти НОК для трех и более чисел, сначала находят НОК для двух чисел, потом НОК для найденного числа и третьего из данных, затем НОК для следующего найденного числа и четвертого данного и тд.