Skip to main content

Mathlesson.ru

  • Главная
  • ЕГЭ (база)
  • ЕГЭ (профиль)
  • ОГЭ
  • Школьная программа
  • Варианты Ларина
  • Вход в личный кабинет
ЕГЭ (база)
ЕГЭ (профиль)
ОГЭ
Школьная программа
Варианты Ларина
Отзывы
Блог
Личный кабинет
Выйти

256 вариант Алекса Ларина. Разбор ЕГЭ математика 2019.

Решаем ЕГЭ 256 вариант Ларина. Подробное решение 1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15 заданий тренировочного варианта ЕГЭ Ларина №256 (alexlarin.com)

Решаем ЕГЭ 256 вариант Ларина. Подробное решение 16,17,18,19 заданий тренировочного варианта ЕГЭ Ларина №256 (alexlarin.com)

Задание 1. Тренировочный вариант ЕГЭ № 256 Ларина.

Студент получил свой первый гонорар в размере 800 рублей за выполненный перевод. Он решил на все полученные деньги купить букет роз для своей учительницы английского языка. Какое наибольшее количество роз сможет купить студент, если удержанный у него налог на доходы составляет 13% гонорара, розы стоят 100 рублей за штуку и букет должен состоять из нечетного числа цветов?

Ответ: 5. Посмотреть решение

Гонорар после удержания налога: 800*0,87=696 рублей

Количество раз: $$\frac{696}{100}\approx 6$$

С учетом, что необходимо нечетное, то 5

Задание 2. Тренировочный вариант ЕГЭ № 256 Ларина.

На графике показан процесс разогрева двигателя легкового автомобиля. На оси абсцисс откладывается время в минутах, прошедшее от запуска двигателя, на оси ординат – температура двигателя в градусах Цельсия. Определите по графику, на сколько градусов нагреется двигатель с третьей по седьмую минуту разогрева.

Ответ: 30. Посмотреть решение

На третьей минуте температура 50 градусов, на 7 - 80 градусов, следовательно, нагрелся на 80-50=30 градусов

Задание 3. Тренировочный вариант ЕГЭ № 256 Ларина.

На клетчатой бумаге (сторона клетки равна 1) изображён круг. Найдите его площадь S. В качестве ответа запишите число $$\frac{S}{\pi}$$

Ответ: 5. Посмотреть решение

Найдем радиус : $$r=\sqrt{1^{2}+2^{2}}=\sqrt{5}$$

Найдем площадь : $$S=\pi r^{2}=\pi *5$$

С учетом , что в ответ $$\frac{S}{\pi}$$ , получим $$\frac{\pi *5}{\pi}=5$$

Задание 4. Тренировочный вариант ЕГЭ № 256 Ларина.

В случайном эксперименте игральный кубик бросают два раза. Найдите вероятность того, что разность выпавших очков будет меньше чем 2. Ответ округлите до сотых.

Ответ: 0,44. Посмотреть решение

Рассмотрим возможные исходы, когда разность меньше 2 .

(Первое число - с первого кубика, второе - со второго) 11;12;21;22;23;32;33;34;43;44;54;45;55;56;65;66 - всего 16 исходов .

Общее количество исходов: $$6^{2}=36$$

Тогда вероятность $$P=\frac{16}{36}\approx 0,44$$

Задание 5. Тренировочный вариант ЕГЭ № 256 Ларина.

Решите уравнение $$3\sqrt[x]{81}-10\sqrt[x]{9}+3=0$$ . В ответе укажите сумму корней этого уравнения.

Ответ: 2. Посмотреть решение

      $$3\sqrt[x]{81}-10*\sqrt[x]{9}+3=0$$, $$x \in N$$

     Замена: $$\sqrt[x]{9}=y>0$$

$$3y^{2}-10y+3=0$$

$$D=100-36=8^{2}$$

     $$\left\{\begin{matrix}y_{1}=\frac{10+8}{6}=3\\y_{2}=\frac{10-8}{6} =\frac{1}{3}\end{matrix}\right.\Leftrightarrow$$ $$\left\{\begin{matrix}9^{\frac{1}{x}}=3\\9^{\frac{1}{x}}=\frac{1}{3}\end{matrix}\right.\Leftrightarrow$$ $$\left\{\begin{matrix}3^{\frac{2}{x}}=3^{1}\\3^{\frac{2}{x}}=3^{-1}\end{matrix}\right.\Leftrightarrow$$ $$\left\{\begin{matrix}x=2\\x=-2, \notin N\end{matrix}\right.$$

Задание 6. Тренировочный вариант ЕГЭ № 256 Ларина.

