255 вариант Алекса Ларина. Разбор ЕГЭ математика 2019.

Всего возможных комбинаций: 9 - (11;12;13;21;22;23;31;32;33)
Разные цифры в 6 комбинациях
$$P=\frac{6}{9}=0,(6)\approx 0,67$$

$$\angle 5=\angle 1+\angle 2=76$$

$$\angle 4=\angle 5+\angle 3=76+44=120$$

$$DC^{2}_{2}=$$$$C_{2}F^{2}_{2}+DF_{2}^{2}=$$$$C_{2}F_{2}^{2}+DE^{2}+EF^{2}_{2}=$$$$2^{2}+1^{2}+1^{2}=6$$

Выразим D из формулы : $$P=\frac{4mg}{\pi D^{2}}\Leftrightarrow$$ P \pi D^{2}=4mg\Leftrightarrow$$ $$D=\sqrt{\frac{4mg}{p \pi}}(D>0)$$

$$D=\sqrt{\frac{4*1200*10}{400*3}}=$$$$\sqrt{\frac{4}{100}}=\frac{2}{10}=0,2$$

$$y=\frac{x^{3}+x^{2}+9}{x}-x^{2}=\frac{x^{3}+x^{2}+9-x^{3}}{x}=\frac{x^{2}+9}{x}$$

$${y}'=\frac{{(x^{2}+9)}'x-(x^{2}+9)*{x}'}{x^{2}}=\frac{2x^{2}-x^{2}-9}{x^{2}}=\frac{x^{2}-9}{x^{2}}=0$$

$$\left\{\begin{matrix}x^{2}-9=0\\x^{2}\neq 0\end{matrix}\right.\Leftrightarrow$$ $$\left\{\begin{matrix}x=\pm 3\\x\neq 0\end{matrix}\right.$$

$$f(-3)=\frac{(-3)^{2}+9}{(-3)}=-6$$

А)   1) Соединим $$D_{1}E_{1}$$, т.к. $$(ABC) \left | \right |(A_{1}B_{1}C_{1})$$, то из D пойдет прямая DH ($$DH\cap BC=H$$) и $$D_{1}C_{1}\left | \right |DH$$

     2) Пусть $$D_{1}E_{1}\cap C_{1}B_{1}=Q$$. Соединим $$QH\cap BB_{1}=N$$, соединим $$DD_{1}\Rightarrow$$ $$D_{1}D+NE_{1}$$ - искомое сечение

     3) $$A_{1}D_{1}=D_{1}L_{1}$$($$B_{1}L_{1}$$ - высота ), $$A_{1}E_{1}=E_{1}B_{1}$$$$\Rightarrow$$ $$D_{1}E_{1}=\frac{1}{2}B_{1}L_{1}$$ и $$D_{1}E_{1}\left | \right |B_{1}L_{1}$$; $$B_{1}L_{1}=\sqrt{B_{1}C_{1}^{2}-L_{1}C_{1}^{2}}=4$$$$\Rightarrow$$ $$E_{1}D_{1}=2$$

     4) $$DH\left | \right |D_{1}E_{1}\Rightarrow$$ $$DH\left | \right |BL$$ (BL - высота) $$\Rightarrow$$ $$\frac{DH}{LB}=\frac{CD}{CL}$$; $$CD=\frac{AC}{3}=2$$, $$CL=3\Rightarrow$$ $$DH=\frac{2*4}{3}=\frac{8}{3}$$

     5) $$S_{D_{1}N_{1}NE_{1}}=\frac{D_{1}E_{1}*N_{1}N}{2}*DN_{1}$$; $$S_{NN_{1}DH}=\frac{DH*NN_{1}}{2}*DN_{1}$$ ($$AA_{1}\perp DH$$, $$AD\perp DH$$$$\Rightarrow$$ $$D_{1}D\perp DH$$); $$NK_{1}=BL=4;D_{1}B_{1}=\sqrt{D_{1}L_{1}^{2}+L_{1}N_{1}^{2}}$$$ $$D_{1}L=1,5 ; LD=1$$$$\Rightarrow$$ $$\frac{L_{1}N_{1}}{M_{1}L}=\frac{3}{2}$$ ($$\Delta D_{1}L_{1}N_{1}\sim \Delta N_{1}LD)$$$$\Rightarrow$$ $$L_{1}L=AA_{1}=\sqrt{6}=5x$$$$\Rightarrow$$ $$x=\frac{\sqrt{6}}{5}\Rightarrow$$ $$L_{1}N_{1}=\frac{3\sqrt{6}}{5}$$, $$N_{1}L=\frac{2\sqrt{6}}{5}$$)