Боковая сторона равнобедренной трапеции равна ее меньшему основанию, угол при основании равен 60 , большее основание равно 12. Найдите радиус описанной окружности этой трапеции.

Ответ: 6. Посмотреть решение

     Центр лежит на пересечении серединных перпендикуляров $$\angle A=60\Rightarrow$$ $$\angle B=120$$

     Пусть BM – биссектриса $$\Rightarrow$$ $$\angle ABM =60\Rightarrow$$ $$\Delta ABM$$ - равносторонний . Пусть CH- биссектриса $$\Rightarrow$$ $$\angle CMD=60\Rightarrow$$ $$\Delta CMD$$ - равносторонний и $$\Delta ABM=\Delta BMC=\Delta CMD$$(M и H совпадают )$$\Rightarrow$$ $$AB=BM=MC=MD$$ - радиусы $$\Rightarrow$$ $$R=6$$

Задание 7. Тренировочный вариант ЕГЭ № 256 Ларина.

На рисунке изображен график производной функции f(x), определенной на интервале (−8; 5). В какой точке отрезка [0;4] f(x) принимает наименьшее значение?

Ответ: 0. Посмотреть решение

т.к. дан график производной и на $$(-\infty ;-3)$$ - $${f}'<0$$, а на $$(-3; +\infty )$$ - $${f}'>0$$ $$\Rightarrow$$ $$x=-3$$ - точка минимума. Но на отрезке $$[0; 4]$$ -  $$f'>0$$$$\Rightarrow$$ $$f_{min}=f(0)$$ (функция врзрастает на всем промежутке, следовательно, меньшее значение функции в начале промежутка)

Задание 8. Тренировочный вариант ЕГЭ № 256 Ларина.

В правильной четырехугольной пирамиде высота равна 12, объем равен 200. Найдите боковое ребро этой пирамиды.

Ответ: 13. Посмотреть решение

   1) $$V=\frac{1}{3}Sh\Rightarrow$$ $$S=\frac{3V}{h}=\frac{3*200}{12}=50$$

   2) $$S=AB^{2}=50\Rightarrow$$ $$AB =\sqrt{50}$$

   3) $$DB=\sqrt{AB^{2}+BC^{2}}=\sqrt{50+50}=10\Rightarrow$$ $$OB=5$$

   4) $$SB=\sqrt{SO^{2}+OB^{2}}=\sqrt{12^{2}+5^{2}}=13$$

Задание 9. Тренировочный вариант ЕГЭ № 256 Ларина.

Найдите $$tg \alpha$$ , если $$\frac{5 \cos \alpha +3 \sin \alpha +1}{2 \sin \alpha +\cos x+4}=\frac{1}{4}$$

Ответ: -1,9. Посмотреть решение

$$\frac{5 \cos \alpha +3 \sin \alpha +1}{2 \sin \alpha +\cos x+4}=\frac{1}{4}\Leftrightarrow$$ $$20 \cos \alpha +12 \sin \alpha +4=2 \sin \alpha +\cos \alpha +4\Leftrightarrow$$ $$19 \cos \alpha +10 \sin \alpha =0|: \cos \alpha \Leftrightarrow$$ $$10tg \alpha =-19\Leftrightarrow$$ $$tg \alpha =-1,9$$

Задание 10. Тренировочный вариант ЕГЭ № 256 Ларина.

После дождя уровень воды в колодце может повыситься. Мальчик измеряет время t падения небольших камешков в колодец и рассчитывает расстояние до воды по формуле $$h=5t^{2}$$ , где h — расстояние в метрах,t  — время падения в секундах. До дождя время падения камешков составляло 0,6 с. На сколько должен подняться уровень воды после дождя, чтобы измеряемое время изменилось на 0,2 с? Ответ выразите в метрах.

Ответ: 1. Посмотреть решение

$$h=h_{1}-h_{2}=5 t_{1}^{2}-5t_{2}^{2}$$

$$t_{2}=t_{1}-0,2=0,4$$ c (уровень поднялся , время уменьшилось )

$$h=5(0,6^{2}-0,4^{2})=1$$

Задание 11. Тренировочный вариант ЕГЭ № 256 Ларина.

Первые 190 км автомобиль ехал со скоростью 50 км/ч, следующие 180 км — со скоростью 90 км/ч, а затем 170 км — со скоростью 100 км/ч. Найдите среднюю скорость автомобиля на протяжении всего пути. Ответ дайте в км/ч.

Ответ: 72. Посмотреть решение

$$t_{1}=\frac{190}{50}=\frac{19}{5}$$ часа

$$t_{2}=\frac{180}{90}=2$$ часа

$$t_{3}=\frac{170}{100}=\frac{17}{10}$$ часа

$$S=190+180+170=540$$ км.

$$v=\frac{S}{t_{1}+t_{2}+t_{3}}=\frac{540}{3,8+2+1,7}=72$$ км\ч

Задание 12. Тренировочный вариант ЕГЭ № 256 Ларина.

Найдите наименьшее значение функции $$y=|x^{2}-x|+|x+1|$$

Ответ: 1. Посмотреть решение

Раскроем модули :

1) $$x \in (-\infty ;-1]\Rightarrow$$ $$y=x^{2}-x-x-1=x^{2}-2x-1$$

2) $$x \in (-1,0]\cup [1;+\infty )\Rightarrow$$ $$y=x^{2}-x+x+1=x^{2}+1$$

3) $$x \in (0;1)\Rightarrow$$ $$y=-x^{2}+x+x+1=-x^{2}+2x+1$$

Следовательно , $$y _{min}=1$$

Задание 13. Тренировочный вариант ЕГЭ № 256 Ларина.

а) Решите уравнение $$4 \sin ^{2}(2x+\pi)-2(\sqrt{5}-\sqrt{3})\cos (2 x-\pi)+\sqrt{15}-4=0$$

б) Укажите корни этого уравнения, принадлежащие отрезку $$[-\frac{3\pi}{2}; \frac{\pi}{2}]$$

Ответ: А)$$\pm \frac{5 \pi}{12}+\pi n n \in Z$$ Б)$$-\frac{17 \pi}{12};-\frac{7 \pi}{12};\pm \frac{5 \pi}{12};$$. Посмотреть решение

     A) $$4 \sin ^{2}(2x+\pi)-2(\sqrt{5}-\sqrt{3})\cos (2 x-\pi)+\sqrt{15}-4=0\Leftrightarrow$$$$4 \sin ^{2}2x+2(\sqrt{5}-\sqrt{3})\cos 2x+\sqrt{15}-4=0\Leftrightarrow$$$$4-4 \cos ^{2}2x+2(\sqrt{5}-\sqrt{3})\cos 2x+\sqrt{15}-4=0\Leftrightarrow$$$$4 \cos ^{2}2x-2(\sqrt{5}-\sqrt{3})\cos 2x-\sqrt{15}=0\Leftrightarrow$$$$4 \cos^{2} 2x+2\sqrt{3}\cos 2x-2\sqrt{5}\cos 2x -\sqrt{15}=0\Leftrightarrow$$$$2 \cos 2x(2 \cos 2x+\sqrt{3})-\sqrt{5}(2 \cos 2x+\sqrt{3})=0\Leftrightarrow$$$$(2 \cos 2x+\sqrt{3})(2 \cos2x-\sqrt{5})=0\Leftrightarrow$$$$\left\{\begin{matrix}\cos 2x=-\frac{\sqrt{3}}{2}\\\cos 2x=\frac{\sqrt{5}}{2}\end{matrix}\right.\Leftrightarrow$$ $$\left\{\begin{matrix}2x=\pm \frac{5 \pi}{6}+2 \pi n, n \in Z\\\phi , (\left | \cos 2x \right |\leqslant 1)\end{matrix}\right.\Leftrightarrow$$ $$x=\pm \frac{5 \pi}{12}+\pi n n \in Z$$