$$D_{1}B_{1}=\sqrt{(\frac{3}{2})^{2}+(\frac{3\sqrt{6}}{5})^{2}}=\frac{21}{10}$$

$$D{1}D=\frac{7}{2}$$

$$DN_{1}=\sqrt{1^{2}+(\frac{2\sqrt{6}}{5})^{2}}=\frac{7}{5}$$

$$S_{D_{1}N_{1}NE_{1}}=\frac{2+4}{2}*\frac{21}{10}=\frac{63}{10}$$

$$S=\frac{63}{10}+\frac{14}{3}=\frac{329}{30}$$

$$S_{DHN_{1}N}=\frac{\frac{8}{3}+4}{2}*\frac{7}{5}=\frac{14}{3}$$

Б)   1) Пусть $$DD_{1}\cap AA_{1}=K$$ $$\Delta KD_{1}A_{1}\sim \Delta KAD$$; $$\frac{A_{1}D}{AD}=\frac{KD_{1}}{KD}=\frac{KA_{1}}{KA}=\frac{1,5}{4}=\frac{3}{8}$$. Пусть $$KA_{1}=x\Rightarrow$$ $$KA=x+\sqrt{6}\Rightarrow$$ $$\frac{x}{x+\sqrt{6}}=\frac{3}{8}\Leftrightarrow$$ $$8x=3x+3\sqrt{6}\Leftrightarrow$$ $$x=\frac{3\sqrt{6}}{5}$$. Пусть $$KD_{1}=y\Rightarrow$$ $$KD=y+\frac{7}{2}\Rightarrow$$ $$\frac{y}{y+\frac{7}{2}}=\frac{3}{8}\Rightarrow$$ $$y=\frac{21}{10}$$

     2) Пусть $$A_{1}R\perp KD_{1}$$, но $$A_{1}D_{1}D_{1}E_{1}$$$$\Rightarrow$$ $$A_{1}R\perp D_{1}E_{1}$$ и $$A_{1}R\perp KD_{1}E_{1}$$.

$$A_{1}R=\frac{A_{1}K*A_{1}D_{1}}{KD_{1}}=$$$$\frac{\frac{3\sqrt{6}}{5}*\frac{3}{2}}{\frac{21}{10}}=$$$$\frac{9\sqrt{6}*10}{5*2*21}=\frac{3\sqrt{6}}{7}$$

А)   1) $$\Delta ABD$$: $$\cos B=\frac{AB^{2}+BD^{2}-AD^{2}}{2 AB*BD}=\frac{7}{25}$$

     2) $$\Delta ABC:$$ $$AC=\sqrt{AB^{2}+BC^{2}-2 AB*BC * \cos B}=6$$

     3) $$BG=\sqrt{BC^{2}-GC^{2}}=4\Rightarrow$$ $$S_{ABC}=\frac{1}{2}BG*AC=12$$

     4) $$BO=\frac{AB*BC*AC}{4 S_{ABC}}=\frac{25}{8}$$

     5) $$\cos BCA=\frac{GC}{BC}=\frac{3}{5}$$; $$\angle ECG=\frac{\angle BCA}{2}$$$$\Rightarrow$$ $$2 \cos ^{2}ECG-1=\frac{3}{5}$$$$\Rightarrow$$ $$\cos ECG=\frac{2}{\sqrt{5}}$$; $$\sin ECG=\frac{1}{\sqrt{5}}$$

$$CE=\frac{2 AC*CB*\cos ECG}{AC+CB}=\$$$$frac{120}{11\sqrt{5}}$$$$\Rightarrow$$ $$CF=\frac{CE}{5}=\frac{24}{11\sqrt{5}}$$

     6) Центр описанной на пересечении серединных перпендикуляров , $$BD=DC\Rightarrow$$ $$OD\perp BC$$ и OH - расстояние

     7) $$\angle FIG=\angle BCA\Rightarrow$$$$\sin FIG=\sin BCA=\frac{4}{5}$$

$$\angle FIG=180-\angle FIG\Rightarrow$$ $$\sin FIC=\sin FIG=\frac{4}{5}$$

$$\cos FIC=-\cos FIG=-\cos BSA=-\frac{3}{5}$$

По теореме синусов: $$\frac{FC}{\sin FIC}=\frac{FI}{\sin FCI}\Rightarrow$$$$FI=\frac{6}{11}$$