     Б) На промежутке $$[-\frac{3 \pi}{2}; \frac{\pi}{2}]$$:

$$\frac{5 \pi}{12}+\pi n$$ : -$$\pi+\frac{5 \pi}{12}=-\frac{7 \pi}{12}$$; $$0+\frac{5 \pi}{12}=\frac{5 \pi}{12}$$

$$-\frac{5 \pi}{12}+\pi n$$ : $$-\pi -\frac{5 \pi}{12}=-\frac{17 \pi}{12}$$; $$-\frac{5 \pi}{12}=-\frac{5 \pi}{12}$$

Задание 14. Тренировочный вариант ЕГЭ № 256 Ларина.

Апофема правильной пирамиды SABCD равна 2, боковое ребро образует с основанием ABCD угол, равный $$arctg \sqrt{\frac{3}{2}}$$. Точки E, F, K выбраны соответственно на ребрах АВ, AD и SC так, что $$\frac{AE}{EB}=\frac{AF}{FD}=\frac{SK}{KS}=\frac{1}{2}$$

А) Найдите площадь сечения пирамиды плоскостью EFK
Б) Найдите угол между прямой SD и плоскостью EFK
Ответ: А)$$\frac{14\sqrt{5}}{9\sqrt{3}}$$ Б)$$\arcsin \frac{3}{5}$$. Посмотреть решение

   A) 1)Соединим EF. Построим $$EF\cap CD=R$$. Соединим RK; $$RK\cap SD=N$$. Аналогично $$EF\cap CB=R_{1}$$; $$R_{1}K\cap SB=H\Rightarrow$$ (FNKHE) - искомая площадь

     2) Опустим проекцию $$K$$ на (ABCD) $$\Rightarrow$$ $$K_{1}$$

     3) Пусть SZ –апофема и AB=x $$\Rightarrow$$ $$OZ=\frac{AB}{2}=\frac{x}{2}$$; $$OB=\frac{BD}{2}=\frac{x\sqrt{2}}{2}$$

Из $$\Delta SOB$$: $$SO=OB*\frac{\sqrt{3}}{2}=\frac{x\sqrt{3}}{2}$$

Из $$\Delta SOZ$$: $$SO^{2}+OZ^{2}=SZ^{2}\Leftrightarrow$$ $$\frac{3x^{2}}{4}+\frac{x^{2}}{4}=4\Leftrightarrow$$ $$x=2\Rightarrow$$ $$SO=\sqrt{3}$$ ; $$BO=\sqrt{2}$$

     4) $$\frac{AF}{FD}=\frac{AE}{EB}\Rightarrow$$ $$\Delta AFE\sim \Delta ADB$$ и $$FE\left | \right |BD$$ $$\Rightarrow$$ $$VK\perp N_{1}H_{1} VK_{1}\perp FE$$; $$VK\perp NH$$

     5) $$\Delta SOC$$: $$KK_{1}=\frac{2}{3}SO=\frac{2\sqrt{3}}{3}$$; $$OK_{1}=\frac{1}{3}OC$$

Из $$\Delta ADB$$: $$VO=\frac{2}{3}AO\Rightarrow$$ $$VK_{1}=AO=\sqrt{2}$$

Из $$\Delta VKK_{1}$$: $$VK=\sqrt{VK_{1}^{2}+KK_{1}^{2}}=\sqrt{\frac{10}{3}}$$

     6) По т. Менелая из VKC : $$\frac{SL}{LO}*\frac{OV}{VC}*\frac{CK}{KS}=1\Rightarrow$$ $$\frac{SL}{LO}=\frac{5}{4}\Rightarrow$$ $$NH=\frac{5}{9}BD=\frac{10\sqrt{2}}{9}$$

Из $$\Delta VLO$$: $$VL=\sqrt{VO^{2}+OL^{2}}=$$$$\sqrt{(\frac{2\sqrt{2}}{3})^{2}+(\frac{4\sqrt{3}}{9})^{2}}=$$$$\frac{2}{3}\sqrt{\frac{10}{3}}\Rightarrow$$ $$LK=VK-VL=\frac{1}{3}*\sqrt{\frac{10}{3}}$$; $$FE=\frac{1}{3} BD=\frac{2\sqrt{2}}{3}$$

     7) $$S_{FNKHE}=\frac{NH+EF}{2}*VL+\frac{NH*KL}{2}=$$$$\frac{14\sqrt{5}}{9\sqrt{3}}$$

   Б) 1) из $$\Delta SOC$$: $$SC=\sqrt{SO^{2}+OC^{2}}=\sqrt{5}\Rightarrow$$ $$KC=\frac{2\sqrt{5}}{3}$$; $$SK=\frac{\sqrt{5}}{3}$$

     2) из $$\Delta VKC$$ : $$\cos VKC=\frac{VK^{2}+KC^{2}-VC^{2}}{2 VK*KC}=0\Rightarrow$$ $$\angle VKC=90$$ $$\Rightarrow$$ $$SC\perp VK$$

     3) $$OC\perp BD\Rightarrow$$ $$OC\perp NH$$ , но OC - проекция $$SC\Rightarrow$$ $$SC\perp NH\Rightarrow$$ $$SC\perp (FNKHE)\Rightarrow$$ $$\angle SHK=\angle (SB; (FNKHE))$$

     4) $$SH=\frac{5}{9}SB=$$$$\frac{5\sqrt{5}}{9}\Rightarrow$$ из $$\Delta SHK$$: $$\sin \angle SHK=\frac{SK}{SH}=\frac{3}{5}\Rightarrow$$ $$\angle SHK=\arcsin \frac{3}{5}$$

Задание 15. Тренировочный вариант ЕГЭ № 256 Ларина.

Решите неравенство $$(\frac{4x}{5}+1)^{6-13x-15x^{2}}\geq 1$$

Ответ: $$(-\frac{5}{4}; -\frac{6}{5}]\cup [0; \frac{1}{3}]$$. Посмотреть решение

   ОДЗ : $$\frac{4x}{5}+1>0\Rightarrow$$ $$x>-\frac{5}{4}$$

   Решение: рассмотрим равносильную систему с учетом ОДЗ :

$$\left[\begin{matrix}\left\{\begin{matrix}(\frac{4x}{5}+1)<1\\6-13x-15x^{2}\leq 0\end{matrix}\right.\\\left\{\begin{matrix}(\frac{4x}{5}+1)>1\\6-13x-15x^{2}\geq 0\end{matrix}\right.\\\frac{4x}{5}+1=1\end{matrix}\right.\Leftrightarrow$$ $$\left[\begin{matrix}\left\{\begin{matrix}x<0\\x \in (-\infty , -\frac{6}{5}]\cup [\frac{1}{3},+\infty )\end{matrix}\right.\\\left\{\begin{matrix}x>0\\x \in [-\frac{6}{5}, \frac{1}{3}]\end{matrix}\right.\\x=0\end{matrix}\right.\Leftrightarrow$$ с учетом ОДЗ: $$x \in (-\frac{5}{4}; -\frac{6}{5}]\cup [0; \frac{1}{3}]$$

Задание 16. Тренировочный вариант ЕГЭ № 256 Ларина.

Точки К и L являются серединами боковых сторон АВ и ВС равнобедренного треугольника АВС. Точка М расположена на медиане AL так, что AM:ML=13:12. Окружность $$\omega$$ с центром в точке М касается прямой АС и пересекает прямую KL в точках P и Q. KL=10, PQ=4.