     8) $$\Delta JGJ\sim \Delta BGC\Rightarrow$$ $$\frac{IC}{CG}=\frac{BJ}{BG}\Rightarrow$$ $$BJ=\frac{8}{11}\Rightarrow$$ $$JO=BO-BJ=\frac{211}{8*11}$$

     9) $$\Delta BOD\sim \Delta BGC\Rightarrow$$ $$\frac{OD}{GC}=\frac{BO}{BC}\Rightarrow$$ $$OD=\frac{5}{18}$$

     10) $$\Delta JOH\sim \Delta BOD\Rightarrow$$ $$\frac{JO}{BO}=\frac{OH}{OD}\Rightarrow$$ $$OH=\frac{633}{440}$$

Б)   1) $$\Delta ABC\sim \Delta AKI\Rightarrow$$ $$S_{AKI}=S_{ABC}(\frac{AI}{AC})^{2}$$

$$\frac{AI}{AC}=(\frac{6-\frac{6}{11}}{6})^{2}=\frac{100}{121}\Rightarrow$$ $$S_{AKI}=\frac{1200}{121}$$

     2) $$S_{KBCI}=S_{ABC}-S_{AKI}=\frac{252}{121}\Rightarrow$$ $$\frac{S_{AKI}}{S_{KBCI}}=\frac{100}{21}$$

Пусть m=y-a; n=x-a, тогда имеем

$$\left | m \right |+\left | 1-m \right |=2-\left | n \right |-\left | 1-n \right |(m(n))$$

Рассмотрим раскрытие модулей:

     1) $$n\leq 0$$: $$2-\left | n \right |-\left | 1-n \right |=1+2n$$. Тогда $$m(n)$$: $$\left | m \right |+\left | 1-m \right |=1+2n$$. Раскроем модули:

  a) $$m\leq 0$$: $$-2m+1=1+2n\Leftrightarrow$$ $$m=-n$$, с учетом, что $$n\leq 0$$ , то $$m=-n$$ при $$n=0$$ и $$m=0$$

  b) $$m \in (0;1]$$: $$1=1+2n\Leftrightarrow$$ $$n=0$$

  c) $$m \in (1;+\infty )$$: $$2m-1=1+2n\Leftrightarrow$$ $$m=n+1$$ при $$n\leq 0$$ – решений нет

     2) $$0<n\leq 1$$:$$ 2-\left | n \right |-\left | 1-n \right |=1$$

   a) $$m\leq 0$$: $$-2m+1=1\Leftrightarrow$$ $$m=0$$

   b) $$0<m\leq 1$$: $$1=1\Rightarrow$$ решение все точки в квадрате

$$\left\{\begin{matrix}0<n\leq 1\\0<m\leq 1\end{matrix}\right.$$

   c) $$m>0$$: $$2m-1=1\Rightarrow$$ $$m=1$$ решений нет

     3) $$n>1$$: $$2-\left | m \right |-\left | 1-n \right |=3-2n$$

   a) $$m\leq 0$$: $$-2m+1=3-2n\Leftrightarrow$$ $$m=n-1$$, с учетом , что $$n>1$$ решений нет

   b) $$a<m\leq 1$$: $$1=3-2n\Rightarrow$$ $$n=1\Rightarrow$$ решений нет

   c) $$m>1$$: $$2m-1=3-2n\Leftrightarrow$$ $$m=2-n$$ решений нет

Построим график m(n). С учетом , что m=y-a и n=y-a , то график y(x) будет строиться смещение вершины (0;0) на (a;a) ( по прямой (y=x)), и построим график $$y=6-2\left | x-5 \right |$$ - cуществует 2 случая с одним решением :

1) При a=2

2) При пересечении вершиной и диагональю y=x части графика $$y=6-2\left | x-5 \right |$$(она задается y=16-2x)

$$\left\{\begin{matrix}y=x\\y=16-2x\end{matrix}\right.\Leftrightarrow$$ $$x=16-2x\Leftrightarrow$$ $$3x=16\Rightarrow$$ $$x=\frac{16}{3}\Rightarrow$$ $$a=\frac{16}{3}$$