А) Найти радиус окружности $$\omega$$
Б) Найти периметр треугольника АВС
Ответ: А)$$\frac{26}{5}$$ Б)$$20\sqrt{5}+20$$. Посмотреть решение

   A) 1) Пусть $$MN \perp PQ$$, $$MK\perp AC$$, $$LH\perp AC\Rightarrow$$ $$NK\left | \right |LH$$ ; пусть MQ=x, т.к. $$MN\perp PQ$$, то $$PN=NQ=\frac{1}{2}PQ=2$$

     2) из $$\Delta NMQ$$: $$NM=\sqrt{MQ^{2}-NQ^{2}}=\sqrt{x^{2}-2^{2}}$$, $$MK=MQ=x$$

     3) $$\Delta AMK\sim \Delta ALN$$ $$\Rightarrow$$ $$\frac{LH}{MK}=\frac{AL}{AM}\Rightarrow$$ $$LH=\frac{25}{13} x=NK$$

     4) из 2 и 3 : $$\frac{25}{13}x =x+\sqrt{x^{2}-4}\Leftrightarrow$$ $$x=\frac{26}{5}$$

   Б) 1) $$AC=2, KL=20$$$$\Rightarrow$$ $$AK=HC=\frac{AC-KL}{2}=5$$; $$LH=\frac{25}{13}*\frac{26}{5}=10\Rightarrow$$ из $$\Delta LHC$$: $$LC=\sqrt{KH^{2}+HC^{2}}=5\sqrt{5}\Rightarrow$$ $$BC=10\sqrt{5}$$

     2) $$P_{ABC}=2* BC+AC=20\sqrt{5}+20$$

Задание 17. Тренировочный вариант ЕГЭ № 256 Ларина.

Из пункта А, расположенного на берегу реки, вниз по течению отправились две моторные лодки. Скорость течения реки 2 км/ч, собственная скорость «быстрой» лодки на 3 км/ч больше скорости «медленной» лодки. Через некоторое время они повернули обратно, и «быстрая» лодка пришла в пункт А раньше, чем «медленная» на время не меньшее $$\frac{4}{5}$$ времени, которое лодки шли от начала движения до поворота. Найдите наибольшее целое значение скорости «быстрой» лодки (в км/ч), если собственные скорости лодок больше скорости течения.

Ответ: 7. Посмотреть решение

   Пусть x - собственная скорость быстрой , тогда x-3 - медленной. Пусть y(ч) –время движения до поворота , тогда: $$S_{1}=y(x+2)$$ - расстояние быстрой, $$S_{2}=y(x-1)$$ - медленной. Тогда:$$ t_{1}=\frac{y(x+2)}{x-2}$$ - время быстрой обратно, $$t_{2}=\frac{y(x-1)}{x-5}$$ - время медленной

   $$\frac{y(x-1)}{x-5}-\frac{y(x+2)}{x-2}\geq \frac{4}{5}y\Leftrightarrow$$ $$\frac{x-1}{x-5}-\frac{x+2}{x-2}\geq \frac{4}{5}\Leftrightarrow$$ $$\frac{12}{(x-2)(x-5)}\geq \frac{4}{5}\Leftrightarrow$$$$\frac{12}{(x-2)(x-5)}\geq \frac{12}{15}\Leftrightarrow$$$$(x-2)(x-5)\leq 15\Leftrightarrow$$$$\left\{\begin{matrix}x\leq\frac{7+\sqrt{69}}{2}\\x\geq \frac{7-\sqrt{69}}{2}\end{matrix}\right.$$

   Необходимо $$x _{max} \in N$$ $$\Rightarrow$$ $$x=7$$ ($$7<\frac{7+\sqrt{69}}{2}$$)

Задание 18. Тренировочный вариант ЕГЭ № 256 Ларина.

Найдите наибольшее значение параметра a, при котором система $$\left\{\begin{matrix}(4 \sin ^{2}y-a)=16 \sin ^{2}\frac{2x}{7}+9 ctg ^{2}\frac{2x}{7}\\(\pi ^{2}\cos ^{2}3x-2 \pi ^{2}-72)y^{2}=2\pi ^{2}(1+y^{2})\sin 3x\end{matrix}\right.$$ имеет решения 

Ответ: -14. Посмотреть решение

   Рассмотрим 2 уровнение системы . Т.к. $$\cos^{2}3x=1-\sin ^{2}3x$$ , и пусть $$\sin 3x=t$$ , тогда:

$$(\pi ^{2}(1-t^{2})-2 \pi ^{2}-72) y^{2}=2 \pi ^{2}(1+y^{2})t\Leftrightarrow$$$$(\pi ^{2}-\pi ^{2}t^{2}-2 \pi ^{2}-72-2 \pi ^{2}t ) y^{2}=2 \pi ^{2}t\Leftrightarrow$$$$(-\pi ^{2}(t^{2}+2t+1)-72)y^{2}=2 \pi ^{2}t\Leftrightarrow$$$$y^{2}=-\frac{2 \pi^{2} t}{(\pi ^{2}(t+1)^{2}+72)}\Rightarrow$$$$t\leq 0\Rightarrow$$ $$t \in [-1; 0]$$

   Рассмотрим $$f(t) =-\frac{2 \pi^{2} t}{(\pi ^{2}(t+1)^{2}+72)}$$; $$t \in [-1; 0]$$: $${f}' (t)=-2 \pi ^{2}(\frac{\pi^{2}(t+1)^{2}+72-t(2 \pi ^{2}(t+1))}{(\pi ^{2}(t+1)^{2}+72)^{2}}=$$$$\frac{-2 \pi ^{2}}{(\pi ^{2}(t+1)^{2}+72)^{2}}*(\pi ^{2}+72-\pi ^{2}t^{2})$$

   На промежутке $$t \in [-1; 0]$$, $${f}'(t) <0$$ $$\Rightarrow f(t)$$-убывает $$\Rightarrow$$ область значения $$E (f)\in [f(0); f(-1)]$$; $$f(0)=0; f(-1)=\frac{2 \pi ^{2}}{72}=\frac{\pi ^{2}}{36}$$; $$y^{2}\leq \frac{\pi ^{2}}{36}\Rightarrow$$ $$y \in [-\frac{\pi}{6}; \frac{\pi}{6}]$$

   Рассмотрим первое уравнение системы:

$$4 \sin ^{2}y-a=16 \sin ^{2}\frac{2x}{7}+9 ctg ^{2}\frac{2x}{7}\Leftrightarrow$$ $$a=4 \sin ^{2}y-(16 \sin ^{2}\frac{2x}{7}+9 (\frac{1 }{\sin ^{2}\frac{2x}{7}}-1))\Leftrightarrow$$$$a=4 \sin ^{2}y-(16 \sin ^{2}\frac{2x}{7}+9 * \frac{1}{\sin ^{2}\frac{2x}{7}}-9)\Leftrightarrow$$ $$a=4 \sin ^{2}y-((4 \sin \frac{2x}{7})^{2}-24 +(\frac{3}{\sin \frac{2x}{7}})^{2}-9+24)\Leftrightarrow$$ $$a=4 \sin ^{2}y-\frac{(4 \sin ^{2}\frac{2x}{7}-3)}{\sin ^{2}\frac{2x}{7}}-15$$

Так как $$a\rightarrow max$$, $$\sin ^{2}\frac{2x}{7}=\frac{3}{4}$$. Тогда: $$\sin \frac{2x}{7}=\pm \frac{\sqrt{3}}{2}\Leftrightarrow$$ $$\frac{2x}{7}=\pm \frac{\pi}{3}+\pi n , n \in Z\Leftrightarrow$$ $$x=\pm \frac{7 \pi }{6}+\frac{7 \pi n }{2}, n \in Z$$

Т.к. $$\sin 3x=-1\Rightarrow$$ $$3x=-\frac{\pi}{2}+2 \pi k , k \in Z$$, $$x=-\frac{\pi}{6}+\frac{2 \pi k}{3}, k \in Z$$

   Найдем n и k : $$\pm \frac{7 \pi}{6}+\frac{7 \pi n }{2}=-\frac{\pi}{6}+\frac{2 \pi k}{3}|*6\Leftrightarrow$$ $$\pm 7 \pi +21 \pi n =-\pi +4 \pi k\Leftrightarrow$$ $$6 \pi =21 \pi n -4 \pi k \Leftrightarrow$$ $$21 n -4k=6\Rightarrow$$ $$n=2, k=9$$. Следовательно, существует такой x. Тогда: $$a=4*(\frac{1}{2})^{2}-15 =-14$$

Задание 19. Тренировочный вариант ЕГЭ № 256 Ларина.

В некотором царстве было несколько (более двух) княжеств. Однажды некоторые из этих княжеств объявили себя царствами и разделились каждое на то же самое число княжеств, которое было в самом начале. Затем всё новые и новые княжества из числа прежних и вновь образующихся объявляли себя царствами и делились каждое на то же самое число княжеств, которое было в самом начале.

А) Могло ли сразу после одного из делений общее число княжеств стать равным 102?
Б) Могло ли в какой‐то момент времени общее число княжеств стать равным 320, если известно, что сразу после одного из делений общее число княжеств было равно 162?
В) Сколько княжеств было в самом начале, если сразу после какого‐то из делений общее число княжеств стало ровно в 38 раз больше первоначального?
Ответ: нет,нет,38. Посмотреть решение

   A) Пусть было x княжеств ( $$x\in N$$; $$x\geq 3$$), $$y_{i}$$ - число княжеств, объявляющие деление на i-ый раз, $$S_{i}$$ - сумма княжеств после i-го деления, тогда :

$$S_{1}=x-y_{1}+xy_{1}=x+y_{1}(x-1)\Rightarrow$$$$S_{2}=S_{1}-y_{2}+xy_{2}=$$$$x+y_{1}(x-1)+y_{2}(x-1)=$$$$x+(x-1)(y_{1}+y_{2})\Rightarrow$$$$S_{n}=x+(x-1)(y_{1}+....+y_{n})=x+(x-1)\sum_{i=1}^{n}y_{i}$$

Тогда, $$x+(x-1)\sum_{i=1}^{n}y_{i}= 102 \Leftrightarrow$$ $$\sum_{i=1}^{n}y_{i}=\frac{102-x}{x-1}=\frac{101}{x-1}-1 \in N \Rightarrow$$ $$x-1=101\Rightarrow$$ $$i=1\Rightarrow x=102$$ . Т.е изначально (до деления) было уже 102 , что не удовлетворяет условию , хотя бы одного деления.

   Б) Пусть сумма после n-го : $$S_{n}=168$$, после m-го: $$S_{m}=320 (m\geq 2)$$. Тогда :

$$S_{m}-S_{n}=x+(x-1)\sum_{i=1}^{m} y _{i}-x-(x-1)\sum_{i=1}^{n} y_{i}=$$$$(x-1)\sum_{i=n+1}^{m} y_{i}=$$$$320-168=79*2$$. Но 79 и 2 -простые , тогда:

  1. $$x-1=2\Rightarrow$$ $$x=3\Rightarrow$$ $$S_{m}=3+(3-1)\sum_{i=1}^{m} y_{i}=320\Rightarrow$$ $$2 \sum_{i=1}^{m} y_{i}=317$$ – не может быть, т.к. $$\sum_{i=1}^{m} y_{i}\in N$$
  2. $$x-1=79\Rightarrow$$ $$x=80\Rightarrow$$ $$S_{m}=80+(80-1) \sum_{i=1}^{m} y_{i}=320\Rightarrow$$ $$79 \sum_{i=1}^{m} y_{1}=240$$ – не может быть
  3. $$x-1=1\Rightarrow$$ $$x=2$$ – не подходит , т.к. $$x\geq 3$$
  4. $$x-1=158$$ - не подходит

   B) Получим, что $$x+(x-1) \sum_{i=1}^{n} y_{i}=38 x\Rightarrow$$ $$(x-1)\sum_{i=1}^{n} y_{i}=37x$$. x и (x-1) взаимопростые $$\Rightarrow$$ $$\sum_{i=1}^{n} =xN\Rightarrow$$ $$(x-1)xN=37x\Leftrightarrow$$ $$(x-1)N=37\Rightarrow$$ или $$x-1=1$$ и $$N=37$$, тогда $$x=2$$ - не подходит, или $$N=1$$ и $$x-1=37\Rightarrow$$ $$x=38$$

Copyright 2017. Копирование материалов сайта без активной ссылки на источник запрещено.


Сайт сделан в Студии Any people
  • Обо мне
  • Школьая программа
  • ЕГЭ профиль
  • ЕГЭ база

  • Группа ВК
  • Отзывы
  • Блог